BAB 4 VEKTOR Home

o y 45O x a PENDAHULUAN Vektor di R2 Vektor di R3 PETA KONSEP Perkalian Skalar Dua Vektor 45O Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain o x Soal-Soal Home

PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di samping itu ada besaran yang selain dinyatakan dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai arah yang dinamakan Vektor. Vektor digunakan sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah suatu gaya. Home

Operasi Aljabar pada Vektor Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor lain PETA KONSEP VEKTOR Vektor di R2 Vektor di R3 Penulisan Vektor Vektor Basis Vektor Satuan Operasi Aljabar pada Vektor Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor lain Penjumlahan Pengurangan Perkalian Vektor Sifat-sifat Operasi Aljabar pada Vektor Perkalian Skalar 2 Vektor Home

Vektor di R2 1. PENGERTIAN VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak pada bidang datar. Vektor di R2 dapat digambarkan pada bidang kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal dan titik ujung. Next Home

Vektor di R2 Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedangkan arah anak panah adalah arah vektor. Vektor pada gambar disamping merupakan vector dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30o dari sumbu X positif. Next Back Home

Vektor di R2 Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ; NOTASI VEKTOR Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ; Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya a, b ,c,….y, z Menggunakan huruf kecil dengan tanda anak panah diatasnya, misalnya a , b ,c,… Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di bawahnya, misalnya a, b, c,… Next Back Home

Vektor di R2 B. VEKTOR POSSISI Diberikan suatu persegi panjang OBCD yang terletak pada bidang cartesius dengan OB = 8 Y C D X O B satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang seperti gambar di samping. Koordinat titik B adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap O adalah b = ‹8,0›. Koordinat titik C adalah Next Back Home

Vektor di R2 C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c = ‹8,6›. Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga vektor posisi titik D terhadap O adalah d = ‹0,6›. Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0) dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri. Next Back Home

Vektor di R2 Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R2 ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas dan negatif jika arahnya dari atas ke bawah Next Back Home

Vektor di R2 C. Panjang atau Besar Vektor Perhatikan gambar disamping. Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat ditentukan panjang atau besar vektor OC = √82+62 = √100 = 10 y C 6 X O 8 Next Back Home

Vektor di R2 2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR A. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya diberikan dua vektor u = ‹u1 , u2› dan v = ‹v1 , v2›. Vektor u = v jika u1 = v1 dan u2 = v2 Next Back Home

Vektor di R2 B. Penjumlahan Vektor Misalkan vektor c adalah hasil penjumlahan vektor a dengan vektor b, ditulis c = a + b. a b Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Next Back Home

Vektor di R2 1). Aturan segitiga Diketahui dua buah vektor seperti gambar di atas. Untuk b a c = a + b mendapatkan vektor c = a + b, vektor b dipindahkan sedemikian rupa, sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a. vektor c = a + b adalah suatu vektor yang pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan ujungnya merupakan titik ujung vektor b. Next Back Home

Vektor di R2 2). Aturan jajargenjang Cara lain untuk mendapatkan vektor c = a + b adalah dengan a c = a + b b memindahkan vektor b sedemikian rupa sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor a. Vektor c = a + b yang kita cari adalah vektor yang titik pangkalnya dititik pangkal vektor a dan b serta berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b. Next Back Home

Vektor di R2 C. Vektor nol dan lawan suatu vektor Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor nol dinotasikan dengan 0 = ‹0, 0›. Lawan suatu vektor a adalah suatu vektor yang apabila a -a dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan vektor a dapat ditulis –a yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a, seperti gambar disamping. Next Back Home

Vektor di R2 D. Sifat-sifat Penjumlahan Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga a + 0 = 0 + a = a Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah –a sehingga a +(-a)= -a + a = 0 Next Back Home

Vektor di R2 E. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor dapat dilakukan dengan menggunakan pengertian invers jumlah suatu vektor. -b a a-b a b a – b = a + (-b) (a) (b) Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a). Vektor a – b diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b) Next Back Home

Vektor di R2 CONTOH SOAL Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping ! Penyelesaian ; Komponen mendatar 3 Komponen vertikal 2 Vektor AB = (3,2) Dengan cara yang sama, B A C F E D diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1) Next Back Home

Vektor di R2 3. Perkalian Vektor dengan Skalar A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real (skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan |k| kali panjang vektor a dengan arah ; Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a. Untuk k<0 maka ka berlawanan arah dengan vektor a. Jika a = (a1, a2) maka ka = (ka1, ka2) Next Back Home

Vektor di R2 B. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar Misalkan vektor a dan b adalah vektor sembarang, sedangkan k dan l adalah sembarang skalar. Perkalian vektor dengan skalar memenuhi sifat-sifat berikut ; |ka|=|k||a| (kl)a = k (la) = a (kl) k(-a)=-ka (k + l)a = ka + la ka = ak K(a + b) = ka + kb Next Back Home

Vektor di R2 CONTOH SOAL Diketahui segitiga ABC dengan ruas0ruas garis berarah AC dan AB berturut-turut mewakili vektor c dan b. Ruas garis PQ menghubungkan titik P dan Q, dengan P adalah titik tengah AC dan Q adalah titik tengh BC. Nyatakan QC dalam b dan c. Penyelesaian ; Perhatika QC = ½ BC BC = AC – AB = c – b Dengan demikian QC = ½ (c – b) C P Q A B Next Back Home

Vektor di R2 4. Perkalian Skalar Dua Vektor A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian vektor dengan vektor dinamakan perkalian skalar dua vektor atau perkalian titik antara dua vektor (dot product). Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali dari vektor a dan b ditulis a . b, didefinisikan sebagai berikut ; a . b = |a||b| cos θ Next Back Home

Vektor di R2 Dengan θ sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan b. Hasil kali titik dari vektor a dan b merupakan suatu skalar. Jika a = (a1 , a2) dan b = (b1 , b2) maka hasil kali titik dari vektor a dan b adalah a . b = a1b1 + a2b2 Next Back Home

Vektor di R2 B. sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika u, v dan w adalah vektor-vektor sembarang dan k suatu skalar , berlaku sifat-sifat sebagai berikut ; u . v = v . u u . (v + w) = u . v + u . w k (u . v) = (ku) . v = u .(kv) 0 . v = v . 0 = 0 u . u = |u|2 Next Back Home

Vektor di R2 C. Teorema Ortogonalitas Dari rumus dot product, diperoleh teorema ortogonalitas yaitu dua vektor bukan nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu hasilnya sama dengan nol. Jadi vektor u dan v tegak lurus jika dan hanya jika ; u . v = 0 Next Back Home

Vektor di R2 CONTOH SOAL Tentukan nilai a agar vektor u =(8,a) dan vektor v =(3,4) saling tegak lurus . Penyelesaian ; Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titik kedua vektor itu sama dengan nol, sehingga u . v = 0 24 – 4a = 0 4a = 24 ↔ a = 6 Next Back Home

Vektor di R2 5. Vektor Basis di R2 Misalkan terdapat vektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1). Dengan memandang komponen-komponen pada vektor tersebut tampak bahwa kedua vektor itu saling tegak lurus dan besar kedua vektor tersebut adalah |î| =|ĵ| = 1. setiap vektor u = (u1, u2) dapat dinyatakan secara tunggal oleh î dan ĵ, yaitu u= (u1,u2)= u1(1,0)+ u2(0,1)= u1î + u2ĵ Next Back Home

Vektor di R2 Dalam hal ini, vektor î dan ĵ dinamakan vektor basis di R2 pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif. Karena î dan ĵ mempunyai panjang satu satuan, vektor î dan ĵ berturut-turut disbut vektor satuan pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif. Next Back Home

Vektor di R2 6. Vektor Satuan Di R2 Sebagai contoh, vektor yang mewakili ruas garis berarah OP pada gambar disamping dapat dinyatakan sebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ y p x o 6. Vektor Satuan Di R2 Dalam subbab sebelumnya kita telah mengenal vektor-vektor yang searah sumbu X positif dan sumbu Y negatif, yaitu vektor satuan î dan ĵ. Next Back Home

Vektor di R2 â = a = 1 (x,y) î = (1,0) ; ĵ = (0,1) Selanjutnya, kita juga dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor a yang bukan vektor nol. Vektor satuan yang searah dengan a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan dan arahnya searah dengan vektor a. jika a =(x, y), vektor satuan dari a, ditulis â, adalah sebagai berikut. â = a = 1 (x,y) |a| √x2 + y2 Next Back Home

Vektor di R2 CONTOH SOAL Tentukan vektor satuan dari vektor a = (-3,4) Penyelesaian ; Panjang vektor a adalah |a| = √(-3)2 + 42 = √25 = 5 Vektor satuan dari a adalah â = (-3/5 , 4/5) Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal ini dapat kita tunjukkan dengaan cara berikut ; |â| = √(-3/5)2 + (4/5)2 = 1 Back Home

Vektor di R3 1. Sistem Koordinat Ruang Jika vektor pada bidang dikatakan vektor d R2, vektor pada ruang dikatakan vektor di R3. 1. Sistem Koordinat Ruang Vektor-vektor dalam ruang dapat digambarkan dalam sistem koordinat ruang yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z yang saling berpotongan di titik pangkal O Next Home

Vektor di R3 Sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif ditetapkan dengan kaidah tangan kanan. Ketiga sumbu itu membentuk tiga bidang yaitu sumbu X dengan sumbu Y membentuk bidang XY, sumbu X dengan sumbu Z membentuk sumbu XZ, serta sumbu Y dengan sumbu Z membentuk sumbu YZ. Next Back Home

Vektor di R3 2. Penulisan Vektor di R3 z Perhatiikan gambar disamping. Koordinat titik A(3,0,0) vektor posisinya terhadap titik O adalah a = OA = (3,0,0).dengan cara yang sama diperoleh H G 2 D 4 y O E F C 3 A B x b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG = (0,4,2). Next Back Home

Vektor di R3 3. Vektor Basis Di R3 Vektor basis pada sumbu X dinyatakan dengan î, vektor basis pada sumbu Y dinyatakan dengan ĵ, dan vektor basis pada sumbu Z dinyatakan dengan k. dengan demikian, setiap vektor pada ruang dapat dinyatakan dalam bentuk v = v1î +v2ĵ +v3k dengan v1, v2, v3 adalah komponen vektor dari vektor v. Next Back Home

Vektor di R3 4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 z Pada gamba disamping, vektor yang mewakili garis berarah OF dapat dinyatakan OF = (3, 4, 2) Atau OF = 3î + 4ĵ + 2k H G 2 D 4 y O E F C 3 A B x 4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 A. Kesamaan Vektor Jika a = b maka a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3 Next Back Home

Vektor di R3 B. Penjumlahan Vektor a + b = (a1 , a2 , a3) + (b1 , b2 ,b3) = (a1+b1 , a2+b2 , a3+b3) Pada penjumlahan terdapat ; Unsur identitas, yaitu vektor O = (0,0,0) Lawan dari vektor a adalah –a = (-a1, -a2, -a3) C. Pengurangan Vektor a – b = (a1, a2, a3) – (b1, b2, b3) = (a1-b1, a2-b2, a3-b3) Next Back Home

Vektor di R3 5. Pembagian Ruas Garis D. Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c = ka maka c = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3) 5. Pembagian Ruas Garis A. Pengertian Perbandingan Ruas Garis Misalkan titik T terletak pada ruas garis AB sehingga membagi ruas garis tersebut dengan perbandingan AT : TB = m : n. Next Back Home

Vektor di R3 Tanda positif atau negatif m dan n menentukan letak titik T pada ruas garis AB dengan pedoman ; Jika m dan n bertanda sama (keduanya bertanda positif atau negatif) maka titik T terletak di antara titik A dan B (titik T membagi ruas garis AB). Jika m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau sebaliknya) maka titik T terletak di luar garis AB. Next Back Home

Vektor di R3 5 7 4 1 -2 -2 A T B A B T T A B (c) (a) (b) Pada gambar diatas, titik T membagi ruas garis AB dengan perbandingan sebagai berikut ; Pada gambar (a), titik T membagi ruas garis AB didalam, dengan perbandingan AT : TB = 1 : 4 Pada gambar (b), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = 5 : -2 Next Back Home

Vektor di R3 3. Pada gambar (c), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = -2 : 7 B. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Misalkan ruas garis AB terletak pada bidang sehingga vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = m : n. Next Back Home

Vektor di R3 t = na + mb , m + n ≠ 0 Jika t adalah vektor posisi titik T, vektor t dapat ditentukan dengan rumus berikut ; m T n B a t b O t = na + mb , m + n ≠ 0 n + m Rumus ini juga berlaku apabila titik T membagi ruas garis AB di luar sehingga m dan n berlawanan tanda. Next Back Home

Vektor di R3 C. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat Misalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB). Titik T (xT, yT, zT) membagi ruas garis AB, dengan perbandingan AT : TB = m : n. Koordinat titik T dapat ditentukan dengan rumus berikut ; Next Back Home

Vektor di R3 6. Panjang Vektor dalam Ruang z Misalkan vektor a terletak didalam ruang sehingga a = a1î + a2ĵ + a3k tampak pada gambar disamping. a3 a y a2 a1 x Panjang vektor a dapat ditentukan dengan rumus ; |a| = √a12 + a22 + a32 Next Back Home

|AB|=√(xA- xB)2 + (yA- yB)2 + (zA- zB)2 Vektor di R3 7. Jarak Antara Dua Titik di R3 Misalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB). AB = b – a = (xA, yA, zA)- (xB, yB, zB) = (xA- xB, yA- yB, zA- zB) Dengan demikian , panjang vektor AB adalah ; |AB|=√(xA- xB)2 + (yA- yB)2 + (zA- zB)2 Next Back Home

Vektor di R3 â = a = 1 (x,y,z) 8. Vektor Satuan di R3 Vektor satuan dari sembarang vektor a yang bukan vektor nol di R3, yaitu vektor yang searah dengan vektor dan a besarnya 1 satuan. Jika vektor a=(x,y,z), vektor satuan dari a dapat ditentukan dengan rumus ; â = a = 1 (x,y,z) |a| √x2 + y2 + z2 Next Back Home

Vektor di R3 CONTOH SOAL Tentukan vektor Satuan a = (-2, 6, -3) Penyelesaian ; |a| =√(-2)2 + 62 + (-3)2 = 7 â = 1/7 (-2,6,-3) = (-2/7 , 6/7 , -3/7) Back Home

Perkalian Skalar Dua Vektor 1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali titik vektor a dan b, ditulis a . b didefinisikan sebaai berikut ; a . b = |a||b| cos θ Jika a =(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3) maka hasil kali titik vektor a dan b adalah a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Next Home

Perkalian Skalar Dua Vektor 2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika a, b dan c adalah sembarang vektor dalam ruang, sedangkan k adalah sembarang bilangan real, berlaku sifat-sifat ; Komutatif, a . b = b . a Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan, a . (b + c) = a . b + a . c a . (b – c) = a . b – a . c k(a . b) = ka . b = a . kb a . a = |a|2 ≥ 0 Next Back Home

Perkalian Skalar Dua Vektor 3. Sudut Antara Dua Vektor Misalkan a dan b adalah vektor di R2 dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b. hasil kali skalar kedua vektor ini adalah a . b = |a||b|cos θ. Dari rumus ini diperoleh rumus sebagai berikut ; Cos θ = a . b |a||b| Next Back Home

Perkalian Skalar Dua Vektor Dalam bentuk vektor, rumus diatas sama dengan di R2. hanya yang berbeda adalah bentuk aljabar. Jika a =(a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) maka berlaku rumus ; Cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3 √a12 + a22 + a32 x √b12 + b22 + b32 Next Back Home

Perkalian Skalar Dua Vektor CONTOH SOAL Jika u dan v masing-masing adalah vektor satuan dan sudut yang dibentuk antara 60o, tentukan nilai berikut ; u . v b. u . (u + v) Penyelesaian ; u . v = |u||v| cos θ = 1.1 cos 60o =1/2 u . (u + v) = u . u + u . v = 1 + ½ = 3/2 Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dalam geometri bidang, proyeksi ortogonal suatu ruas garis pada ruas gari lain tampak seperti gambar disamping. A B O C Proyeksi titik O dan titik A pada ruas garis OB masing-masing adalah titik O sendiri dan tiitik C. oleh karena itu, proyeksi ortogonal ruas garis OA pada ruas garis OB adalah ruas garis OC. Next Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 1. Panjang Proyeksi Ortogonal A Pada gambar disamping, ruas garis berarah OA mewakili vektor a θ B O c C b a, ruas garis berarah OB mewakili vektor b , dan ruas garis berarah OC mewakili vektor c. sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah θ. Proyeksi ortogonal OA pada OB adalah OC. Next Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dari gambar diatas, tampak bahwa|c|=|a|cos θ, sedangkan berdasarkan rumus antara dua vektor, kita ketahui ; Cos θ = a . b |a||b| |c|=|a| a . b = a . b |a||b| |b| Oleh karena itu, Nilai |c| ini adalah panjang proyeksi dari vektor a pada vektor b. karena a . b mungkin bernilai negatif, sedangkan |c| tidak boleh bernilai negatif, Next Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain maka pada ruas kanan rumus panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b di atas diberi tanda mutlak . Oleh karena itu , kita dapat rumuskan sebagai berikut. Jika |c| adalah panjang proyeksi ortogonal dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; |c| = a . b |b| Next Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 2. Proyeksi Vektor Ortogonal A Perhatikan gambar disamping, ruas garis berarah OC mewakili a θ B c O C b vektor c sehingga c merupakan proyeksi vektor a pada b. vektor c dinamakan proyeksi ortogonal dari a pada b. vektor c merupakan hasil kali |c| dengan vektor satuannya, yaitu vektor yang panjangnya 1 satuan dan searah dengan c. Vektor satuan dari c Next Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain dinotasikan ĉ. Karena c searah dengan b, vektorsatuan dari c sama dengan vektor satuan dari b. karena ĉ = b maka diperoleh rumus ; c = |c|b c = a . b b |b| |b| Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut, Jika c adalah vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; c = a . b b |b|2 Next Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain CONTOH SOAL Diketahui a = (2, 3, -1) dan b (3, -4, 5) Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b ! Proyeksi a pada b ! Penyelesaian ; |u|= Back Home

Soal-Soal Soal 1 Soal 6 Soal 2 Soal 7 Soal 3 Soal 8 Soal 4 Soal 9 Sekian Home

Soal-Soal Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah ? b. (-2, -7, 4) e. (2, 7, -4) c. (-2, -4, -7) 2. Jika v = 2î + 4ĵ -√5k, panjang vektor tersebut adalah ? a. 5 c. 7 e. 4 b. 6 d. 4√5 Soal-soal

Soal-Soal 3. Agar vektor v = pî - 2ĵ + k dan u = 2pî + pĵ – 4k saling tegak lurus, nilai p adalah ? a. p= 1 atau p= 2 d. p= -1 atau p= -2 b. p=-2 atau p= 1 e. p= -1 atau p= 2 c. p= 1 atau p= -1 Jika P(3, -1, 2), Q(2, 4, 0) dan R(1, 3, -2) maka nilai PQ . QR =…… a. 12 c. 14 e. 0 b.13 d. 16 Soal-soal

Soal-Soal Diketahi titik A(1, 0, 2) dan B(4, 2, -3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka p =……… a. (9/5 , 4/5 , -12/5) d. (11/3, 4/3 , -4) b. (11/5 , 4/5 , -12/5 ) e. (2 , -6 , 11/2) c. (11/7 , 4/7 , -12/7) Soal-soal

Soal-Soal Panjang dari proyeksi vektor u=-√3 î + 3ĵ +k pada vektor v= √3 î + pĵ +3k adalah 3/2. nilai p = ……….. a. 2 atau -2 c. -1 atau 1 e. 2 atau 3 b. 2 atau -1 d. 2 atau 1 Titik A(3, 2, -1), B(1, -2, 1) dan C(7, p-1, -5) segaris untuk nilai p =………… a. 13 c. 5 e. -13 b. 11 d. -11 Soal-soal

Soal-Soal Diketahui vektor a =(3, -2, 4) dan b=(-5, 4, -1). Vektor c untuk c = 2(3a-b) adalah…. a. (-22, 20, 16) c. (-22, 10, 18) e. (28, -20, 26) b. (-11, 20, 8) d. (22, -10, -16) Vektor PQ = (2, 0, 1) dan vektor PR=(1, 1, 2). Jika PS=1/2PQ maka vektor RS=…………… a. (0, -1, -3/2) c. (3/2, 1, 0) e.(1, -1, 1) b. (-1, 0, -3/2) d. (1/2, 0, 1) Soal-soal

Soal-Soal Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60o ,|a|=4, |b|= 3 maka a . (a – b)=………. a. 2 d. 8 b. 4 e. 10 c. 6 Soal-soal

SELAMAT BELAJAR Home

BENAR…!!! SOAL-SOAL

SALAH !!!! SOAL-SOAL