Operasi pada Himpunan Fuzzy (Lanjutan) Anifuddin Azis

Telah dijelaskan bahwa himpunan fuzzy A  B adalah himpunan fuzzy terkecil yang mengandung keduanya, sedangkan himpunan fuzzy A ∩ B adalah himpunan fuzzy terbesar yang diisi oleh keduanya. Terdapat kemungkinan tipe operasi yang lain, misalkan didefinisikan A  B sebagai sebarang himpunan fuzzy yang mengandung keduanya (tidak perlu yang terkecil). Mengapa perlu operator yang lain? Alasan utamanya adalah operator dasar tsb bisa jadi tidak sesuai untuk beberaoa situasi. Alasan lain adalah bahwa secara teori dimungkinkan untuk mengembangkan operator pada himpunan fuzzy.

Fuzzy Complement Misalkan c: [0,1][0,1] adalah pemetaan yang memindahkan fungsi himpunan fuzzy A ke dalam fungsi keanggotaan komplemen A, yaitu : Pada operasi dasar, . Untuk fungsi c yang memenuhi kualifikasi sebagai komplemen, harus memenuhi 2 persyaratan : Aksioma c1. c(0)=1 dan c(1)= 0 (kondisi batas) Aksioma c2. Untuk semua a,b є [0,1], jika a<b, maka c(a) ≥c(b) dengan a dan b adalah fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy, misalkan a= µA(x) dan b= µB(x) Aksioma c1 menunjukkan bahwa jika sebuah elemen menjadi anggota himpunan fuzzy dengan derajat satu, maka derajat keanggotaan pada komplemen himpunan fuzzy adalah nol. Dan sebaliknya. Aksioma c2 meyatakan bhw naiknya nilai keanggotaan akan mengakibatkan menurunnya atau tanpa perubahan nilai keanggotaan komplemennya. Jadi, jika melanggar persyaratan di atas, suatu operator tdk diterima sebagai komplemen.

Definisi Sebarang fungsi c : [0,1][0,1] yang memenuhi aksioma c1 dan c2 disebut sebagai komplemen fuzzy. Contoh : 1. Sugeno class: 2. Yager class :

Fuzzy Union Misalkan s : [0,1] x [0,1] [0,1] adalah pemetaan yang memindahkan fungsi himpunan fuzzy A dan B ke dalam fungsi keanggotaan union A dan B, yaitu : Pada operasi sebelumnya, . Untuk fungsi s yang memenuhi kualifikasi sebagai union, harus memenuhi 4 persyaratan : Aksioma s1. s(1,1) = 1, s(0,a) = s(a,0) = a (kondisi batas) Aksioma s2. s(a,b) = s(b,a) (kondisi komutatif) Aksioma s3. Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’, maka s(a,b) ≤ s(a’, b’) (kondisi tidak menaik) Aksioma s4. s(s(a,b),c) = s(a, s(b,c)) (kondisi asosiatif)

Definisi : Sebarang fungsi s : [0,1] x [0,1] [0,1] yang memenuhi aksioma s1-s4 disebut sebagai s-norm. Terdapat tiga kelas s-norm : Dombi class Dengan 2. Dubois-Prade class 3. Yager class

Beberapa s-norm yang lain adalah : Drastic sum : Einstein Sum Algebraic sum (Lukasiewiez) :

Fuzzy Intersection Misalkan s : [0,1] x [0,1] [0,1] adalah pemetaan yang memindahkan fungsi himpunan fuzzy A dan B ke dalam fungsi keanggotaan intersection A dan B, yaitu : Pada operasi sebelumnya, . Untuk fungsi t yang memenuhi kualifikasi sebagai union, harus memenuhi 4 persyaratan : Aksioma t1. t(0,0) = 0, s(a,1) = t(1,a) = a (kondisi batas) Aksioma t2. t(a,b) = t(b,a) (kondisi komutatif) Aksioma t3. Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’, maka t(a,b) ≤ t(a’, b’) (kondisi tidak menaik) Aksioma t4. t(t(a,b),c) = t(a, t(b,c)) (kondisi asosiatif)

Definisi : Sebarang fungsi t : [0,1] x [0,1] [0,1] yang memenuhi aksioma t1-t4 disebut sebagai t-norm. Untuk sebarang t-norm akan terdapat s-norm yang bersesuaian, dan sebaliknya : Dombi class Dengan 2. Dubois-Prade class 3. Yager class

Beberapa s-norm yang lain adalah : Drastic sum : Einstein Sum Algebraic sum (Lukasiewiez) :

Latihan Tunjukkan bahwa Hukum DeMorgan ~(A  B) = ~A ∩ ~B, dengan menggunakan s-norm s(a,b), t-norm t(a,b) dan komplemen fuzzy c(a) sehingga : c[s(a,b)] = t[c(a), c(b)] Menggunakan Yager s-norm, Yager t-norm, dan komplemen fuzzy dasar. Menggunakan algebraic sum, algebraic product, dan komplemen fuzzy dasar.