Deret Taylor dan Analisis Galat

Presentasi berjudul: "Deret Taylor dan Analisis Galat"— Transcript presentasi:

1 Deret Taylor dan Analisis Galat

2 Guna : Mencari solusi hampiran Membuat polinom hampiran
A. Deret Taylor Guna : Mencari solusi hampiran Membuat polinom hampiran

3 Definisi : Andaikan 𝑓 dan semua turunannya 𝑓 ′ , 𝑓", 𝑓′′′,… terus menerus diselang 𝑎,𝑏 . Misalkan 𝑥 0 ∈ 𝑎,𝑏 maka untuk nilai-nilai 𝑥 disekitar 𝑥 0 dan 𝑥∈ 𝑎,𝑏 , maka 𝑓 𝑥 dapat diperluas menjadi : 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑥− 𝑥 0 1! 𝑓′ 𝑥 𝑥− 𝑥 ! 𝑓′′ 𝑥 0 +…+ 𝑥− 𝑥 0 𝑛 𝑛! 𝑓 𝑛 𝑥 0 +… 𝑥 𝑥 0 Misalkan : 𝑥− 𝑥 0 =ℎ Maka ??? 𝑥 0 =0 ?

4 Examples Hampiri fungsi 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ke dalam deret Taylor di sekitar 𝑥 0 =1 ! Uraikan sin 𝑥 , cos 𝑥, dan ln 𝑥+1 masing-masing ke dalam deret Maclaurin !

5 B. Analisis Galat

6 Nilai akhir tidak diperhitungkan
Kesalahan Bawaan Nilai data Pembulatan Nilai akhir tidak diperhitungkan Pemotongan Tidak sesuai prosedur matematika

7 Kesalahan Pemotongan (Truncation error)
𝑅 𝑛 𝑥 = 𝑥− 𝑥 0 𝑛+1 𝑛+1 ! 𝑓 𝑛+1 𝑐 , 𝑥 0 <𝑐<𝑥

8 Hampiri cos x dengan deret Maclaurin dipotong hingga orde ke-12!
Contoh Hampiri cos x dengan deret Maclaurin dipotong hingga orde ke-12! Kasus 1 Satria membeli kawat dengan panjang 100cm ternyata setelah diukur kembali panjangnya hanya 99,9cm Kasus 2 Sekar membeli pensil dengan panjang 10cm, setelah diukur kembali ternyata panjangnya 9,9cm

9 Galat Relatif Hampiran 𝜀 𝑅 = 𝜀 𝑎
𝜀=𝑎− 𝑎 Galat Absolut/Mutlak 𝜀= 𝑎− 𝑎 Galat Relatif Galat Relatif 𝜀 𝑅 = 𝜀 𝑎 Dalam persentase 𝜀 𝑅 = 𝜀 𝑎 ×100% Galat Relatif Hampiran 𝜀 𝑅 = 𝜀 𝑎 Dalam Persentase 𝜀 𝑅 = 𝜀 𝑎 ×100% Kelemahan 𝜀 𝑅𝐴 = 𝑎 𝑟+1 − 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟+1 Dihentikan jika 𝜀 𝑅𝐴 < 𝜀 𝑆 atau 𝜀 𝑅 < 𝜀 𝑆

10 Contoh Misalkan nilai sejati = dan nilai hampiran 3,333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif dan galat relatif hampiran! Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai 𝑒 𝑥 dengan nilai 𝑥=0,5 apabila diperhitungkan hanya beberapa suku pertama saja !

11 Dengan nilai awal 𝑥 0 =0,5 dan 𝜀 𝑠 = 10 −6 !
Hampiri 𝑥 𝑟+1 = −𝑥 𝑟 , 𝑟=0,1,2,3,… Dengan nilai awal 𝑥 0 =0,5 dan 𝜀 𝑠 = 10 −6 !