RELASI dan FUNGSI Kelompok: 4 Siti Salamah (1404020001) Tri Mulia Bahana (1404020005) Bahriyan Setiaji (14040420010) Dila Ashariana (1404020031) Tiyas Aditya Nugroho (1404020036)

A x B = { (x,y) / x∈A dan y∈B} RELASI DAN FUNGSI RELASI Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian. Definisi 1: Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B. A x B = { (x,y) / x∈A dan y∈B} Definisi 2: Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebutdaerah hasil (range) dari R. Definisi 3: Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.

Contoh: 1.1 Misal A = {1,2,3}, B = {a,b}, maka : A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} 1.2 Misal P = {2,4,8,9,15}, B = {2,3,4}. Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q) ∈R jika p habis dibagi q, maka: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} 1.3 Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)∈R jika x adalah factor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Relasi dan fungsi proposisi Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaianya tidak lain adalah relasi tersebut. Sebagai contoh, pandang himpunan B = {apel,jeruk,mangga,pisang} dengan himpunan W = {hijau,kuning,orange}. Suatu relasi Rdari Ake B didefinisikan sebagai R = {(apel,hijau), (jeruk,orange), (mangga,hijau), (pisang,kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x,y) = “x berwarna y” , yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel,hijau), (jeruk,orange), (mangga,hijau), (pisang,kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

RELASI AxA 1. REFLEKSIF Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈R untuk setiap a∈A. Contoh: Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka a. R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3),(4,2), (4,3),(4,4)} bersifat refleksif. b. R = {(1.1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bukan relasi refleksif karena (3,3)∉R. 2. SIMETRIS Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b) ∈R maka (b,a)∈R untuk setiap a,b∈A. Contoh: R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} 3. TRANSITIF Relasi R pada himpunan A disebut Transitif jika (a,b) ∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R untuk setiap a,b,c∈A. a. R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} b. Relasi habis dibagi pada bilangan bulat positif.

 4. Irefleksif Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.   Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi.Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

5. Relasi Anti-simetrik Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.   Dalam kebanyakan literature biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti dibawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

Orde parsial adalah relasi yang bersifat : 1. Refleksif RELASI KHUSUS 1. Relasi Ekivalen Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat : a.    Refleksif b.    Simetrik c.    Transitif Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan. 2. Orde Parsial Orde parsial adalah relasi yang bersifat : 1.    Refleksif                 2.    Anti-simetri                 3.    Transitif  

FUNGSI Dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

1.Fungsi Injektif Jenis-jenis Fungsi : Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2). 2.Fungsi Surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satua dalam domain A sehingga berlakuf(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). 3.Fungsi Bijektif Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

  Jika fungsi f: A →B dilanjutkan fungsi g: B →C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A →C. Rumus : (i) (fog)(x) = f(g(x)) (ii) (gof)(x) = g(f(x))

Contoh Soal & Pembahasan Buatlah diagram pasangan berurutan jika A={1,2,3,4,5} setengah dari B={2,3,4,5,6,7,8,9,10} ! jawab:  {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)} soal Fungsi: Tentukan f(x) = x^2 + 1, jika f(2)? jawab: f(x) = x^2 + 1  (2) = 2^2 + 1      = 4+ 1 = 5

Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut : Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga Vita menyukai pelajaran IPA, dan Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa ingris  Buatlah relasi dari soal diatas dan disajikan menggunakan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Jawab : Untuk mempermudah menjawab persoalan diatas gunakanlah permisalan seperti : Himpunan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, Himpunan B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke B. Diagram Cartesius