Metoda pembuktian matematika Selamat datang di Perkuliahan FONDASI MATEMATIKA Logika Matematika Teori Himpunan Metoda pembuktian matematika Dosen : Dr. Julan HERNADI PUSTAKA : Kenneth H Rossen, Discrete mathematics and its applications, sixth edition.

LOGIKA MATEMATIKA Mempelajari prinsip dan teknik beralasan Dasar untuk memberikan pembenaran pada matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. 3. Mempunyai banyak penerapan praktis, diantaranya untuk : - perancangan mesin komputasi, - kecerdasan buatan, - pemrograman komputer dan - bidang lainnya pada ilmu komputer.

Materi kuliah LOGIKA MATEMATIKA 1. Proposisi dan nilai kebenarannya 2. Ingkaran proposisi. 3. Konektivitas atau operator logika 4. Ekuivalensi logis 5. Predikat dan kuantifikasi 6. Metoda inferensi

PROPOSISI CONTOH : Semua pernyataan berikut adalah proposisi PERNYATAAN adalah kalimat deklaratif, umumnya mempunyai pola S-P-O-K PROPOSISI adalah pernyataan yang sudah dapat dipastikan benar, atau salah tetapi tidak keduanya sekaligus. NILAI KEBENARAN suatu pernyataan didasarkan pada fakta ilmiah atau kesepakatan umum. NILAI KEBENARAN : BENAR (T=True) dan SALAH (F=False). Dalam dunia digital nilai kebenaran biasanya dinyatakan oleh 1 untuk benar dan 0 untuk salah. CONTOH : Semua pernyataan berikut adalah proposisi Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia Ponorogo terletak di propinsi Jawa Tengah 1 + 2 = 3 2 + 2 = 5 Proposisi 1 dan 3 bernilai benar (T) Proposisi 2 dan 4 bernilai salah (F)

CONTOH : Perhatikan kalimat berikut 1. Jam berapakah sekarang ? 2. Silahkan masuk ke ruangan ! 3. x + 2 = 3 4. x + y = z Kalimat 1 bukan pernyataan, tapi pertanyaan. Jadi ia bukan proposisi. Kalimat 2 bukan pernyataan, tapi permintaan. Jadi ia bukan proposisi. Kalimat 3 adalah pernyataan, tetapi nilai kebenarannya masih bergantung pada nilai x yang diberikan. Bila x=1 ia bernilai benar (T), namun bila x=2 ia bernilai salah (F). Karena nilai kebenarannya tidak pasti maka ia bukan proposisi. Pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti disebut kalimat terbuka. COBA ANALISA KALIMAT 4, KEMUDIAN SIMPULKAN APAKAH IA PROPOSISI ATAU BUKAN !

PROPOSISI INGKARAN CONTOH : NOTASI UNTUK PROPOSISI : p, q, r, s, . . . Misalkan p suatu proposisi. Proposisi yang menyatakan “bukan p” disebut NEGASI atau ingkaran dari pernyataan p, dan disimbolkan oleh . p CONTOH : PROPOSISI INGKARAN Hari ini adalah hari Senin Hari ini adalah bukan hari Senin 2 adalah bilangan genap 2 adalah bilangan ganjil 3 lebih dari 2 3 kurang dari atau sama dengan 2 INGAT : Jika suatu proposisi bernilai T maka ingkarannya bernilai F, begitu juga sebaliknya.

p p T F TABEL KEBENARAN (TB) digunakan untuk menyajikan hubungan antara nilai kebenaran sejumlah proposisi. TABEL 1 : TB untuk proposisi dan negasinya p p T F MASALAH LOGIKA 1 Pada suatu komunitas mahasiswa baru terbagi dua kelompok, yaitu kelompok pembohong yaitu mhs yang selalu berkata salah dan kelompok penjujur yaitu mhs yang selalu berkata benar.

MASALAH LOGIKA 1 (Lanjutan) Suatu ketika seorang dosen bertemu dengan tiga orang mahasiswa yang sedang duduk di tangga; sebut saja mereka dengan A, B dan C. Dosen tersebut bertanya kepada A, apakah A penjujur atau pembohong. A menjawab dengan muka tertunduk sehingga jawabannya tidak jelas. Kemudian sang dosen bertanya kepada B :”apa yang dikatakan A tadi ?” B menjawab bahwa “ A seorang penjujur”. Eh, si C nyeletuk dan menga- takan bahwa “B seorang pembohong” DAPATKAH ANDA MEMASTIKAN SIAPA PENJUJUR DAN SIAPA PEMBOHONG DIANTARA MEREKA BERTIGA ? Petunjuk : Cukup dianalisa dengan menggunakan pernyataan dan negasinya.

OPERATOR LOGIKA Proposisi p Proposisi p Proposisi p, q Proposisi r Operator logika digunakan untuk membentuk proposisi baru dari satu atau lebih proposisi yang sudah ada. Operator logika disebut juga konektivitas. BEBERAPA KONEKTIVITAS: Negasi Konjungsi Disjungsi Disjungsi eksklusif Implikasi Implikasi dua arah

p q disebut konjungsi dari p dan q. p q p q T F DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “p dan q” ditulis p q adalah proposisi yang bernilai benar jika kedua p dan q benar dan bernilai salah untuk kasus lainnya. Proposisi p q disebut konjungsi dari p dan q. TABEL 2 : TB Konjungsi p q p q T F

CONTOH : 1. Misalkan p : Hari ini Jumat, q : Hari ini hujan. maka p q : Hari ini Jumat dan hujan. Bagaimana nilai kebenarannya. Sangat tentatif, tergan- tung pada keadaan disaat pernyataan ini diungkapkan. 2. Misalkan p : Ada 7 hari dalam seminggu, q : 2+2 = 4, maka p q : Ada 7 hari dalam seminggu dan 2+2 = 4. Proposisi ini yang bernilai benar.

DISJUNGSI DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “p atau q” ditulis p q adalah proposisi yang bernilai salah jika kedua p dan q salah dan bernilai benar untuk kasus lainnya. TABEL 3. TB Disjungsi p q p q T F

CONTOH : Diperhatikan proposisi berikut : “Mahasiswa yang sudah mengambil kuliah kalkulus atau kuliah algoritma pemrograman boleh mengambil kuliah metoda numerik. Sesungguhnya kita mempunyai bentuk disjungsi p q, dimana p : Mhs yang sudah kuliah kalkulus boleh ambil numerik q : Mhs yang sudah ambil algoritma boleh ambil numerik Beberapa kemungkinan mhs yang boleh ambil numerik : Mhs yang sudah mengambil kuliah kalkulus saja Mhs yang sudah mengambil kuliah algoritma saja Mhs yang sudah mengambil keduanya.

EKSKLUSIF OR (XOR) p q p q T F DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi “salah satu p atau q” ditulis p q adalah proposisi yang bernilai benar jika tepat satu diantara p atau q BENAR, dan bernilai salah untuk kasus lainnya. TABEL 4 : TB Eksklusif OR p q p q T F

IMPLIKASI DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “jika p maka q” ditulis p q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar tetapi q salah dan bernilai benar untuk kasus lainnya. TABEL 5. TB Impilkasi p q p q T F

IMPLIKASI (Lanjutan) p q p q T F PENYEBUTAN LAIN UNTUK p q : Diperhatikan TB implikasi : apapun nilai kebenaran q, asalkan p bernilai salah maka implikasinya bernilai benar. PENYEBUTAN LAIN UNTUK p q : p berimplikasi q p berakibat q q hanya jika p p adalah syarat cukup q q adalah syarat perlu p

Contoh menarik Misalkan p : soal ujian yang diberikan oleh guru q : jawaban yang diberikan oleh siswa Nilai kebenaran dari p q diilustrasikan sbg penilaian guru : Bila soal ujian benar, jawaban juga benar maka nilainya lulus Bila soal ujian benar, jawaban salah maka nilainya harus gagal Bila soal ujiannya salah, dijawab benar maka nilainya lulus Bila soal ujiannya salah, dijawab salah maka nilainya lulus. CONTOH : Diperhatikan kalimat implikasi berikut : “Jika belanja anda melebihi 1 juta rupiah maka akan diberikan diskon 2%.” Toko hanya memberikan perlakuan terhadap pelanggan dengan nilai belanja melebihi 1 juta tetapi tidak membahas belanja yang kurang dari 1 juta rupiah. CONTOH : “Jika hari ini Senin maka 2 + 3 = 5” merupakan proposisi yang benar walaupun kedua proposisi aslinya tidak ber- hubungan.

Dalam pemrograman komputer Bentuk Jika …. Maka Dalam pemrograman komputer Diperhatikan pernyataan berikut : “Jika x < 3 maka x = x + 1” Bila sebelum pernyataan ini diberikan x = 2 maka akan dihasilkan nilai x yang baru, yaitu x = 2 + 1 = 3 Bila sebelumnya diberikan x = 4 maka tidak ada pembaharuan (updating) nilai x. Hasilnya tetap, yaitu x = 4. Coba analisa pernyataan berikut : “Jika 2+2=4 maka x = x^2+1”. Berapa hasilnya jika diberikan x=1, 2, 4. Dalam banyak pemrograman komputer, bentuk “jika … maka” biasanya muncul dalam bentuk berlapis, seperti “jika ……(jika…..(jika …..maka.…)…..maka)….maka….”

BI-IMPLIKASI DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “p jika hanya jika q” ditulis p q adalah proposisi yang bernilai benar jika p dan q keduanya benar dan bernilai salah untuk kasus lainnya. TABEL 6. TB bi-Implikasi p q p q T F

Masalah praktis Logika Dikarenakan masalah mesin, sang pilot membuat pendaratan darurat di pantai suatu pulau terpecil. Pulau ini didiami oleh 2 kelompok, katakan saja kelompok bangsawan yang selalu berkata jujur dan kelompok awam yang selalu berkata bohong. Sang pilot memutuskan menuju kota untuk mencari bantuan tapi tidak tahu harus ke arah mana. Ketika sedang berjalan sendiri sampai di suatu persimpangan (ada jalan ke kiri dan jalan ke kanan), dan bertemu dua orang, katakan A dan B. Sang pilot bertanya pada A tentang jalan mana yang harus diambil agar sampai di kota. Si A menjawab sbb : “kota ada di gunung, atau jalan ke kanan menuju kota”. Berbeda dengan A, Si B memberikan statmen “kota ada di gunung, dan jalan ke kanan menuju kota”. Sambil mengangkat bahu, si A mengatakan bahwa “si B pembohong”. Selanjutnya si B memberikan argumentasi dalam pernyataan berikut “jika kota ada di gunung maka jalan ke kanan menuju kota”. Dapatkah sang pilot mengambil jalan yang benar ? Bagaimana?