Modul 4: Vektor pada Bidang dan Ruang Kasiyah M Junus Siti Aminah

Sasaran pemelajaran Setelah mempelajari modul ini, pemelajar diharapkam memahami operasi pada vektor baik secara aljabar maupun geometri. Setelah mengikuti modul ini, diharapakan kamu memahami vektor pada bidang dan ruang, dapat melakukan operasi vektor baik secara geometris maupun aljabar.   Elemen matematika yang menjadi bahan pembicaraan pada topik adalah vektor, yang banyak penerapannya di bidang fisika. Konsep vektor ini menjadi dasar untuk pembahasan vektor secara Umum pada bab-bab selanjutnya.

Vektor Definisi: vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Luas Panjang Massa Suhu Gaya Kecepatan Percepatan Perubahan Letak Banyak besaran fisik, seperti luas, panjang, massa,dan suhu dideskripsikan dengan ‘besar’ (magnitude) saja. Besaran lain, seperti kecepatan, gaya, perubahan letak, selain besar juga mempunyai arah. Besaran-besaran ini disebut vektor. [Gambarkan angin/ kapal/ arus ke suatu arah, kmd gambarkan anak panah. Kmd gerakan makin cepat, gambarkan dengan panah yang lebih panjang] [Bawahnya: munculkan luas, panjang, massa, suhu [(dikelompokkan) kmd dituliskan ]“skalar” [Disampingnya:] gaya, kecepatan, percepatan, perubahan letak [(kelompokkan, kmd tulis vektor).] Skalar Vektor

Jenis-jenis vektor v = (a, b) Vektor Fisik Vektor Aljabar Vektor Geometri (a, b) Jenis-jenis vektor(fisik, geom, aljabar) Untuk mempermudah pembicaraan, vektor kita kelompokkan menjadi tiga jenis: 1. vektor fisik, 2. vektor geometri, dan 3. vektor aljabar.   Vektor fisik adalah besaran fisik yang mempunyai besar dan arah, misalnya gaya, percepatan, kecepatan, berat, dsb. Secara visual vektor fisik digambarkan sebagai segmen garis berarah. Segmen garis berarah ini yang disebut vektor geometris. Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar. [gambarkan orang mendorong kotak ke atas lewat bidang miring, Kmd gambarkan anak panah dari pusat kotak ke atas searah bidang Translasikan anak panah ke bawah, (dengan anak panah mula2 tetap). Gambarkan sistem koordinat sedemikian hingga titik awal vektor ada di titik pangkal Tulis koordinat titik ujungnya (a, b) dalam bentuk baris dan kolom b v a

Penyajian vektor geometri = a y B AB A A x AB z Penyajian vektor geometri Vektor geometri disajikan sebagai segmen garis berarah / anak panah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor ditulis dengan huruf tebal atau dengan huruf biasa tanda panah di atasnya.   Untuk mempermudah pembahasan, vektor geometri digambar dalam sistem koordinat. B Notasi vektor: Vektor ditulis dengan huruf tebal atau miring dengan anak panah di atasnya, untuk membedakan dengan skalar: AB = a = a

Penyajian vektor aljabar Q(7, 3) 5 dan 1 adalah komponen dari v P(5, 1) v x v1 v2 Penyajian vektor secara aljabar Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar. Untuk menyajikan vektor tersebut secara aljabar, maka vektor ditranslasi sehingga titik awalnya berada di titik pangkal. Koordinat titik akhirnya (x, y) merupakan penyajian aljabar dari vektor. Penyajian titik dan penyajian vektor dalam hal ini serupa. Ordinat dan absis dari titik tersebut merupakan komponen-komponen vektor.   v = (v1, v2) = komponen dari v. v2 v1

Menentukan komponen vektor y v B(c, d) v = (c-a, d-b) A(a, b) P(c-a, d-b) x z x y Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secara aljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b B(d, e, f) f-c Penyajian vektor aljabar Vektor dalam bidang mempunyai dua komponen, yaitu komponen x dan komponen y. Komponen-x adalah absis dari titik akhir vektor yang titik awalnya di titik pangkal. Komponen-y nya merupakan ordinatnya. Untuk vektor pada ruang, selain komponen x dan komponen y, terdapat komponen z. A(a, b, c) e-b d-a Komponen vektor: a-d, e-b, f-c

Kesamaan vektor a c b a, b, c a = b = c y x Besar vektor Berat sebuah benda tidak berubah ketika diletakkan di atas meja, di atas lantai atau di atas kepala. Artinya, arah dan besar vektor fisk tidak tergantung pada posisinya. Karena vektor geometri menyajikan vektor fisik, maka kesamaan vektor geometri didefinisikan sbb: setiap vektor geometri yang mempunyai besar dan arah sama (tidak peduli titik awal dan akhirnya) maka dikatakan vektor tersebut sama. Hal ini konsisten dengan kesamaan vektor aljabar. Dua vektor aljabar dikatakan sama jika dan hanya jika setiap komponen yang bersesuaian sama. x a, b, c a = b = c Besar vektor tidak tergantung posisi

Berat benda tetap meskipun posisinya berubah. Kesamaan dua vektor fisik a = (0, y) c = ( 0, y) b = ( 0, y) Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar. a = b = c Berat benda tetap meskipun posisinya berubah.

Kesamaan dua vektor geometri Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar. Dua vektor sama jika dan hanya jika panjang dan arahnya sama, tidak tergantung posisinya pada sistem koordinat.

Kesamaan dua vektor aljabar Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. a1 a2 b1 b2 = Jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2 a1 a2 a3 b1 b2 b3 Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3 = Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar.

Jumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor fisik: F3 = F1 + F2 F2 F1 F3 Jika ada dua gaya F1 dan F2 ditambahkan, maka efeknya akan sama dengan menerapkan resultante gaya tersebut. Sebagai contoh, sebuah benda di lantai yang licin didorong oleh dua orang dengan kekuatan berbeda dan arah dorongan berbeda, maka benda akan meluncur searah resultante dua gaya doron orang tersebut.   Menjumlahkan dua vektor geometri a dan b dapat dilakukan sbb: Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b. hasilnya konsisten dengan jumlahan vektor aljabar yang sesuai. Jumlahan dua vektor pada bidang menghasilkan vektor pada bidang. Jumlahan dua vektor pada ruang menghasilkan vektor pada ruang. Jumlahan vektor pada R2 dan R3 bersifat tertutup. Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri? [Menjumlahkan dua vektor fisk: Dua gaya dijumlahkan, efeknya sama dengan menerapkan resultanenya. Gambarkan: dua vektor F1 dan F2 dijumlahkan F1 F3 = F1 + F2 Jika dua gaya dijumlahkan, maka efeknya sama dengan menerapkan resultantenya.

Jumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor geometri: y y b a+b a   Prosedur: Menjumlahkan a dan b. Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b. Pertegas hasil dari prosedur di atas dengan jumlahan vektor aljabar berikut Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2).]

Jumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor aljabar Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2) Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri? y a A(a1, a2) a = (a1, a2) x y b B(b1, b2) b = (b1, b2) x a+b a+b = (a1+b1, a2+b2) y x C(a1+b1, a2+b2) Menjumlahkan dua vektor aljabar adalah menjumlahkan komponen-komponen yang sesuai. Hal ini konsisten dengan Penjumlahan secara geometris.

Latihan a b c d a 1. Manakah vektor yang merupakan u+v ? Jawab: a u v Jawablah soal-soal berikut ini untuk menguji pemahamanmu. v a u

Latihan g d e f Jawab: e e 2. Manakah vektor yang merupakan a+b ? a b

Latihan Jawab: b Jawab: a u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u+v? a = (2, 4) b = (8, 8) c = (15, 12) d = (8, 4) 4. u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u - v? Jawab: b Jawab: a

Latihan 5. b a tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c k j h i Jawab: h h ? b a

Vektor nol dan vektor satuan Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol: 0 = (0, 0) pada bidang dan 0 =(0, 0, 0) pada ruang. y x z y x Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar, vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol. Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. Ada tak hingga banyak vektor satuan. [highlight titik pangkal pada sistem koordinat bidang, dan sistem koordinat ruang, tulislah] 0 vektor nol 0 vektor nol 0 vektor nol

Vektor nol dan vektor satuan Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. y x c a Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu. Jika kamu mempunyai vektor tak nol a, maka vektor satuan yang sejajar a dapat diperoleh dengan mengalikan a dengan 1 dibagi panjang a. [gambarkan sistem koordinat, kmd gambarkan vektor-vektor yang panjangnya satu: i=(1, 0), j=(0, 1) dan 3 vektor lain] highlight 2 vektor standard i dan j] j=(0, 1) b i=(1, 0)

Perkalian vektor dengan skalar b a b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a 2a a -a -1/2a 1/3a Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a Jika k<0, ka berlawanan arah dengan a, dengan panjang k kali panjang a. Jika k = -1, maka ka = -a (negative dari a). Sifat –a + a = 0 (vektor nol) dapat dilihat pada sifat-sifat aritmetika vektor Dua vektor sejajar, maka yang satu merupakan perkalian skalar yang lain. Perkalian vektor dengan scalar Perkalian vektor dengan skalar (bilangn nyata) k menghasilkan vektor dengan setiap komponennya dikalikan dengan k.   Jika k positif maka a dan ka searah, sedangkan jika k negatif maka a dan ka berlawanan arah. Jika k = -1, maka ka = -a disebut sebagai negatif a. Jumlahan vektor dan negatifnya menghasilkan vektor nol(tunjukkan dengan gambar). Dua vektor sejajar, maka yang satu merupakan perkalian skalar yang lain. [Gambarkan vektor a, kmd ka dengan k = -1, k = 2, k = -1/2, k = 1/3. Keterangan: Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a Jika k<0, ka berlawanan arah dengan a, dengan panjang k kali panjang a. Jika k = -1, maka ka = -a (negative dari a. Sifat –a + a = 0 (vektor nol)] Gambarkan dua vektor searah a dan b, b panjangnya lima kalinya; a di bawah b, b dibagi dgn titik-titik tegak lurus vektor sebanyak lima bagian sama panjang untuk menunjukkan b = 5a. Gambarkan vektor a, kmd ka dengan k = -1, k = 2, k = -1/2, k = 1/3.

Pengurangan Tentukan a – b dan b-a a b -b -a a -b a-b a -b a-b b b -a Berikut ini akan diperlihatkan bahwa pengurangan vektor dapat dilakukan dengan mudah. Tentukan a – b dan b-a [Gambarkan dua vektor a dan b dengan titik pangkal sama. Gambarkan –b, lakukan peosedur penjumlahan a + -b spt pada penjumlahan dua vektor. Tentukan hasilnya. Perlihatkan bahwa hasilnya sama persisi dengan vektor yang titik awalnya di titik akhir b dan titik akhirnya di titik akhir a. Perlihatkan bagaimana mudahnya mengurangkan dua vektor. Dengan cara serupa, tentukan b-a. Tekankan bahwa mengurangkan bisa langsung. Diberikan u dan v, u-v langsung: vektor dengan titik awal di titik akhir v dan titik akhir di titik akhir u.gambarkan u v u-v u v v-u u v

Hubungan tiga vektor pada bidang Diberikan a, b, c c c b a a b Jika diberikan sembarang 3 vektor pada bidang, maka yang satu dapat diperoleh dari dua yang lain, dengan menerapkan jumlahan dan perkalian skalar. Diberikan vektor a, b dan c. Kita akan menunjukkan bahwa c = ka + lb untuk suatu skalar k dan l. Hal serupa berlaku pada vektor-vektor pada ruang. Jika diberikan sembarang 4 vektor pada ruang, maka yang satu dapat diperoleh dari tiga yang lain, dengan menerapkan jumlahan dan perkalian skalar. Diberikan vektor a, b dan c. Kita akan menunjukkan bahwa c = ka + lb untuk suatu skalar k dan l. [Gambarkan 3 vektor a, b, c pada bidang, tanpa sistem koordinatm dan titik awalnya tidak berimpit. Translasikan sedemikian hingga titik awalnya berimpit, (c berada diantara a dan b). Buat garis-garis dari ujung c sejajar dengan a dan b. Perpanjanglah a atau b jika perlu. Terbentuk dua vektor baru: ka dan lb ka adalah vektor yang titik ujungnya di perpotongan garis sejajar dengan vektor a atau perpanjangannya, dmkn juga lb (serupa). Tuliskan: c = ka + lb c b a ka lb c lb ka c = ka + lb

Basis standar bidang R2 v = v1i + v2j Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j y x j=(0, 1) i=(1, 0) v=(v1, v2) v = (v1 v2) Vektor basis di R2 Pada bidang R2 terdapat basis standard, yaitu { i, j} dengan i = (1, 0) dan j = (0, 1). Dikatakan sebagai vektor-vektor basis sebab setiap vektor (a, b) dapat disajikan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj. [Gambarkan dalam sistem koordinat kedua vektor 3.52 5.12 0.24dan vektor v, tunjukkan v adalah kombinasi linier I dan j] v2j v1i v = v1i + v2j

Basis standar R3 y x z Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)} Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck y z x P(a, b, c) k i j P(ai, bj, ck) Vektor basis di R3 Pada ruang R3 basis standard, yaitu { i, j, k} , setiap vektor (a, b, c) dapat disajikan secra tunggal sebagai kombinasi linier i, j dan k. [Gambarkan dalam sistem koordinat ketiga vektor dan vektor (a, b, c) tunjukkan v adalah kombinasi linier i, j, k]

Sifat-sifat Aritmetika Vektor 1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan dua vektor selalu menghasilkan tepat satu vektor 2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif. y a b x y x a+b = b+a Sifat-sifat Aritmetika Vektor 1. Dua vektor dijumlahkan hasilnya vektor juga. Sifat ini dinamakan sifat tertutup terhadap jumlahan. 2. jumlahan dua vektor bersifar komutatif. a = (a1, a2), b = (b1, b2) a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2 ( sifat komutatif penjumlahan skalar) a+b = (a1+b1, a2+b2) b+a = (b1+a1, b2+a2)

Sifat Assosiatif Jumlahan 3. jumlahan vektor bersifat assosiatif y a b c x y x a+(b+c) = (a+b)+c 3. Jumlahan vektor bersifat assosiatif, dan ini dapat diturunkan karenan sifat assosiatif jumlahan bilangan nyata. a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2)) (a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2) (sifat assosiatif penjumlahan skalar)

Vektor nol: elemen identitas 4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap jumlahan. y b x y x b+0 4. Vektor nol adalah vektor dengan semua komponennya nol. Vektor nol disebut elemen identitas terhadap jumlahan, Karena jumlahan vektor a dengan vektor nol hasilnya sama dengan a. b = (b1, b2), 0 = (0,0) b+0 = (b1, b2) b+0 = (b1+0, b2+0) ( sifat identitas penjumlahan skalar)

Negatif vektor 5. jumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan vektor nol. y b x -b y x Negatid suatu vektor a diperoleh dengan mengalikan setiap komponen a dengan –1. Jumlahan vektor dan negatifnya Menghasilkan vektor nol. b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2) b+(-b) = (0, 0) = 0 b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))

Sifat-sifat Aritmetika Vektor (lanjt) 6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu x y 3u u u = (v1,v2) v = 3u = 3(v1,v2) = (3v1,3v2) w = 2v = 2(3v1,3v2) = (6v1,6v2) x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w 6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu, 6u

Sifat aritmetika (lanjt) 7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudian dijumlahkan. y x u v u+v y x 2(u+v) y x 2u 2v 2u+2v 7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor, dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudian dijumlahkan. u = (u1,u2), v = (v1,v2) u+v = (u1+v1,u2+v2) 2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2)) 2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2) = 2(u1+v1,u2+v2) = (2(u1+v1),2(u2+v2))

Sifat Aritmetika (lanjt) 8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan dengan masing-masing skalar. x y 3u u 8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan dengan masing-masing skalar. u = (u1, u2) 3u = (3u1, 3u2) (2+1)u = 2u + u = 2(u1, u2)+(u1, u2) = (3u1, 3u2) u 2u

Sifat Aritmetika (lanjt) 9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol. 10. Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut. y x u 0(u) u = (u1, u2) 0u = 0(u1, u2) = (0, 0) 1u = 1(u1, u2) = (u1, u2) 9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol. 10.mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut. 1u

Norm (panjang) vektor y x y x z norm/panjang vektor v adalah ||v|| = Panjang (norm) vektor Menentukan panjang vektor v, adalah dengan rumus pytagora. Gambar pada sistem koordinat bidangdi R2 vektor dengan titik awal di titik pangkal diproyeksikan ke sumbu –sumbu koordinat panjangnya merupakan sisi miring segitiga. Keterngan gambar di R2: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (lihat script) Lakukan yang sama ntuk vektor pada ruang Keterangan gambar di R3: norm/panjang vektor v adlh ||v|| = (lihat script) v norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

Norm vektor sebagai jarak dua titik y z x Q(a2, b2, c2) v P(a1, b1, c1) Norm vektor dgn titik awal tidak di titik pangkal Jika titik awal vektor di P(a1, b1, c1) dan titik khir di Q(a2, b2, c2), maka panjang vektor PQ adalah jarak antara kedua titik tersebut d. Panjang vektor merupakan jarak antara titik awal ke titik akhir vektor tersebut. Gambarkan vektor di R3 dengan titik awal vektor di P(a1, b1, c1) dan titik khir di Q(a2, b2, c2), panjang vektor PQ adalah jarak antara kedua titik tersebut = lihat script panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q

Hasil kali titik (dot product) x y C jika titik pangkalnya berimpit maka sudut antar dua vektor dapat ditentukan. b α B a A Definisi 1: Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan a.b 0 jika a = 0 atau b = 0 Hasil kali titik (dot product)  dua definisi Jika jumlahan dua vektor dan hasil kali skalar dan vektor hasilnya adalah vektor, berikut ini kit bahas operasi antara dua vektor yang hasilnya berupa skalar. Yaitu dot product (hasil kali titik). Definisi1:Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0 = ||a|| ||b|| cos . Dapat dibuktikan bahwa Definisi 2: jika a, b vektor2 di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2 Definisi 2: jika a, b vektor2 di R3, maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ||a|| ||b|| cos . a, b tidak nol, dengan π ≥α ≥0. Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2

Bukti Bukti: Berdasarkan rumus cosinus, x y Bukti: Berdasarkan rumus cosinus, ||a-b||2 = ||a||2 +||b||2 – 2||a|| ||b|| cos ||a|| ||b|| cos = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2). ||a||2 = ||b||2 = ||a-b||2 = a.b = ||a|| ||b|| cos  = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2) = a1b1 + a2b2 C b a-b α B a A Bukti untuk di R2: Gambar a, b dan a-b,  sudut antara a, b.

Hasil kali titik di R3 z x v α b a A B C Definisi 1:hasil kali titik (dot product) Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan 0 jika a = 0 atau b = 0 a.b = ||a|| ||b|| cos . untuk a, b vektor tak nol dengan 0≥α ≥π. Untuk vektor pada ruang, hasil kali titik didefinisikan dengan cara yang sama. Manakah diantara dua definisi yang lebih mudah digunakan? Perhatikan soal-sal berikut ini. Gambar Definisi 1: sama persis dengan di R2 Definisi 2: jika a, b vektor2 di R3, maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Quiz 1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain 2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b. a. 2k2 c. √2k2 e. 2√2k b. 2√2k2 d. 6√2k Maka a.b adalah a. 0 c. (5, 6) e. (6, 5) b. 30 d. 1 4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0) a. 0 c. (35, 0) e. (10, 25) b. 250 d. (250, 0) 5. Diketahui ||a|| = 5, ||b|| = 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitung a.b a. 0 c. (5, 6) e. -15 b. 15√3 d. 15 (5, 0) (0, 6) a b Kerjakan soal-soal berikut ini: 1. Salah. Hasil kali titik dua vektr menghasilkan skalar Diketahui panjang dua vektor dan sudut yang dibentuk. Tentukanlah hasil kali titiknya. Rumus yangmana yang kamu pakai? Tentu saja rumus yang pertama karena kamu tidak mengetahui komponen-komponennya. Diberikan vektorgeometri, bagaimana menentukan hasil kali titiknya? Karena komponen vektor juga diketahui, maka kamu dapat menggunakan definisi ke dua. Berapa hasil kali titiknya? Jika kedua vektor diberikan dalam bentuk aljabar, perlukah kamu mencari sudut dan panjang masng-masing untuk menentukan hasil kali titiknya? Bagaimana menghitung hasil kali titik dua vektor berikut ini? Apa yang Anda simpulkan? Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilny vektor lain 2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b k satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b. Munculkan jawaban dalam pilihan ganda.(tolong sediakan jawabannya) 2. Gambarkan 2 vektor saling tegak lurus, berikan koordinat titik akhir vektor. Tentukan a.b 3. Hitunglahu.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0) 4. Berkan soal untuk menghitung dot product dua vektor yang membetuk sudut tumpul

Sudut dan hasil kali titik dua vektor Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik a.b = ||a|| ||b|| cos  dengan π ≥α ≥0. Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos α bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai α y < 0, jika sudutnya tumpul cos α =0 cos α <0 Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik yang menggunakan sudut dua vektor. Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos α bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai α. Jadi hasil kali titik dua vektor bisa positif, negatif atau nol tergantung pada sudut antara dua vektor. Coba kamu simpulkan. Bagaimana hasil kali titik dua vektor yang berimpit? Feedback: karena cos α = 1, maka hasil kali titknya adalah hasil kali panjang masing-masing vektor. Hasilnya pasti positif. Karena salah satu vektor mempunyai panjang nol, maka hasil kali titiknya pasti sama dengan nol Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik Berikan rumus hasil kali titik dengan sudut Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos α bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai α Gambarkan 4 kuadran, warnai kuaderan ertama dengan hijau, tuliskan cos α >0. Warnai sumbu y positif dengan warna biru, tulis di situ cos α = 0 . Warnai kuadran ke tiga dengan warna merah, tuliskan cos α <0. Gambarkan tiga kasus hasil kali titik: dua vektor mmembentuk sudut lancip, siku-siku dan tumpul. Pertanyaan: Jka dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ……………….. Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya …………. cos α >0 u.v = 0, jika u dan v ortogonal x > 0 jika sudutnya lancip

Latihan: Jawab: hasil kali panjangnya Jawab: 0 a.b= ? Jawab:35 cosα Jawab: 64x0=0 a.b=? Jawab: -35cos(π-α) Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ……………….. Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya …………. Jawab: hasil kali panjangnya Jawab: 0

Norm dan hasil kali titik x v = (v1, v2) ||v|| = (v.v)1/2 = B v A Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1. Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2 Norm dan hasil kali titik Norm dapat didefinisikan lewat hasil kali titik. Panjang vektor v sama dengan akar dari hasil kali titik v dengan dirinya. Di R2: gambarkan vektor dan ||v|| = = = Keterangan gambar Cara pandang lain: berikan vektor,cos sudut antara v dengan v adalah 1. Jadi v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = akar v.v di R3: norm/panjang vektor v adlh ||v|| = = (lihat script Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 =

Hasil kali titik dan perkalian matriks Berdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris maka a.b = abT a = (a1,a2) dan b = (b1,b2) a.b = a1b1 + a2b2 = = abT Jika a, b vektor-vektor di R3, Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = = abT Hasil kali titik dan perkalian matriks Jika kedua vektor dipandang sebagai vektor baris (matriks dengan terdiri atas satu baris, maka a.b = aTb jika a, b vektor2 di R3, maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = aTb

Sifat-sifat hasil kali titik Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6) Tentukan u.v dan v.u. Apa kesimpulanmu? Diberikan u = (a,b), dan v = (c,d). Hitunglah dan simpulkan: Apakah u.v = v.u? Sifat2 dot product Selain dapat menentukan jenis sudut antara kedua vektor, berikut ini beberapa sifat hasil kali titik yang berguna untuk menentukan pembahasan selanjutnya. (berikan u, v dalam angka2) Ulangi spt di atas untuk komponen u dan v huruf2. Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u

Perkalian titik memenuhi sifat (ku).v = k(u.v) Latihan: 1. Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4. Hitunglah (ku).v dan k(u.v) Apa kesimpulanmu? 2. Diberikan u = (a, b), v = (c, d), dan skalar k. Tentukan (ku).v dan k(u.v). Apa kesimpulanmu? Hasil kali titik memenuhi sifat Perkalian titik memenuhi sifat (ku).v = k(u.v)

Perkalian titik memenuhi sifat yaitu u.(v+w) = u.v + u.w Latihan: 3. Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w Apakah u.(v+w) = u.v + u.w? 4. Diberikan u = (a,b), v = (c,d), dan w = (e,f). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w? Apa kesimpulanmu? Seperti page sebelumnya untuk sifat: u.(v+w) = u.v + u.w Perkalian titik memenuhi sifat yaitu u.(v+w) = u.v + u.w

Sifat-sifat hasil kali titik (lanjt) Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0) Tentukan v.v dan u.u Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang Tentukan v.v? kapan v.v = 0? Seperti page sebelumnya untuk masalah berikut ini: Bagaimana nilai v.v? kapan v.v = 0?

4 sifat penting hasil kali titik Perkalian titik memenuhi sifat: u.v = v.u (ku).v = k(u.v) u.(v+w) = u.v + u.w v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0 Simpulkan dari 4 page yll

Proyeksi ortogonal pada sumbu koordinat v = vx + vy v vy x Proyeksi vektor pada sumbu koordinat Setiap vektor pada bidang dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua vektor yang saling tegak lurus. Dekomposisi vektor menjadi dua vektor yang saling tegak lurus banyak dijumpai pada beberapa penerapan vektor. Gambar: pertama gambar vektor u, kemudian buat garis vertical dan horizontal melalui titik awal vektor, proyeksikan ke sumbu2. Tuliskan dua vektor proyeksi: proyeksi v pada sumbu x, proyeksi v pada sumbu-y. Vektor semula adlah jumlahan dua pryeksi pada sumbu-sumbu koordinat. vx

Proyeksi ortogonal dan dekomposisi u u2 u1 b u1 adalah komponen u sepanjang b atau proyeksi ortogonal u pada b u1 = projb u u2 tegak lurus u1 dan u = u1 + u2 disebut komponen u tegak lurus b. u2 = u – u1 = u – proyb u proyb u = u.b ||b||2 u – proyb u = u – u.b Proyeksi dan dekomposisi Vektor dapat juga diproyeksikan pada vektor lain. Vetor u diproyeksikan ortogonal ke vektor b, dihasilkan u1; u1 dsebut komponen u pada b. Vektr u – u1 adalah vektor yang tegak lurus u1, disebut komponen u tegal lurus b. Gambarkan dua vektor u, b sedemikian hingga kedua titik pangkalnya berimpit (tanpa sumbu koordinat). Proyreksikan u pada b.menjadi u1. u1 adalah komponen u sepanjang b atau proyeksi ortogonal u pada b proyb u (lihat penulisannya di buku) u2 tegak lurus u1 dan u = u1 + u2 disebut komponen u tegak urus b. u2 = u – u1 = u – proyb u kmd buktikan rumus: proyb u = komponen u sepanjang b atau proyeksi ortogonal u pada b u – proyb u = disebut komponen u tegak urus b b b

Bukti: Bukti: Karena u1 paralel dengan b maka dapat dituliskan u1 = kb, maka u = u1 + u2 = kb + u2 Dengan menggunakan sifat perkalian titik, u.b = (kb + u2).b = k||b||2 + u2.b Karena u2.b = 0 (sudutnya 90o ), maka u.b = k||b||2 k = u.b/||b||2 Sehingga proyb u = u.b/||b||2 b Karena

Hasil kali silang , det u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k = u2 u3 v2 v3 u1 u3 v1 v3 u1 u2 v1 u2 , Prosedur menentukan u x v u1 u2 u3 v1 v2 v3 Sering kali, dalam aplikasi di idang lai, kita diminta menentukan vektor yang tegak lurus dua vektor yang diberikan, atau vektor yang tegak lurus suatu bdang. Dengan hasil kali silang, kita menjawab masalah di atas. Didefinisikan hasil kali silang vektor u dan v di ruang, sebagai vektor dengan komponen-komponen sbb. Perhatikan bahwa setiap komponen dapat dnyatakan sebagai determinan. Komponen-komponen uxv dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut. Pertama, bentuklah matriks dengan baris pertama komponen-komponen u, dan baris kedua komponen-kompnen v. Komponen pertama uxv = determinan matriks dengan menghapus kolom pertama, komponen kedua uxv adalah negative dari determinan matriks dengan menghapus kolom kedua. Komponen ketiga uxv adalah determinan matriks dengan menghapus kolom ketiga. Lihat script Gambar 3 vektor tersebut Definisi: uxv = perlihatkan dengan det = … i + …j + …k = det ------------- Prosedur menentukan uxv: Berikan matriks dengan baris pertama u1 u2 u3, baris kedua v1 v2 v3. komponen pertama uxv: determinan matriks dengan menghapus kolom pertama. Komponen kedua dan ketiga dengan cara yang sama. Contoh (cari contoh yang mudah dihitung) … u2 u3 … v2 v3 u2 u3 v2 v3 det Komponen pertama (i):

Hasil kali silang , det det Komponen kedua (j): u1 … u3 v1 … v3 u1 u3 Komponen ketiga (k): u1 u2 … v1 v2 … u1 u2 v1 v2 det Contoh: hitung v x w dengan v = (1,4,-4) dan w = (0,3,2) v x w = = (20, -2, 3) = 20i -2j +3k 4 -4 3 2 1 -4 0 2 1 4 0 3 ,

Hasil kali silang (lanjt) Prosedur menentukan uxv u1 u2 u3 v1 v2 v3 u2 u3 v2 v3 … u2 u3 … v2 v3 Komponen pertama (i): u1 … u3 v1 … v3 u1 u3 v1 v3 Komponen kedua (j): Perhatikan kembali langkah –langkah menentukan uxv. Untuk menentukan vxu, matriks yang pertama-tama dibentuk mempuyai baris pertama yaitu komponen-komponen v, dan baris keduanya adalah komponen-komponen u. Dengan cara yang sama dapat diperolah vxu. Perhatikan hasilnya: ternyata uxv = -vxu. Prosedur menentukan uxv:  (cepat saja) Berikan matriks dengan baris pertama u1 u2 u3, baris kedua v1 v2 v3. komponen pertama uxv: determinan matriks dengan menghapus kolom pertama. Komponen kedua dan ketiga dengan cara yang sama. Prosedur menentukan vxu:  Berikan matriks dengan baris pertama v1 v2 v3, baris kedua u1 u2 u3. komponen pertama uxv: determinan matriks dengan menghapus kolom pertama. Komponen kedua dan ketiga dengan cara yang sama. Perlihatkan dengan hub nilai di prosedur menghitung uxv. Tunjukkan vxu = -uxv gambar: etiga vektor dan aturan tangan kanan pada kedua hasil kali silang di atas Kesimpulan vxu = -uxv u1 u2 v1 v2 u1 u2 … v1 v2 … Komponen ketiga (k):

Prosedur menentukan v x u v1 v2 v3 u1 u2 u3 … v2 v3 … u2 u3 Komponen pertama (i): v1 … v3 u1 … u3 Komponen kedua (j): Buatlah matriks dengan baris pertama v dan baris kedua u. Komponen pertama uxv adalah determinan matriks dengan menghapus kolom pertama. Komponen kedua vxu adalah determinan matriks dengan menghapus kolom kedua. Komponen ketiga vxu adalah determinan matriks dengan menghapus kolom ketiga. v1 v2 … u1 u2 … Komponen ketiga (k):

Prosedur (lanjt) = - = - = - Jika dua baris A ditukat tempat maka nilai determinannya dikalikan -1, jadi … u2 u3 … v2 v3 … v2 v3 … u2 u3 = - u1 … u3 v1 … v3 = - v1 … v3 u1 … u3 u1 u2 … v1 v2 … = - v1 v2 … u1 u2 … Salah satu sifat determinan adalah apabila dua baris ditukar tempat, maka nilai determinannya dikaliakan -1. jadi Terlihat bahwa u x v = - (v x u)

Hasil kali silang vektor satuan standard z i k (0, 0, 1) j i y (0, 1, 0) j (1, 0, 0) k x ixj = (0x0-1x0)i – (1x0 – 0x0)j +(1x1 – 0x0)k = k jxi= -k Vektor-vektor satuan standard I, j, k di R3 terletak pada sumbu-sumbu koordinat. Hasil kali silang ixj adalah k. Hasil kali silang jxi adalah –k. Hasil kali ixi adalah vektor nol. Cobalah tentukan hasil kali silang vektor-vektor satuan standar yang berikut ini. Muncul soal-soal Lihat buku, berikan gambar dan diagram lingkaran gambar I, j, k tentukan ixj dalam bentuk komponen-komponen dengan rumus sebelumnya jxi = -k tetukan ixi Mahasiswa diminta menentukan Jxj, jxk dan kxj kxk, kxi, ixk feedback: berupa mengisi tempat kosong yang disediakan Buat diagem lingkaran (berikut ini muncl bersamaan dengan diagram lingkaran) Untuk mempermudah menginget kita dapat mempergunakan diagram lingkaran. Hasil kali silang dua vektor berturutan searah jarum jam adalah vektor berikutnya pada lingkaran tersebut. Dan hasil kali silang dua vektor berurutan berlawanan araha jarum jam adalah negatif vektor berkutnya. jxk = i kxj = -i kxk = ? kxi = ? ixk = ?

Bentuk determinan hasil kali silang i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 A = u x v = det(A) = + + + i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 i j u1 u2 v1 v2 Dengan menggunakan hasil kali silang vektor-vektor satuan standar, hHasil kali silang dua vektor dapat juga di disajikan dalam bentuk determinan. Pertama, bentuklah matriks 3x3 dengan baris pertama I j k, baris kedua komponen-komponen u dan baris ketiga komponen-komponen v. Determinan matriks ini merupakan hasil kali silang uxv. sajikan rumus determinan dengan komponen-komponen determinan Konversi penyajian di atas dengan …I + ..j +…k, Dengan menggunakan hasil kali silang vektor-vektor satuan standar, maka hasil kali silang dapat ditulis: Tuliskan uxv dalam bentuk determinan matriks 3x3, baris pertama I, j, dan k - - - u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k

Sifat-sifat hasil kali silang uxv = -v x u Jika u // v maka uxv = -v x u= 0, akibatnya u x u = 0 (ku) x v = u x (kv) = k(u x v) u x (v+w) = u x v + u x w u.(v x w) = (u x v).w (hasil kali triple skalar)  tunjukkan dengan serangkaian determinan. x y (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 0, 0) i j i x j x y (0, 1, 0) (0, 0, -1) (1, 0, 0) i j j x i Sifat-sifat aljabar hasil kali silang Hasil kali silang memenuhi beberapa sifat dasar berikut. Seperti sudah ditunjukkan bahwa uxv = vxu. Hasil kali silang vektor nol dan sembarang vektor hasilnya adalah vektor nol. Hasil kali silang dua vetor yang sejajar, termasuk dua vektor yang sama haslnya adalah vektor nol.

Perkalian skalar tripel hasil kali triple skalar didefinisikan: u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 u . (v x w) = v2 v3 w2 w3 v1 v3 w1 w3 v1 v2 w1 w2 u . (v x w) = u . i j + k v2 v3 w2 w3 v1 v3 w1 w3 v1 v2 w1 w2 Jika vektor-vektor u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang, maka perkalian skalar tripel u, v, dan w didefinisikan sebagai u.(vxw). Perkalian skalr tripel dapat dipeperoleh dengan determinan. Turunkan rumus dengan jelas sehingga diperoleh rumus determinan. Contoh: berikan tiga vektor a, b, c, hitung a.(bxc), c.(axb), b.(cxa) Perhatikan nilainya + = u1 u2 u3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 =

Contoh: Diberikan a = 3i -2j +5k, b = i +4j -4k, c = 3j +2k a.(b x c) = = 49 c.(a x b) = = 49 b.(c x a) = = 49 3 -2 5 1 4 -4 0 3 2 0 3 2 3 -2 5 1 4 -4 1 4 -4 0 3 2 3 -2 5

Sifat perkalian skalar tripel a.(b x c) = = 49 Dengan sifat determinan maka = -49 = 49 (tukar baris3 dan 2) (tukar baris2 dan 1) Maka a.(b x c) = c.(a x b) = b.(c x a) Bagaiman dengan ax(b.c)? Jawab: tidak terdefinisi 3 -2 5 1 4 -4 0 3 2 3 -2 5 0 3 2 1 4 -4 0 3 2 3 -2 5 1 4 -4 Dengan menggunakan sifat determinan, yaitu jika dua baris ditukar tempat, maka nlai determinannya adalah -1 kali determinan matriks semula, maka berlaku a.(bxc), c.(axb), b.(cxa) Bagaiman dengan ax(b.c)? Beri waktu untuk berfikir kmd beri feedback: ax(b.c) tidak terdefinisi Rumus; a.(bxc), c.(axb), b.(cxa) tunjukkan dengan determinan dan menggunakan sifat determinan: tukar baris nilai determinan dikalikan -1. Ditukar dua kali maka nilai determinan tetap.

Hubungan antara perkalian titik dan silang (dot and cross product) Jika U, V dan W adalah vektor dalam ruang 3 dimensi, maka U . ( U x V ) =0, (U x V orthogonal terhadap U) V . ( U x V ) = 0, (U x V orthogonal terhadap V)

Luas jajar genjang C D v t A u B Luas = ||AB|| t (luas = alas x tinggi) = ||AB|| ||AC|| sin a ( karena t = ||AC|| sin a) = ||AB x AC|| = ||uxv|| Interpretasi geom  luas Arah dari uxv mengikuti aturan tangan kanan. Berapa panjang uxv? Panjng uxv adalah panjang u kali panjang v kali sin a dimana a adalah sudut antara u dan v. Secra geometris panjang uxv sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh u dan v.

Persamaan garis y Persamaan garis l adalah: y-a2=((c2-b2)/(c1-b1))*(x-a1) Garis l sejajar dengan vektor v, maka gradiennya sama dengan gradien arah vektor v. Dengan menggunakan persamaan y-y1 = m(x-x1) Kita dapat peroleh persamaan garisnya l A(a1,a2) C(c1,c2) v B(b1,b2) x Persamaan garis Di Kalkulus, kita mengenal dua persamaan garis: point-slope dan slope-intercept. Jika diketahui satu titik dan kemiringannya, atau dua titik, maka persamaan garis dapat ditentukan. garis di R2 Gambar: Tunjukkan dengan jelas: mulai dengan system koordinat, kmd berikan satu titik dan satu vektor arah . Bentuk garis melalui titik dan sejajar vektor arah. Berikan persamaannya. Berikan keterangan cara mendapatkan persamaan. Berikan contoh garis di R3 Gambar:(Spt pada R2, ttp pada bidang) Contoh: Misal untuk komponen-komponen diatas A(1,3), B(3,1), dan C(6,3), maka persamaan garis l adalah y-3 = ((3-1)/(6-3))*(x-1) y = 2/3 x -7/3

Persamaan garis (lanjt) y l A1 (x, y, z) A0 A = tv Dapat dituliskan: (x-x0, y-y0, z-z0) = (ta, tb, tc) Maka didapat persamaan parametric untuk garis l adalah x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc A0 (x0 ,y0 ,z0) (a,b,c) v x z Contoh: Misal diminta mencari persamaan parametric dari garis yang melewati titik (1, 2, -3) dan sejajar dengan vektor v = (4, 5, -7). maka persamaannya adalah x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = -3 – 7t (-∞ < t < ∞)

Refleksi Tulislah 5 hal paling penting yang telah kamu pelajari pada modul ini, Tuliskan juga 5 hal yang ingin kamu pelajari lebih lanjut.