Dinamika Rotasi (a) Sebuah benda tegar (rigid) sembarang bentuk yg berputar terhadap sumbu tetap di 0 serta tegak lurus bidang gambar. Garis 0P, garis tetap pada benda dan ikut berputar dengan benda. P t2 P P Δθ t1 θ2 θ θ1 x x (b) (a)

(b) Perubahan sudut Δθ suatu benda berputar Kecepatan sudut rata-rata : Kecepatan sudut sesaat (ω): Percepatan sudut rata-rata : Percepatan sudut sesaat (α):

Rotasi dengan percepatan sudut konstan : Hubungan Kecepatan Sudut dan Kecepatan Linier dengan Percepatan Jika θ dalam radian : S = r θ didiferensiasi terhadap waktu : V P r s θ x

Dengan mendiferensiasi pers. 5.1 terhadap waktu : aT = r α a Komponen radial percepatan di titik P : P aR = ω2 r r θ x

Gaya Putar dan Percepatan Sudut Dinamika rotasi terhadap sumbu tetap yaitu relasi antara gaya-gaya terhadap suatu benda yang berputar dan percepatan sudutnya. Fi Sebuah benda tegar yg berputar terhadap sebuah sumbu tetap melalui titik 0 yang tegak lurus bidang gambar. merupakan salah satu partikel benda yg massanya mi. Partikel itu mengalami gaya luar Fi dan juga gaya dakhil fi , yaitu resultan gaya-gaya yg dilakukan terhadapnya oleh semua partikel lain benda itu. Tinjau gaya Fi dan fi yg terletak pada bidang yg tegak lurus pada sumbu. Dari hukum Newton II : Fi + fi = mi ai θi mi φi fi ri

Diuraikan ke komponen radial dan komponen singgung. Maka: Apabila kedua ruas persamaan kedua dikalikan dengan jarak ri dari partikel ke sumbu, diperoleh: Suku pertama di ruas kiri adalah momen Гi gaya luar terhadap sumbu dan suku kedua ialah momen gaya dakhil. Apabila persamaan (5.2) dijumlahkan maka momen-momen gaya dakhil akan saling meniadakan , karena momen resultan setiap pasangan aksi-reaksi sama dengan nol. Sehingga:

Karena benda itu tegar,maka semua partikel memiliki percepatan sudut α yg sama dan oleh karena itu: Jumlah Σmiri2 disebut momen kelembaman benda terhadap sumbu yg melalui titik O dan dilambangkan dengan I : Maka persamaan 5.3 menjadi : Artinya apabila seuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (Torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen kelembaman benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut.

Sebuah roda berjari-jari R massa m2 dan momen kelembaman I terpasang pada sebuah poros yg bertopang pd gandar yg tidak bergerak. Seutas tali lemas dan ringan dililitkan keliling roda itu. Pada tali ini bergantung sebuah benda bermassa m1. Gesekan di dalam gandar(bearing) diabaikan. Tentukan percepatan benda tergantung. Gambar P R w2 T T m1 w1

Solusi: Gaya resultan benda yg tergantung w1 – T, dari Hukum Newton II: w1 – T = m1 a (1) Gaya P dan w2 tidak punya momen terhadap sumbu roda. Gaya putar resultan pada roda terhadap sumbu ialah TR, dan berdasarkan hukum Newton II untuk rotasi: TR = Rα (2) Karena percepatan linier benda yg tergantung sama dengan percepatan singgung tepi roda, maka: a = R α (3) Penyelesaian sekaligus persamaan 1, 2,3 diatas :

Menghitung Momen Inersia (I) Solusi: a. I = Σmiri2 = 10 x 52 + 20x 42 = 570 g cm2 b.I = Σmiri2 = 30 x 42 = 480 g cm2 B 10 g Hitung momen Inersia: a. Terhadap sumbu melalui A tegak lurus bidang gambar b. Terhadap sumbu yg berhimpitan dengan batang BC 5 cm 3 cm C A 4 cm 30 g 20 g

Untuk suatu benda yg bukan terdiri atas massa titik melainkan atas materi yg terdistribusi secara tidak terputus-putus maka: Jika dV ialah volume dan dm adalah massa sebuah elemen, maka kerapatan (rapat massa) ρ didefinisikan berdasarkan hubungan: dm = ρ dV , sehingga: Kalau rapat massa sebuah benda sama di semua titik, maka benda itu dikatakan uniform, maka:

Momen Inersia dari beberapa bentuk sederhana dan homogen A. Batang Langsing y l L - l dm x dx L Dengan memasukkan dm = λ dx dengan λ adalah massa persatuan panjang =m/L dan batas integrasi dari x = -1 samapai x = L – l diperoleh :

Piringan Tipis dm = δ dA dA = 2π r dr dr r R R Piringan tipis berjari-jari R mempunyai massa persatuan luas = δ = m/A. Piringan diputar dengan sumbu putar pada titik 0 tegak lurus bidang gambar

Silinder Berongga Konsentris dm = ρ dV = ρ .2π r dr. L dr r L Bila benda homogen , ρ sama disetiap titik: R1 R2

Energi kinetik yg dipunyai oleh silinder yang menggelinding adalah: Gerak Menggelinding merupakan gerak campuran yaitu gerakan translasi pusat massa dan gerak rotasi. Energi kinetik yg dipunyai oleh silinder yang menggelinding adalah: Suatu silinder menggelinding dengan jari-jari R dan massa M. Titik-titik P, O, dan Q masing-masing adalah titik-titik dasar yaitu titik singgung antara tanah dengan silinder, pusat massa dan puncak silinder. Kecepatan pusat massa O adalah Vo, ini sama dengan VT = ω R jadi Vo = ωR ω Q O Vo ωR Vo P

Untuk silinder menggelinding pada bidang miring Berdasarkan hukum kekekalan Energi: Dengan memasukkan I = ½ MR2 dan V = ωR, maka: R S I Pada kedudukan I energi yang dipunyai adalah energi potensial : Ep = M g (h + R)atau Ep = M.g (h + R cos θ ) θ h II θ Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih kecil dari pd benda meluncur tanpa gesekan yg kecepatannya:

Energi Kinetik, Usaha dan Daya Bila sebuah benda tegar berputar terhadap suatu sumbu tetap, kecepatan Vi sebuah partikel pada jarak tegak lurus ri dari sumbu itu sama dengan riω , dimana ω adalah kecepatan sudut. Maka energi kinetik partikel itu adalah: dan energi kinetik total benda itu :

Contoh: gaya luar F dilakukan di titik P sebuah benda tegar yg berputar terhadap sumu tetap melalui O , tegak lurus bidang gambar. Ketika benda itu berputar melalui sudut kecil dθ titik P bergerak sejauh ds = r dθ dan usaha yg dilakukan oleh gaya F ialah: F Fs φ ds dθ P O Artinya usaha momen rsultan sama dengan pertambahan energi kinetik

Jika V kecepatan titik tangkapnya, maka daya yg ditimbulkan oleh gaya Г adalah: Contoh : sebuah pabrik mobil membuat ketentuan bahwa mesinnya memberikan 345 Hp dan gaya putar 475 Lb ft. Berapa kecepatan sudut yg bersesuaian ? solusi: Momentum Sudut

Sehingga: atau gaya putar resultan sama dengan kecepatan perubahan momentum sudut, tepat seperti gaya luar resultan sama dengan kecepatan perubahan momentum linier. kalikan dengan dt dan integrasikan, didapat: Jadi Impuls sudut resultan gaya putar pada suatu benda sama dengan perubahan momentum sudut benda.

Contoh soal: sebuah roda yg diameternya 3 m mempunyai kecepatan sudut /angular yg berkurang secara uniform dari 100 rpm pada t = 0 hingga berhenti pada t = 4 detik hitung : a. Percepatan tangensial b. Percepatan normal sebuah titik di tepi roda pada t = 2 detik Solusi: kecepatan awal :

Setelah 4 detik ωt = 0 karena berkurang secara uniform, maka α konstan sehingga: Percepatan tangensial: aT = R α =1,5 x 2,62 = 3,93 m/s2 . Percepatan Normal Pada t = 2 detik ω2= 10,47 – 2,62 x 2 = 5,23 rad/s V2 = R . ω2= 1,5 x 5,23 = 7,85 m/s maka:

Sebuah roda gila memerlukan waktu 3 detik untuk berputar melalui 234 rad. Pada akhir waktu ini kecepatan sudutnya 108 rad/s. Hitung: Percepatan sudut konstannya Solusi:

Tentukan momen kelembaman sebuah batang yg diameternya 4 cm dan panjangnya 2 m, massanya 8 kg. a. Terhadap suatu sumbu yg tegak lurus pada batang dan lewat salah satu ujungnya b. Terhadap sumbu memanjang melalui pusat batang itu Solusi: a. d b. Silinder pejal l = 0 L

Hitung percepatan linier balok A dan B dan tegangan dalam tiap bagian tali massa balok A = 8 gr , B = 4 gr dan radius roda = 0,5 m. jika tidak ada gesekan pd permukaan roda itu. Momen kelembaman roda terhadap sumbu 0,125 kg.m2 R A B