Resista Vikaliana, S.Si.MM STATISTIK INFERENSIA 5/4/2013

Distribusi T Distribusi Z yang bernilai positif. Pendahuluan Relasi antara distribusi normal, z dan t Distribursi normal Distribusi Z merupakan Distribusi Normal terstandarisasi / distribusi normal baku Untuk n>30 Distribusi T Distribusi Z yang bernilai positif. Untuk n≤30 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

UJI HIPOTESIS (Satu Sampel) Resista Vikaliana, S.Si.MM UJI HIPOTESIS (Satu Sampel) 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si. MM

HIPOTESIS Perumusan sementara mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang dituntut untuk melakukan pengecekannya Hipotesis Hipotesis adalah suatu pernyataan/dugaan sementara yang harus diuji dulu kebenarannya Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Jika perumusan atau pernyataan dikhususkan mengenai populasi HIPOTESIS STATISTIK Jika perumusan atau pernyataan dikhususkan mengenai populasi Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Pernyataan : Rata-ratanya 60 (  = 60 )  hipotesis statistik Secara umum, hipotesis statistik  pernyataan mengenai distribusi probabilitas populasi atau pernyataan tentang parameter populasi. Contoh : Nilai Matematika siswa kelas 10 SMAN 1 Salatiga berdistribusi normal. Akan diuji hipotesis : rata-ratanya 60. Pernyataan : Rata-ratanya 60 (  = 60 )  hipotesis statistik Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis Pengujian hipotesis adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak. Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Jawaban sementara terhadap suatu permasalahah yang paling dianggap benar H0 : Pernyataan yang menyatakan tidak berpengaruh, tidak ada perbedaan, tidak ada interaksi dan lainnya H1 : Pernyataan yang menyatakan berpengaruh, ada perbedaan, ada interaksi dan lainnya Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Pernyataan Hipotesis Nol dan Hipotesis alternatif Hipotesis nol (H0) adalah asumsi yang akan diuji. Hipotesis nol dinyatakan dengan hubungan sama dengan. Jadi hipotesis nol adalah menyatakan bahwa parameter (mean, presentase, variansi dan lain-lain) bernilai sama dengan nilai tertentu. Hipotesis alternatif (H1) adalah hipotesis yang berbeda dari hipotesis nol. Hipotesis alternatif merupakan kumpulan hipotesis yang diterima dengan menolak hipotesis nol. Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS Langkah 1. Merumuskan Hipotesis (Hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1)) Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesis) Langkah 3. Menentukan Uji statistik (Alat uji statistik, uji Z, t, F, X2 dan lain-lain) Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan(Daerah di mana hipotesis nol diterima atau ditolak)) Langkah 5. Mengambil Keputusan Menolak Ho Menolak Ho menerima H1/Ha Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi MERUMUSKAN HIPOTESIS Hipotesis nol / H0 Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi Hipotesis alternatif / H1 atau Ha Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesis nol adalah salah Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Taraf nyata/ signifikan MENENTUKAN TARAF NYATA/ SIGNIFIKAN Taraf nyata/ signifikan Probabilitas menolak hipotesis nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Pemilihan taraf nyata/ tingkat kepentingan ( level of significance ), α Taraf nyata/ tingkat kepentingan ( level of significance )  menyatakan suatu tingkat resiko melakukan kesalahan dengan menolak hipotesis nol. Dengan kata lain, tingkat kepentingan menunjukkan  probabilitas maksimum yang ditetapkan untuk menghasilkan jenis resiko pada tingkat yang pertama. Dalam prakteknya, tingkat kepentingan yang digunakan adalah 0.1, 0.05 atau 0.01. Jadi dengan mengatakan hipotesis bahwa ditolak dengan tingkat kepentingan 0.05  keputusan itu bisa salah dengan probabitas 0.05. Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Nilai Z diperoleh dari rumus berikut: Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013 MENENTUKAN UJI STATISTIK Uji statistik Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa. Nilai Z diperoleh dari rumus berikut: Di mana: Z : Nilai Z : Rata-rata hitung sampel  : Rata-rata hitung populasi sx : Standar error sampel, di mana sx = /n apabila standar deviasi populasi diketahui dan sx =s/n apabila standar deviasi populasi tidak diketahui x Z s m - = X X

MENENTUKAN DAERAH KEPUTUSAN Daerah Keputusan Uji Satu Arah Daerah penolakan Ho Daerah tidak menolak Ho 1,65 Skala z Probabilitas 0,95 Probabilitas 0,5 Daerah Keputusan Uji Dua Arah Daerah penolakan Ho Daerah penolakan Ho Daerah tidak menolak Ho 0,025 0,95 0,025 -1,95 1,95 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Sedangkan pengujian dua arah UJI SIGNIFIKANSI SATU ARAH DAN DUA ARAH Pengujian satu arah Adalah daerah penolakan Ho hanya satu yaitu terletak di ekor / ujung sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za. Sedangkan pengujian dua arah Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½a, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½a. Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Uji Hipotesis dengan Mean Tunggal Pengujian ini dibedakan atas dua jenis yaitu : Uji dua ujung/ dua arah/dwi arah ( two tailed test) Uji satu ujung/ satu arah ( one tailed test). Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Uji Dua Arah/ Dua Ujung/ Dwi Arah Uji dua ujung (two tailed) adalah uji hipotesis yang menolak hipotesis nol jika statistik sampel secara significant lebih tinggi atau lebih rendah dari pada nilai parameter populasi yang diasumsikan. Dalam hal ini hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya masing-masing : H0 : µ = nilai yang diasumsikan H1 : µ ≠ nilai yang diasumsikan Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

RINGKASAN UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Contoh Ho : u = 75.000 H1 : u ≠ 75.000 UJI DUA/DWI ARAH UJI SATU ARAH, ARAH KANAN Ho : u < 75.000 UJI SATU ARAH, ARAH KIRI UNTUK PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI NILAI RATA-RATA (u) APABILA RAGAM POPULASI DIKETAHUI (δ2 diketahui), MAKA DAPAT MENGGUNAKAN UJI Z BERIKUT: Z = x – uo δ/ √n DENGAN TARAF NYATA α, MAKA UNTUK PENGUJIAN DWI ARAH NILAI KRITISNYA ADALAH –Z α/2 dan Z α/2 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH SUATU PERUSAHAAN ALAT-ALAT OLAH RAGA TELAH MENGEMBANGKAN TEKNIK BARU DALAM PEMBUATAN PRODUKNYA, DAN MENGKLAIM BAHWA DAYA TAHAN (KEKUATANNYA) MAMPU MENAMPUNG BEBAN SEBERAT 15 KG, DENGAN SIMPANGAN BAKU 0,5 KG. JIKA DIAMBIL 50 BUAH ALAT OLAH RAGA TERSEBUT DAN SETELAH DIUJI DIPEROLEH BAHWA u = 15 KG, SESUAI PERNYATAAN YG DIBUAT PERUSAHAAN TERSEBUT. GUNAKAN TARAF NYATA α = 0.01 PENYELESAIAN Ho : u = 15 Kg H1 : u ≠ 15 kg α = 0.01 Daerah kritis: Z< -2.56 dan Z> 2.56 dimana Perhitungan : x = 14.8 kg ; n = 50 Z = x – uo δ/ √n Z = x – uo δ/ √n Z = 14.8 – 15 0.5/ √50 -2.828 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

KEPUTUSAN: TOLAK Ho DAN AMBIL KEPUTUSAN BAHWA RATA-RATA KEKUATAN OLAH RAGA TIDAK SAMA DENGAN 15 KG TETAPI DALAM KENYATAANNYA LEBIH RENDAH DR 15 KG α/2 α/2 Tolak Ho Tolak Ho TERIMA Ho -2.8 -2.56 2.56 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH MENGUJI HIPOTESIS RATA-RATA SAMPEL BESAR (n>30) Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka sebuah lembaga konsultan mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%. Merumuskan hipotesis. Hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesis nol, dan hipotesis alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesis tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. Langkah 1 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Langkah 2 Langkah 3 CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR Menentukan taraf nyata/ tingkat signifikan.Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Za/2 = a/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96. Langkah 2 Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/Ön sehingga nilai Z adalah Langkah 3 11 , 5 36 09 2 17 13 39 - = m s n Z x X Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96 CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 Tidak menolak H0 0,025 0,95 0,025 Z=-5,11 -1,96 1,96 Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96 Langkah 4 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat. Langkah 5 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

UJI HIPOTESIS DUA POPULASI UJI HIPOTESIS RATA-RATA DUA POPULASI UJI HIPOTESIS SELISIH PROPORSI Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH UJI SATU ARAH SELISIH PROPORSI Majalah prospektif edisi 25 membahas tentang fenomena program X ditayangkan di televisi. Menurut majalah ini, rating iklan tersebut mencapai 35, artinya pada waktu yang sama ditonton 35 juta orang. Sebuah perusahaan kosmetik remaja ingin memasang iklan pada acara tersebut, dan ingin mengetahui apakah proporsi remaja dan dewasa sama. Untuk mengetahui hasil tersebut dicari responden per telepon sebanyak 300 remaja dan sebanyak 150 orang menonton program X sedang responden dewasa sebanyak 400 orang dan 350 orang menonton program X. Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah proporsi remaja dan dewasa sama dalam menonton program X? Merumuskan hipotesis. Kita akan menguji pernyataan bahwa proporsi remaja (p1) sama dengan proporsi dewasa (p2) dalam menonton program X Hipotesis tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : P1 – P2 = 0 H1 : P1 – P2 ¹ 5 Langkah 1 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH UJI SATU ARAH SELISIH PROPORSI Menentukan taraf nyata/ signifikan. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%. Nilai kirits Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Za/2 = 0,5 – (0,05/2) = 0,4750 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96. Langkah 2 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Langkah 3 CONTOH UJI SATU ARAH SELISIH PROPORSI Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z untuk selisih dua proporsi sampel. Diketahui: x1 = 150, n1 = 300, p1 = 150/300 = 0,50 x2 = 350, n2 = 400, p2 = 350/400 = 0,875 p1 -p2 = 0,50 - 0,875 = - 0,375 P = (x1 + x2)/(n1 + n2) = (150 + 350)/(300 + 400) = 0,71 Nilai standar error selisih dua proporsi: Langkah 3 Nilai uji statistik Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z = 1,96 CONTOH UJI SATU ARAH SELISIH PROPORSI menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z = 1,96 Langkah 4 Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 Daerah tidak menolak H0 Z=-10,71 -1,96 1,96 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

CONTOH UJI SATU ARAH SELISIH PROPORSI Menentukan keputusan dengan nilai kritis Z = -1,96, sedang nilai uji statistik -10,71 berada di daerah penolakan Ho. Ini berarti Ho ditolak dan H1 diterima. Terdapat cukup bukti bahwa selisih proporsi remaja dan dewasa tidak sama dengan nol, atau proporsi remaja dan dewasa berbeda. Program X banyak ditonton oleh orang dewasa. Langkah 5 Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II Adalah apabila keputusan menolak H0, pada hal seharusnya H0 benar" Kesalahan Jenis II Adalah apabila keputusan menerima H0, padahal seharusnya H0 salah" Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Kesalahan yang mungkin Kesalahan jenis pertama (type-I error)  bila menolak menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Kesalahan jenis kedua (type-II error)  bila menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II Situasi H0 H0 Keputusan Benar Salah Terima H0 Keputusan tepat (1 – a) Kesalahan Jenis II (b) Tolak H0 Kesalahan Jenis I (a) Keputusan tepat (1 – b) Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013

Resista Vikaliana, S.Si.MM Contoh soal 5/4/2013

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI DUA ARAH (n ≥ 30) Ha:   0 Statistik Uji  diketahui  tidak diketahui Aturan penolakan Tolak H0 jika 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI DUA ARAH (n ≥ 30) CONTOH: PERUSAHAAN PASTAGIGI Suatu proses produksi pastagigi ditujukan untuk mengisi kemasan tabung pastagigi dengan rata-rata berat 6 ons. Secara periodik, 30 sampel kemasan tabung dipilih untuk memeriksa proses pengisian. Jika sampel menunjukkan hasil yang konsisten dengan asumsi rata-rata berat pengisian populasi tabung pastagigi adalah 6 ons, maka proses pengisian dilanjutkan dengan prosedur yang sama. Namun jika yang terjadi sebaliknya maka proses dihentikan dan diperlukan perbaikan. 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI DUA ARAH (n ≥ 30) CONTOH: PERUSAHAAN PASTAGIGI (Lanjutan) Pada kasus disini, maka rumusan hipotesisnya: H0:  = 6 (proses pengisian dilanjutkan dengan prosedur yang sama) Ha:   6 (proses dihentikan, prosedur pengisian perlu diperbaiki) Aturan penolakan Jika  = 0,05, maka H0 ditolak jika z < -1,96 atau z > 1,96 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI DUA ARAH (n ≥ 30) CONTOH: PERUSAHAAN PASTAGIGI (Lanjutan) 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI DUA ARAH (n ≥ 30) CONTOH: PERUSAHAAN PASTA GIGI (Lanjutan) Misalkan 30 sampel tabung pastagigi menghasilkan rata-rata sampel 6,1 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Karena 2,74 > 1,96, maka H0 ditolak. Kesimpulan: Kita percaya 95% bahwa rata-rata berat pengisian tabung pastagigi bukan 6 ons. Proses pengisian harus dihentikan dan prosedur pengisian perlu diperbaiki. 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI (n < 30) Test Statistic Statistik uji di atas berdistribusi t dengan derajat bebas n-1. Aturan Penolakan H0:  > 0 Tolak H0 jika t > t Satu arah H0:  < 0 Tolak H0 jika t < -t H0:   0 Tolak H0 jika |t| > t/2 Dua arah 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI (n < 30) CONTOH: PATROLI JALAN TOL Patroli jalan tol di suatu negara, secara periodik mengambil sampel kecepatan kendaraan di beberapa lokasi di suatu jalan tol. Sampel kecepatan kendaraan tersebut digunakan untuk menguji hipotesis H0:   65 Lokasi dimana H0 ditolak dianggap merupakan lokasi terbaik ditempatkannya perangkap radar. Pada lokasi F, suatu sampel 16 kendaraan menunjukkan rata- rata kecepatan 68,2 km/jam dengan simpangan baku 3,8 km/jam. Gunakan  = 0,05 untuk menguji hipotesis tersebut. 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI (n < 30) CONTOH: PATROLI JALAN TOL (Lanjutan) Diketahui n = 16, = 68,2 km/jam, s = 3,8 km/jam  = 0,05, derajat bebas (d.f.) = 16 - 1 = 15, t0,05 = 1,753 Karena 3,37 > 1,753, maka H0 ditolak. 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

UJI HIPOTESIS RATA-RATA POPULASI (n < 30) CONTOH: PATROLI JALAN TOL (Lanjutan) Kesimpulan: Kita yakin 95% bahwa rata-rata kecepatan kendaraan di lokasi F lebih besar dari 65 km/jam. Lokasi F merupakan tempat yang cocok untuk dipasang perangkap radar. 5/4/2013 Resista Vikaliana, S.Si.MM

LATIHAN DALAM SUATU PROSEDUR REGISTRASI MAHASISWA DI SUATU UNIVERSITAS TERTENTU MEMBUTUHKAN WAKTU RATA-RATA 50 MENIT. DENGAN WAKTU INI DIRASAKAN CUKUP LAMA, UNTUK ITU TELAH DIKEMBANGKAN PROSEDUR BARU. INGIN DIKETAHUI APAKAH PROSEDUR BARU YG DICOBA ITU CUKUP EFEKTIF DAN EFISIEN DALAM SOAL WAKTU. SUATU CONTOH YG TERDIRI DARI 12 MAHASISWA DIAMBIL KETIKA MELAKUKAN REGISTRASI DAN DIPEROLEH RATA-RATA 42 MENIT DENGAN SIMPANGAN BAKU (S) 11,9 MENIT. UJI HIPOTESIS DENGAN MENGGUNAKAN TARAF NYATA α = 0.05 (GUNAKAN PENGUJIAN SATU ARAH Resista Vikaliana, S.Si.MM 5/4/2013