matematika rekayasa TL 2105 rofiq iqbal

What is it all about? Mathematical Modelling Approximation Numerical method

Motivation Why do we use approximations? They are made up of the simplest functions – polynomials.  Numerical method We can differentiate and integrate them very easily. We can use them in cases where we do not know the actual function!

Why engineering mathematics? Persoalan model matematis banyak muncul di bidang teknik lingkungan Model matematis sering muncul dalam bentuk rumit dan tidak ideal Model matematis tidak dapat diselesaikan dengan metode analitis, yaitu metode penyelesaian model amtematis dengan rumus2 aljabar yang sudah baku

Metode Analitik Metode sejati, memberi solusi sejati (exact solution), yaitu solusi dengan galat/error = 0 Hanya unggul untuk persoalan terbatas, yaitu yang memiliki tafsiran geometrik rendah Persoalan di dunia nyata seringkali nonlinier dan melibatkan bentuk dan proses yang rumit Nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas

Metode Numerik Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan / aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi). Secara harfiah: cara berhitung dengan menggunakan angka Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian perintah untuk menyelesaikan masalah). Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

Motivasi Kenapa diperlukan? Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan”  analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan  numerik

Penyelesaian persoalan numerik Identifikasi masalah Memodelkan masalah ini secara matematis Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya Implementasi metode ini dalam komputer Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah

Sumber Kesalahan Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala Ketidaktepatan data Kesalahan pemotongan (truncation error) Kesalahan pembulatan (round-off error)

Kesalahan pemotongan (i) Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak Contoh: approksimasi dengan deret Taylor Kesalahan:

Kesalahan pemotongan (ii) Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.) Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.) Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)

Done. Next, reviewing basic knowledge in mathematics. Vector.

vektor Ukuran yang dinyatakan dengan dua nilai. Segmen garis yang punya arah. Panjang garis panjang vektor Arahnya disebut arah vektor Dua vektor adalah sama jika dan hanya jika punya panjang dan arah yang sama

koordinat kartesian z x y

8.02 Math (P)Review Session Week 01, Day 2.5 Vectors Magnitude and Direction Typically written using unit vectors: Unit vector just direction vector: Length = 1

Vector Notation - 1 = = . = x = = :

Vektor  matriks