Operational Research 1 (IE G2M3) Murni dwi Astuti ST MT Amelia Kurniawati. ST., MT. Aji Pamoso Puti Renosori Rio Aurachman, ST. MT Program Studi Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom University

PERUMUSAN MODEL LINEAR PROGRAMMING

Permasalahan Sederhana Pemodelan Matematika Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..

Pemodelan Matematika Jawab: Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya: x ≥ 0 ; y≥ 0 8000x + 6000y ≤ 1200.000 ….(1) 4x + 3y ≤ 600 ….(1) x + y ≤ 180 ….(2) Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200 Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000 Z= Laba maksimum = 1200x + 1000y

Titik pojok           1200x + 1000y (0, 0)                              0 (150, 0)                      180.000 (60, 120)                    192.000 (0, 180)                       180.000 Laba maksimum adalah 192.000

SPM : 150.000 DWT (INCOMING/OUTGOING CRUDE & DCO) INCOMING/OUTGOING FACILITY SPM : 150.000 DWT (INCOMING/OUTGOING CRUDE & DCO) SPM : 35.000 DWT (INCOMING NAPHTA) SPM : 17.500 DWT (OUTGOING WHITE PRODUCT) JETTY LPG KILANG UP VI SPM : 6.500 DWT

Sistem Adalah… Sistem (system) merupakan representasi dari dunia nyata dengan pengidentifikasian faktor faktor yang dominan dan relevan yang mengendalikan perilaku dari dunia nyata tersebut.

Pemodelan Sistem Adalah Pemodelan sistem merupakan proses pembentukan model berdasarkan sistem yang dipelajari. Adapun konsekuensi dari pembuatan suatu model adalah akan terjadi suatu galat antara sistem nyata dan model dari sistem tersebut. Gambar II‑2 Model Fisik (ww.google.com)

Jika Ilmuan Biologi Menggunakan Kelinci Lalu sarjana Teknik Industri Menggunakan Apa? Apakah Menggunakan Pabrik?

Proses Pemodelan Matematika (Murthy, 1990, halaman 69)

Model Normatif (Model Optimisasi) Tipologi Model Termasuk Model Apakah Globe tadi? Termasuk model apakah persoalan penjual buah tadi? Model Model Fisik Model Matematis Model Analitik Model deskriptif Model Normatif (Model Optimisasi) Model Simulasi

MODEL OPTIMISASI MATEMATIK (Mathematical Optimization Model) Model matematik yang merepresentasikan masalah optimisasi. Istilah lain: model pemrograman matematik (mathematical programming model) Ingat!!! Masalah optimisasi: masalah yang terkait dengan penentuan keputusan yang memberikan ukuran kinerja terbaik dari sekumpulan alternatif keputusan yang ada

MODEL OPTIMISASI MATEMATIK -Klasifikasi- Deterministic Single Sifat besaran Jumlah variabel keputusan Probabilistic Multiple Single Model Optimisasi Matematik Continuous Jumlah fungsi tujuan Sifat variabel keputusan Multiple Discrete Linear constrained Sifat fungsi Eksistensi pembatas Nonlinear Unconstrained

PENDAHULUAN (1) Elemen Utama OR Quantitative Model Solution Sumber: Eiselt & Sandblom (2010)

Klasifikasi Pemodelan Matematika (Operation Research) Antrian Kendaraan Di Gerbang Tol Queueing Problem Inventory Problem Allocation Problem Scheduling and Routing Problem Replacement And Maintenance Problem Search Problem Competition pendekatan yang dilakukan Ackoff dan rivett (Wilson, 1985) Penyimpanan Barang di Gudang Penugasan dan Pembagian Tugas Penjadwalan Kereta Maintenance Pabrik Web Search Model Pelelangan Termasuk Model Apakah Persoalan ini?

Batasan Terkait KAPASITAS SPM Model Matematika FUNGSI TUJUAN Total Nilai Jual Naphtha Total Nilai Beli Naphtha s/t: Batasan Terkait KAPASITAS SPM Nilai Integer Const. Pada satu slot hanya boleh satu kapal (Kapasitas SPM) Const. jarak kedatangan antar kapal Kapasitas Maksimum tiap kilang Total jumlah kapal dikirim dari kilang - i Jumlah kapal yang dikirim sesuai kapasitas SPM bulanan

PENDAHULUAN (4) Solution set of Instructions Exact/ Analytical Technique (langsung ketemu) Heuristic/ Numerical Technique (Coba-coba)

Tujuan PEMBELAJARAN Memahami konsep fungsi tujuan, variabel keputusan, dan pembatas Mampu merumuskan permasalahan nyata ke dalam model matematis linear programming Memahami bentuk pertidaksamaan dan standar

PENDAHULUAN (2) Model OR Komponen utama: Alternatives Objective criterion Constraint Sumber: Taha (2007)

PENDAHULUAN (3) Quantitative Model Objective Yang ingin kita capai Batasan Constraints Angka yang kita ketahui Tapi tidak bisa kita atur Parameters Angka yang tidak kita ketahui dan bias kita atur Variables

PENDAHULUAN (5) Modeling Process: Problem Recognizing Authorization to Model Modeling Process: Model Building & Data Collection Model Solution Model Validation Model Presentation Implementation Monitoring & Control

LINEAR PROGRAMMING (1) Merupakan salah satu teknik OR yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.

LINEAR PROGRAMMING (2) diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan beberapa kendala linier pada tahap awal, penerapan-penerapan LP banyak dijumpai pada masalah-masalah militer seperti logistik, transportasi, dan perbekalan

LINEAR PROGRAMMING (3) dapat diterapkan dalam masalah-masalah sektor pemerintah dan swasta. Hasilnya, LP disadari sebagai pendekatan penyelesaian masalah yang sangat ampuh untuk analisis keputusan dalam bidang bisnis

KARAKTERISTIK LINEAR PROGRAMMING (1) Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesis. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian  fungsi tujuan dan pembatas.

KARAKTERISTIK LINEAR PROGRAMMING (2) Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi tiap variabel terhadap fungsi tujuan dan fungsi pembatas adalah proporsional terhadap nilai dari variabel tersebut. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa kontribusi sebuah variabel keputusan terhadap fungsi tujuan dan fungsi pembatas adalah independent dengan variabel yang lainnya.

KARAKTERISTIK LINEAR PROGRAMMING (3) Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.  Sifat kepastian Semua parameter dari model adalah diketahui dan deterministik.

KARAKTERISTIK LINEAR PROGRAMMING (4)  Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam linear programming diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh. 

LANGKAH-LANGKAH MEMBANGUN MODEL LP 1. Formulasi Permasalahan  mempelajari sistem relevan mengembangkan pernyataan permasalahan: pernyataan tujuan sumber daya yang membatasi alternatif keputusan yang mungkin hubungan antara bagian dan lain-lain.      

LANGKAH-LANGKAH MEMBANGUN MODEL LP 2. Pembentukan model matematik  Mengidentifikasikan variabel yang tak diketahui yang akan ditentukan nilainya (decision variable) dan menyatakannya dengan simbol-simbol matematis. Mengidentifikasi semua pembatas (constraint) dan menyatakannya dengan persamaan atau pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel keputusan. Mengidentifikasi tujuan atau kriteria dan menyatakannya sebagai suatu fungsi linier dari variabel keputusan yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan (fungsi tujuan)

Jumlah aktivitas yang akan dilakukan Koefisien cost/benefit MODEL UMUM LP (1) Maksimumkan/Minimumkan: Z = C1X1 + C2X2+…+CnXn Dengan Kendala: a11X1 + a22X2 +…+ a1nXn  b1 a21X1 + a22X2 +…+ a2nXn  b2 a31X1 + a32X2 +…+ a3nXn  b3 am1X1 + am2X2 +…+ amnXn  bm X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, … ,Xn ≥ 0 Variabel keputusan Jumlah aktivitas yang akan dilakukan Fungsi Tujuan Koefisien cost/benefit max min Menunjukkan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan.

Kapasitas maks/ Permintaan min MODEL UMUM LP (2) Maksimumkan/Minimumkan: Z = C1X1 + C2X2+…+CnXn Dengan Kendala: a11X1 + a22X2 +…+ a1nXn  b1 a21X1 + a22X2 +…+ a2nXn  b2 a31X1 + a32X2 +…+ a3nXn  b3 am1X1 + am2X2 +…+ amnXn  bm X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, … ,Xn ≥ 0 penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi Fungsi Pembatas Kapasitas maks/ Permintaan min bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥) batasan non negatif Jumlah pembatas

Area feasible/ layak dan solusi optimal Sekumpulan titik yang memenuhi semua pembatas pada programa linear termasuk pembatas tanda Solusi optimal Pada kasus maksimasi adalah sebuah titik di area feasible yang memiliki nilai fungsi tujuan terbesar. Pada kasus minimasi adalah sebuah titik di area feasible yang memiliki nilai fungsi tujuan terkecil.

Format Standard & Kanonik (1) Bentuk standard Bentuk Kanonik Seluruh persamaan pembatas berbentuk persamaan Seluruh variabel keputusan non-negatif Diselesaikan dengan metode Simplex Untuk persoalan minimisasi, pembatas berbentuk pertidaksamaan ≥, variabel keputusan non-negatif Untuk persoalan maksimisasi, pembatas berbentuk pertidaksamaan ≤, variabel keputusan non-negatif Berguna dalam membahas hubungan dualitas

Format Standard & Kanonik (2) Persoalan Minimasi Persoalan Maksimasi min max Bentuk Standard thd thd min max Bentuk Kanonik thd thd

Permasalahan Sederhana Pemodelan Matematika Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..

TARGET MODEL: Lambang Penjelasan Satuan   VARIABEL KEPUTUSAN: PARAMETER: Nilai CONSTRAINT:

Gaji Mathematical Modeller Mathematical modellers use maths to make computer simulations so that a number of scenarios can be investigated without any physical experiments taking place. Computer models are particularly important in areas such as setting quotas for fisheries; modelling traffic patterns; and predicting the outcome of chemical reactions. Pay rates depend on qualifications, experience and the industry: $50-55,000 starting salary for mathematical modellers $45-55,000 for statisticians with one to five years’ experience $65-100,000 for statisticians with more than five years’ experience $60-95,000 for mathematicians with a Master’s degree or PhD working in research Key tertiary qualifications:

LATIHAN 2.a Komponen Programa Linear Latihan 2.a Komponen Model Programa LInear Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah.... Tentukan komponen dari tiap program linear sumber: http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM6O9 LATIHAN 2.a Komponen Programa Linear Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =

Latihan 2.b Model Formulation Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah.... Rencang Model Matematika nya sumber: http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM6O9 LATIHAN 2.a Model Formulation Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =

Latihan 2.c Model Formulation 2 Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut : Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat. Tentukan biaya minimum Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !  Bahan Kandungan per kg bahan Kalsium (kg) Protein (kg) Serat (kg) Biaya (Rp/kg) Jagung 0.001 0.09 0.02 2000 Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500 LATIHAN 2.c Model Formulation 2 Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =

CONTOH KASUS : PT OR merupakan sebuah toko kue. PT OR mempunyai dua jenis produk, yaitu rainbow cake dan cupcake. Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan tepung 100 gr, sedangkan untuk membuat cupcake dibutuhkan tepung 20 gr, jumlah tepung yang tersedia dalam sehari adalah 600 gr. Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan cream cheese 60 gr, sedangkan untuk membuat cupcake dibutuhkan cream cheese 10 gr, jumlah cream cheese yang tersedia dalam sehari adalah 400 gr. Permintaan untuk cupcake paling banyak empat kali lipat dari rainbow cake . Harga jual rainbow cake adalah Rp 80.000 dan harga jual cupcake adalah Rp 20.000. Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya ! 

SOLUSI tujuan yang ingin dicapai adalah : Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, identifikasi tujuan, alternatif, keputusan & batasan sumber daya adalah sebagai berikut: tujuan yang ingin dicapai adalah : memaksimumkan pendapatan Alternatif keputusan adalah: jumlah rainbow cake dan cake yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi  adalah: jumlah tepung dan cream cheese

semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pemilik toko kue SOLUSI tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pemilik toko kue Sumber daya yang membatasi : menggunakan pertidaksamaan ≤, tepung yang digunakan tidak mungkin melebihi tepung yang tersedia Jumlah tepung yang tersedia Jumlah cream cheese yang tersedia menggunakan pertidaksamaan ≤, cream cheese yang digunakan tidak mungkin melebihi cream cheese yang tersedia

SOLUSI Sumber daya yang membatasi : menggunakan pertidaksamaan ≤ atau ≥, tergantung pendefinisian variabelnya Permintaan rainbow cake dan cupcake Pembatas non negatif menggunakan pertidaksamaan ≥, jumlah rainbow cake ataupun cupcake yang diproduksi tidak dapat bernilai negatif

SOLUSI Kita definisikan : x1 = jumlah rainbow cake yang akan diproduksi x2 = jumlah cupcake yang akan diproduksi  Model umum Linear Programming kasus di atas adalah :  Fungsi tujuan : Maksimumkan z = 80000 x1 + 20000 x2  Pembatas : 100 x1 + 20 x2 ≤ 600 (tepung) 60 x1 + 10 x2 ≤ 400 (cream cheese) 4 x1 ≥ x2 atau 4 x1 – x2 ≥ 0 (permintaan) x1 , x2 ≥ 0  (non negatif)

Formulasikan masalah di atas ke dalam bentuk model matematiknya ! SOAL 2: Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan ke depan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet. Formulasikan masalah di atas ke dalam bentuk model matematiknya !

TUGAS Sebuah perusahaan makanan beku yang bergerak dalam produksi sosis dengan panjang standar sosis adalah 200 mm. Saat ini perusahaan menerima formulir pemesanan sosis dengan ukuran non-standar, yaitu 50, 70, dan 90 mm ​​dengan jumlah pesanan: Pesanan Sosis (mm) Jumlah 1 50 150 2 70 200 3 90 300   Karena perusahaan ini hanya memproduksi sosis dengan ukuran standar 200 mm, maka untuk dapat memenuhi pesanan, pemotongan sosis harus dibuat standar. Ada 6 teknik untuk melakukan: 1) sosis dipotong menjadi 70 dan 90 mm ​​dengan sisa 40 mm 2) dipotong menjadi 50 mm, 50 dan 70 dengan sisa 30 mm 3) potong mm 50, 50 dan 90 dengan sisa 10 mm 4) dipotong menjadi 50 mm, 50, 50 dan 50 dengan sisa 0 mm 5) dipotong menjadi 50 mm, 70 dan 70 dengan sisa 10 mm 6) dipotong menjadi 90 dan 90 mm ​​dengan sisa 20 mm *buat model matematika dari kasus ini.