Chinese remainder theorem

Chinese Remainder Theorem Sistem ini merupakan bentuk word puzzles yang dirumuskan dalam persoalan matematika Cina dan Hindu kuno oleh Sun Tsu (ahli matematika Cina). Teorema ini adalah suatu sistem kongruen yang menjadi dasar metode perhitungan aritmetika dengan bilangan bulat yang besar.

Pertanyaan: Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7.

Teorema Jika terdapat m1,m2,…,mn yang merupakan pasangan kongruensi bilangan bulat positif, sistem X  a1(mod m1) X  a2(mod m2) … X  an(mod mn) memiliki solusi unik terhadap modulo m=m1.m2…mn dimana hasil x akan berada pada 0 ≤ x ≤ m, dan solusi lainnya kongruen dengan modulo m terhadap solusi ini.

Algoritma CRT : Menghitung nilai m Mencari invers Mencari solusi

Contoh : Carilah solusi dari : a1= 2, a2 = 3 dan a3 = 2 x  2 mod 3 x  3 mod 5 x  2 mod 7 a1= 2, a2 = 3 dan a3 = 2 m1 = 3, m2 = 5 dan m3 = 7

1. Hitung nilai m m=m1.m2.m3 M1=m/3=35 M2=m/5=21 M3=m/7=15

2. Mencari invers Carilah invers masing-masing dari M1,M2 dan M3: 35  y1 mod 3 3 | 35 - y1, y1 =2 21  y2 mod 5 5 | 21 - y2, y2 =1 15  y3 mod 7 7 | 15 - y3, y3 =1

3. Mencari solusi Hitung solusi x sebagai berikut: x  (a1.M1.y1 + a2.M2.y2 + a3.M3.y3)(mod 105) x  (2.35. 2 + 3. 21.1 + 2.15.1) (mod 105) x  233 (mod 105) 105 | (x-233) diperoleh : x = 23

Latihan x  3 (mod 5) x  5 (mod 7) x  7 (mod 11)

Contoh X ≡ 2 mod 3 X ≡ 4 mod 5 X ≡ 3 mod 7

Langkah 1,2 M = 3 * 5 * 7 = 105 M1 = 105 : 3 = 35 M2 = 105 : 5 = 21   M1 = 105 : 3 = 35 M2 = 105 : 5 = 21 M3 = 105 : 7 = 15 3 | (35 – y1) Y1 = 2 5 | (21 – y2) Y2 = 1 7 | (15 - y3) Y3 = 1

Langkah 3, Solusi X = ( a1 * M1 * y1 + a2 * M2 * y2 + a3 * M3 * y3 ) (mod 105) X = ( 2 * 35 * 2 + 4 * 21 * 1 + 6 * 15 * 1 ) (mod 105) X = (140 + 84 + 45) (mod 105) X = 269 mod 105   105 | (X – 269) 105 | (59 – 269) X = 59 Angka tersebut adalah 59

Contoh x ≡ 2(mod 3) x ≡ 4(mod 5) x ≡ 6(mod7) x ≡ r1(mod m1); x ≡ r2(mod m2); x ≡ r3(mod m3)

Langkah pertama : Menghitung M, dimana M = m1.m2.m3. Jadi, M = 3 x 5 x 7 = 105.

Langkah kedua : Mencari M1 M2 M3 M1 = M/ m1 , M2 = M/ m2, M3 = M/ m3

Langkah ketiga : mencari zn. Untuk z < m. Kita mencoba memasukkan nilai zn mulai dari 1 dimasukan ke dalam rumus di bawah ini. x≡ (Mn.zn)mod mn, di mana n= 1,2,3 Jika hasil dari perhitungan di atas sama dengan 1, maka nilai zn tersebut yang akan kita pakai. x≡(M1.z1) mod m1=1

Langkah ketiga… : z1=1  (35.1) mod 3 = 35 mod 3 = 2 (2 ≠ 1) = 1 z1=2 (M2.z2) mod m2=1 z2=1  (21.1) mod 5 = 21 mod 5 z2=1 (M3.z3) mod m3=1 z3=1  (15.1) mod 7 = 15 mod 7 z3=1 Jadi, z1=2 ; z2=1; z3=1

Langkah keempat : Mencari x0 = r1.M1.z1+r2.M2.z2+…+rn.Mn.zn. x0=314 dan M=105, maka akan diperoleh hasil : x= 314 mod 105=104 314≡104(mod 105)

Pembuktian Untuk membuktikan jawaban tersebut, kita memasukan x kedalam soal kongruensi di atas menjadi seperti berikut x ≡ 2(mod 3) x ≡ 4(mod 5) x ≡ 6(mod7). 104 ≡ 2(mod 3), 104 ≡ 4(mod 5), 104 ≡ 6(mod7) 104 dibagi 3 menyisakan 2 (104 mod 3 =2) 104 dibagi 5 menyisakan 4 (104 mod 5 =4) 104 dibagi 7 menyisakan 6 (104 mod 7=6) Dengan demikian, diketahui nilai x yang dicari adalah 104

Selamat Belajar