MATEMATIKA SMK VEKTOR By: Zulfan A. R

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar saja tetapi tidak mempunyai arah.

Contoh: Vektor: Kecepatan Gaya Perpindahan Percepatan Skalar: Tinggi Badan Jumlah Siswa dalam kelas Panjang sebuah meja Volume bangun Ruang

Vektor adalah ruas garis yang berarah Secara geometri: Vektor adalah ruas garis yang berarah B u A A : Titik Pangkal / titik tangkap B : Titik Ujung / Terminus Vektor u diwakili Vektor AB = AB

Jenis–jenis vektor 1. Vektor Baris : 2. Vektor Kolom : 3. Vektor Basis : AB = xi + yj 4. Vektor Polar (kutub) : AB = ( r, θ)

Tentukanlah vektor-vektor yang diwakili oleh AB,CD,EF,dan GH

Jawab: Vektor AB = a Vektor CD = - c Vektor EF = d Vektor GH = - e

VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS Vektor AB dalam bentuk pasangan Bilangan AB = SB Y y2 B ( X2, Y2) y1 A (X1,Y1) AB = O x1 x2 SB X

BESAR VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS Besar Vektor AB = AB SB Y B ( X2, Y2) y2 atau y1 A (X1,Y1) O X1 X2 SB Y

Contoh: Diketahui A( 2,1), B( 6,4). Tentukanlah: a. Vektor AB b. Besar Vektor AB Jawab :

Latihan: Tentukanlah Vektor dan Besar Vektor dari gambar berikut : Sb y C A D B o Sb x G F

Jawab: Vektor OA = Vektor BC = Coba tentukan yang lainnya

VEKTOR SATUAN Vektor yang panjangnya satu satuan

Tentukanlah Vektor Satuan dari a Sb y a = 3i + 4j 4 a j Sb x i 3

Jawab: a = 3i + 4j

OPERASI VEKTOR Penjumlahan Pengurangan Perkalian

Penjumlahan Vektor secara Grafis b a + b a

Pengurangan Vektor secara Grafis b a -b a+(-b) = a - b

Perkalian Skalar dengan Vektor

Penjumlahan Vektor secara Analitis (a+b) b 1800- θ θ b

Pengurangan Vektor secara Analitis (a-b) b a θ -b

Contoh : Jawab : 4 60 6

Latihan: 1. Diketahui a = 3i + j , b = i – 2j Tentukanlah : a. Vektor Satuan a b. Vektor Satuan 2b c. Vektor Satuan ( a – 2b)

2 5 120 8 3 12 90 5

4. b a 150o

5. 6

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR ( Dot Product)

Perkalian Skalar Dua Vektor Definisi : a b

Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b Contoh: Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b Jawab : a = 4 45o b = 6

Jika a = x1i + y1j + z1k b = x2i + y2j + z2k Maka Perkalian Skalar a dan b adalah : a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Bukti : a.b = (x1i+y1j+z1k).(x2i +y2j +z2k) = x1.x2.i.i + x1.y2.i.j + x1.z2.i.k + y1.x2.j.i + y1.y2.j.j + y1.z2.j.k + z1.x2.k.i + z1.y2.k.j + z1.z2.k.k = x1.x2. 1 + x1.y2. 0 + x1.z2. 0 + y1.x2. 0 + y1.y2. 1 + y1.x2. 0 + z1.x2. 0 + z1.y2. 0 + z1.x2. 1 a.b = x1.x2. + y1.y2. + z1.z2.

Keterangan : i.i = 1.1. Cos oo = 1.1.=1 j.j = 1.1. Cos oo = 1.1.=1 k.k= 1.1. Cos oo = 1.1.=1 i.j = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0 i.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0 j.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0

Contoh: Diketahui a = 2i + 4j + 6k dan b = 3i – 5j + 8k Tentukan perkalian skalar a dan b Jawab : a.b = 2.3 + 4.(-5) + 6.8 a.b = 6 – 20 + 48 a.b = 34.

Perkalian Silang Dua Vektor ( CROSS PRODUCT )

Perkalian Silang Dua Vektor Definisi : a x b b ê a  Vektor satuan yang tegak lurus a dan b

Jika a = x1i + y1j + z1k b = x2i + y2j + z2k Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah : a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k Atau secara determinan matrik sebagai berikut

Bukti: a x b = (x1i+y1j+z1k) x (x2i +y2j +z2k) = x1.x2. ixi + x1.y2. ixj + x1.z2. ixk + y1.x2. jxi + y1.y2. jxj + y1.z2. jxk + z1.x2. kxi + z1.y2. kxj + z1.z2. kxk = x1.x2. 0 + x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) + y1.y2. 0 + y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i) + z1.x2. 0

a x b = x1. y2. k + x1. z2. (-j) + y1. x2. (-k) + y1. z2. i + z1. x2 a x b = x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) + y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i) = x1.y2. k + y1.x2. (-k) + x1.z2. (-j) + z1.x2. j + y1.z2. i + z1.y2. (-i) = y1.z2. i + z1.y2. (-i) + x1.z2. (-j) + z1.x2. j + x1.y2. k + y1.x2. (-k)

a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k

Keterangan : i x i = 1.1. Sin oo . e = 1.0 .e = 0 j x j = 1.1. Sin oo . e = 1.0.e =0 k x k= 1.1. Sin oo .e = 1.0.e =0 i x j = 1.1. Sin 90o .k = 1. k = k k x i = 1.1. Sin 90o .j = 1. j = j j x k = 1.1. Sin 90o . i = 1. i = i j x i = 1.1. Sin 90o (.-k)= 1.( -k )= -k i x k = 1.1. Sin 90o .(-j) = 1. (-j )= -j k x j = 1.1. Sin 90o . (-i ) = 1. (-i ) = -i k j i e

Diketahui a = 2i + j – 4k , b = 5i – 6j + 3k Tentukan a x b Contoh : Diketahui a = 2i + j – 4k , b = 5i – 6j + 3k Tentukan a x b Jawab: = (1.3 - (-4)(-6))i - ( 2.3 - (-4).5)j + (2.(-6) - 1.5)k = ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k = -21i - 26j - 17k

Luas Jajargenjang Definisi Perkalian Silang b h Ø Luas Jajargenjang adalah = alas x tinggi = a x h = a . b Sin a Ø Jadi Luas Jajargenjang = Besar Vektor Perkalian Silang Dua Vektor Luas Jajargenjang = a x b