Pengantar Teori Peluang Pertemuan ke-2 dan 3/7 Dr. Adji Achmad RF, S.Si, M.Sc Statistika, FMIPA, Universitas Brawijaya Malang

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Kombinatorik

Definisi Peluang Apakah peluang itu ? Apakah sebatas peluang muncul gambar pada pelemparan 1 mata uang yang setimbang adalah 0.5 , atau peluang Cris John akan mampu meng-KO lawan tandingnya dalam pertandingan tinju adalah 0.6 . Life is uncertain. Kita tidak mengetahui secara pasti apa yang terjadi di masa mendatang dengan kondisi ketidakpastian setiap harinya. Hal ini mengisyaratkan bahwa sering kita membuat suatu keputusan dengan sedikit pengetahuan/ keterangan. Situasi ketidakpastian ini sering dianalisis dengan bentuk rata-rata jangka panjang yang dikenal dengan peluang / probabilitas.

Definisi Peluang Teori peluang adalah cabang dari matematika yang mana merupakan pengembangan model untuk Chance Variation atau Random Phenomena. Teori mengenai peluang diawali dengan analisis kans kemenangan dari permainan judi yaitu dadu dan kartu. Hingga kini kasino menggunakan peluang untuk merancang pembayaran diantaranya untuk roulette, craps, blackjack. Bahkan dibeberapa negara , pemerintahnya memakai peluang untuk merancang pembayaran lotere.

Peluang di bidang Aktuaria Perkembangan yang sangat berarti dari peluang ini merambah di kehidupan kita tidak hanya sekedar judi. Sebagai contoh biaya premi atau jumlah santunan pada masalah asuransi. Dengan jumlah santunan yang sama sebesar A rupiah dan jangka waktu asuransi yang sama yaitu n tahun bagi orang yang berusia 20 tahun dan 60 tahun , tentunya pembayaran premi pertahunnya berbeda . Premi yang harus dibayar orang yang berusia 60 tahun lebih besar daripada orang yang berusia 20 tahun. Hal ini disebabkan bahwa peluang orang yang berusia 60 tahun untuk mencapai usia n tahun lagi kecil dibanding dengan orang yang berusia 20 tahun, (atau ekspektasi hidup orang yang berusia 60 tahun lebih kecil daripada orang yang berusia 20 tahun).

Notasi dan Terminologi Ruang Contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S Contoh Perhatikan percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam. Bila kita tertarik pada bilangan yang muncul, ruang contohnya adalah S1 = 1,2,3,4,5,6} Bila kita tertarik pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil ruang contohnya adalah S2 = genap, ganjil Sebuah percobaan pelemparan dua koin dan pengamatan pada sisi mana yang muncul, ruang contohnya adalah S ={GG, GA, AG, AA}. Dimana G melambangkan yang muncul adalah Gambar sedangkan A melambangkan yang muncul adalah Angka

Kejadian : Suatu himpunan bagian dari ruang contoh Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = hati yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S = hati, sekop, klaver, wajik. Kejadian B yaitu terambilnya kartu merah, B = hati, wajik Pada percobaan pelemparan 2 koin, E = {GG, GA} adalah kejadian bahwa pada koin pertama muncul Gambar. Sedangkan kejadian F = {GA, AA} adalah kejadian pada koin kedua muncul Angka

Kejadian Sederhana : adalah suatu kejadian yang dapat dinyatakan sebagai suatu himpunan yang hanya terdiri dari satu titik contoh. Kejadian majemuk : adalah suatu kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian sederhana

Contoh Pada contoh pelemparan dua koin dengan S ={GG, GA, AG, AA}, kejadian munculnya Gambar pada koin pertama dan Gambar pada koin kedua adalah kejadian sederhana yang dapat dilambangkan dengan A = {GG}. Kejadian munculnya Gambar pada koin pertama adalah kejadian majemuk yang dapat dilambangkan dengan B = {GG, GA}

Pengolahan Kejadian Irisan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan kejadian B Gabungan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya Komplemen suatu kejadian (Ac) : adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A

Contoh Misalkan A = 1,2,3,4,5 dan B = 2,4,6,8; maka AB = 2,4 Bila R adalah himpunan semua pembayar pajak dan S adalah himpunan semua orang yang berusia di atas 65 tahun, maka RS adalah himpunan semua pembayar pajak yang berusia di atas 65 tahun Jika A = 2,3,5,8 dan B = 3,6,8, maka AB = 2,3,5,6,8

Jika M = x|3<x<9 dan N = y|5<y<12, maka MN = z|3<z<12 Misalkan S = buku, anjing, rokok, uang logam, peta, perang. Jika A = anjing, perang, buku, rokok maka Ac = uang logam, peta Misalkan K adalah kejadian terambilnya kartu merah dari seperangkat kartu bridge dan S adalah ruang contohnya yang berupa seluruh kartu tersebut. Maka Kc adalah kejadian terambilnya kartu bukan merah, yang berarti juga terambilnya kartu hitam.

Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah atau mutually exclusive bila AB = , artinya A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan

Diagram Venn : Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian – kejadian

Diagram Venn Bagian yang diarsir : EF Bagian yang diarsir EF

E  F Bagian yang diarsir Ec

Hukum – hukum operasi dari gabungan, irisan dan komplemen Hukum komutatif : AB = BA, AB = BA Hukum Asosiatif : (AB) C = A(B C), (AB)C=A(BC) Hukum Distributif : (AB) C = (AC)  (BC), (AB) C = (AC)  (BC) Hukum De Morgan

Definisi Peluang dan Sifat – sifatnya Definisi dalam term frekuensi relatif dengan P(E) = peluang kejadian E n(E) = banyaknya kejadian E n = banyak percobaan

Definisi berdasar pendekatan aksiomatik modern Misalkan sebuah percobaan dengan ruang contoh S. Untuk setiap kejadian E dari ruang contoh S diasumsikan P(E) terdefinisi dan memenuhi tiga aksioma berikut : Aksioma 1 : 0  P(E)  1 Aksioma 2 : P(S) = 1

Aksioma 3 : Untuk barisan kejadian yang saling lepas (mutually eksklusive) E1, E2, …( yaitu kejadian kejadian dimana EiEj =  di mana i  j), dimana P(E) adalah peluang kejadian E

Contoh Dalam percobaan pelemparan koin, jika kita mengasumsikan bahwa peluang munculnya Gambar dan Angka sama besar, maka P({G}) = P({A}) = ½. Tetapi jika kita mengasumsikan bahwa koin tersebut tidak setimbang sehingga peluang munculnya Gambar adalah dua kali peluang muncul Angka, maka P({G}) = 2/3 dan P({A}) = 1/3 Jika sebuah dadu bermata 6 dilemparkan dan misalkan peluang munculnya tiap sisi adalah sama, maka P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1/6. Dari aksioma 3, kita akan dapat mengetahui peluang kejadian munculnya mata dadu genap adalah P({2,4,6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Proposisi yang berkaian dengan peluang P(Ec) = 1 – P(E) Proposisi 2 Jika E  F, maka P(E)  P(F) Proposisi 3 : P(EF)= P(E) + P(F) – P(EF)

Contoh Misalkan P = {a, i, u ,e ,o} dan R adalah {b, c, d, f, g}, maka PR = . P dan R adalah dua kejadian yang saling terpisah atau mutually exlusive. Pada percobaan pelemparan dadu bermata 6, A adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan B adalah kejadian munculnya mata dadu 3. A dan B adalah dua kejadian yang mutually exclusive.

Proposisi 4 : P(E1E2…En) = + + …+(-1)n+1P(E1E2…En) Penjumlahan P(Ei1Ei2…Eir) diambil dari semua himpunan bagian berukuran r yang mungkin dari himpunan 1,2,…,n

Diasumsikan bahwa semua hasil dalam ruang contoh mempunyai peluang terjadi yang sama. Misalkan suatu percobaan dengan ruang contoh terbatas, S = 1,2,…,N, maka diasumsikan P1= P2=…= PN sehingga P(i) = 1/N dan P(E) = banyaknya titik dalam E/ banyaknya titik dalam S

Contoh Dalam pelemparan dua koin, ruang contohnya adalah {GG, GA, AG, AA}. Sehingga masing – masing titik contoh memiliki peluang ¼ untuk terjadi. Peluang terjadinya kejadian A yaitu munculnya Gambar pada koin pertama 2/4 karena kejadian A mengandung dua titik contoh. Dalam kejadian pelemparan dua dadu, terdapat 36 titik contoh dalam ruung contohnya sehingga masing – masing titik contoh mempunyai peluang 1/36 untuk terjadi. Kejadian C yaitu kejadian penjumlahan mata dadu yang keluar adalah tujuh mengandung 6 titik contoh yaitu (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) dan (6,1). Sehingga peluang kejadian C adalah 6/36 = 1/6.

Definisi berdasar term ukuran keyakinan: peluang merupakan ukuran keyakinan seseorang pada pernyataan yang dinyatakan olehnya Bersifat sangat subyektif dan dipengaruhi oleh pengetahuan dan pengalaman orang yang menyatakan peluang tersebut

Soal - soal 1. Sebuah koin dilempar tiga kali dan sisi apa yang muncul diamati (Gambar atau Angka) Daftarkan ruang contohnya. Daftarkan unsur yang menyusun kejadian A = kejadian muncul sedikitnya dua Gambar, kejadian B = kejadian muncul Gambar pada dua koin pertama dan C = kejadian muncul Angka pada pelemparan terakhir

2. Dari 5 orang laki – laki dan 4 orang perempuan akan dipilih 3 orang sebagai wakil dari suatu partai yang akan dikirim untuk menghadiri suatu konferensi. Berapa peluang yang terpilih adalah (a) ketiganya laki – laki (b) ketiganya perempuan dan (c) 1 laki – laki dan 2 perempuan