DISTRIBUSI PROBABILITAS (DISTRIBUSI BINOMIAL, POISSON, DAN NORMAL) MOH. AMIN

DISTRIBUSI PROBABILITAS Distribusi peluang mempunyai hubungan yang erat dengan distribusi frekuensi. Frekuensi dalam distribusi frekuensi diperoleh berdasarkan hasil percobaan atau hasil observasi. Sedangkan frekuensi dalam distribusi peluang merupakan hasil yang diharapkan jika percobaan atau pengamatan dilakukan, sehingga distribusi peluang ini seringkali disebut distribusi teoritis.

Berikut akan diberikan contoh yang dapat memperjelas pemahaman tentang konsep distribusi peluang. Suatu tindakan melemparkan satu keping mata uang logam berisi dua (angka dan gambar) akan menghasilkan salah satu dari kejadian yang mungkin yaitu munculnya sisi angka atau gambar.

Bila bobot kedua sisi mata uang tersebut sama, maka diharapkan baik sisi gambar maupun sisi angka mempunyai kesempatan yang sama. Bila dilakukan percobaan pelemparan uang sebanyak 2 kali secara adil, maka hasil yang mungkin dari percobaan dua kali pelemparan mata uang logam tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut :

Jumlah sisi angka yang muncul (dalam 2 lemparan) Tabel : Kemungkinan muncul sisi angka dari 2 kali lemparan mata uang logam dan peluangnya Lemparan I Lemparan II Jumlah sisi angka yang muncul (dalam 2 lemparan) Peluang A 2 0,5 X 0,5 = 0,25 G 1 JML

Dari tabel diatas kita dapat mengetahui distribusi probabilitas jumlah sisi angka yang mungkin dihasilkan dari dua kali lemparan uang logam seperti tertera dalam tabel dibawah. Meskipun demikian perlu dicatat bahwa hasil yang diperoleh ini bukanlah hasil yang nyata, tetapi merupakan hasil yang diharapkan dari percobaan dua kali lemparan mata uang logam, sehingga hasil yang diperoleh disebut hasil teroritis.

Jumlah Munculnya Sisi angka Tabel : Distribusi probabilitas dari kemungkinan munculnya sisi angka dalam dua kali lemparan uang logam Jumlah Munculnya Sisi angka Lemparan Peluang (G, G) 0,25 1 (A, G) + (G, A) 0,50 2 (A, A) JML

Variabel Random/Acak Contoh : Variabel random adalah suatu kondisi yang menunjukkan bahwa nilai terjadinya suatu peristiwa ditentukan oleh proses kebetulan, bukan dikendalikan oleh peneliti. Variabel random dapat dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinue. Variabel random diskrit adalah variabel yang besarannya tidak dapat menempati semua nilai diantara dua titik, sehingga nilainya berupa bilangan bulat. Contoh : Data hasil pencacahan, misalnya banyaknya anak pada sebuah keluarga dapat berjumlah 1,2,3 orang dan seterusnya, tetapi tidak mungkin berjumlah 2,7 atau 1,5.

Variabel sandom kontinyu adalah varibel yang dapat dinyatakan dalam sebarang nilai yang terdapat dalam interval tertentu sehingga nilainya bisa berupa bilangan bulat maupun pecahan atau pengukurannya dapat dibagi dalam bagian-bagian yang tak terhingga. Contoh : Data pengukuran ; umur, panjang dan lain-lain, misalnya umur seseorang 3.5 tahun, 3 tahun dsb. Yang termasuk distribusi probabilitas diskrit adalah : Distribusi binomial Distribusi poisson Sedang untuk distribusi probabilitas kontinue adalah : Distribusi normal.

Distribusi Binomial Distribusi binomial disebut juga sebagai percobaan atau proses dari Bernouli. Jones Bernouli adalah ahli matematika dari Swiss (1654 – 1705) yang berjasa dalam pengembangan penggunaan distribusi binomial. Ciri-ciri dari percobaan Bernouli adalah : - Setiap percobaan hanya menghasilkan dua kemungkinan yang saling meniadakan yaitu sukses atau gagal Contoh : - Bila seseorang memilih secara acak sehelai kartu dari setumpuk kartu “bridge”, kartu yang terpilih dapat merupakan “kartu As” atau “bukan kartu As”. - Probabilitas peristiwa sukses (p) dari suatu percobaan ke percobaan berikutnya adalah tetap, probabilitas gagal (q) adalah 1 – p.

Contoh : Bila kita hanya berminat untuk mengetahui apakah kartu yang terpilih merupakan “kartu As” atau “bukan kartu As”, maka kita dapat menyatakan peluang terambilnya kartu As adalah 4/52 (1/13), sehingga peluang terambilnya kartu bukan As adalah 1 – 4/52 = 12/13 Masing-masing percobaan merupakan peristiwa independen, artinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

Formula Binomial : dimana : Keterangan : p = peluang sukses q = peluang gagal n = jumlah percobaan x = jumlah sukses yang diharapkan

Contoh : probabilitas seorang mahasiswa terlambat dalam mengikuti kuliah Statistika II adalah 0,4. Berapa probabilitas dari 5 mahasiswa : Tidak ada yang terlambat 1 mahasiswa terlambat Paling banyak 1 mahasiswa terlambat ( x  1) Paling sedikit 2 mahasiswa yang terlambat (x  2) Jawab :

Contoh : Berdasarkan pengalaman 8 dari 10 botol minuman adalah terisi penuh, jika ingin diketahui probabilitas yang terisi penuh 3 dari 6 botol yang tersedia, maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut : p = 8/10 x = 3 q = 1 – 0,8 = 0,2 n = 6 b (3 ; 6 ; 0,8) =

Soal : Di suatu kelas mata kuliah Statistik II, diketahui bahwa dari 9 macam alasan mahasiswa tidak masuk kuliah, satu macam adalah karena alasan pulang kampung. Diambil secara random 4 ijin tidak masuk kuliah, berapa probabilitasnya bahwa 3 diantaranya karena pulang kampung ? Dosen suatu mata kuliah Statistik II mengatakan bahwa hanya 40 % dari para mahasiswa yang mengikuti mata kuliah tersebut akan lulus dalam ujian akhir akhir semester. Dari 14 orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah tersebut diambil secara random, berapa probabilitasnya : 4 orang akan lulus Paling banyak 4 orang akan lulus

Distribusi Binomial Komulatif Distribusi binomial komulatif adalah berguna bagi perhitungan probabilitas “paling sedikit (x  r) atau paling banyak (x  r) sejumlah x sukses. Probabilitas binomial komulatif diatas dapat dihitung dengan jalan mencari nilai probabilitas individu secara tersendiri berdasarkan formula binomial diatas, serta kemudian menjumlahkan semua hasil probabilitas individu yang bersangkutan, prosedur sedemikian itu tidak mudah ! Suatu cara yang efektif untuk menghitung hasil distribusi binomial komulatif dapat dilakukan dengan bantuan sebuah table distribusi probabilitas binomial komulatif. Secara simbolis, table binomial komulatif memberikan nilai-nilai : P = (x  r) = b (r/n, p) + b ((r + 1/n, p) + ………….+ b (n/n, p)

Contoh : Bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 3 kali, barapa probabilitas memperoleh paling sedikit 2 sisi angka. P (x  2) = 0,5 Rata-Rata Distribusi Binomial dan Standar Deviasi Distribusi Binomial Jika nilai parameter n dan p telah diketahui, maka menghitung rata-rata distribusi binomial dapat dilakukan dengan mudah karena formula dari rata-rata distribusi binomial :  = n . p Sedang untuk varian dan standar deviasinya distribusi binomial adlah : 2 = n . p . q,  = Prosentase mahasiswa yang lulus dalam mengikuti kuliah Statistik II adalah 80%. Jika kita memilih 10 dari mahasiswa tersebut, rata-rata dan standar deviasi distribusi binomialnya adalah sebagai berikut :  = n . p  = = 10 (0,8)  = = 8

Distribusi Hipergeometris Distribusi binomial sangat sering digunakan dalam persoalan pengambilan sample (sampling). Misalnya, suatu kotak terdiri dari 100 barang, 90 diataranya baik dan sisanya cacat. Kemudian dilakukan sampling dengan ukuran sample n = 6 terhadap barang yang ada dalam kotak. Pertanyaan, dapatka dihitung probabilitas memperoleh jumlah yang baik sebanyak 4, dengan menggunakan rumus binomial?. Ringkasnya n = 6, p = 90/100 = 0,9 dan berapa P (4). Untuk menjawab persoalan diatas, jika ukuran sample n tidak lebih dari 5% elemen populasi atau n  0,05 N, maka rumus binomial masih dapat memberi hasil yang memuaskan. Jika n  0,05 N, maka yang harus digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah sukses adalah rumus hipergeometri yaitu :

P (r) = keterangan : N = ukuran populasi, n = ukuran sample R = jumlah sukses dalam populasi, r = jumlah sukses dalam sample Untuk menjawab soal diatas maka, P (4) = P (4) = …

Distribusi Poisson Distribusi poisson adalah distribusi teoritis yang berhubungan dengan variable random diskrit, seperti halnya dengan distribusi binomial, ada 2 kategori yang mungkin timbul pada populasi. Timbulnya tiap kejadian yang mengikuti distribusi poisson adalah independensi, setiap kejadian mempunyai probabilitas yang tetap. Jumlah individu yang dihadapi besar sekali, sedangkan peluang timbulnya suatu individu ternasuk kategori tertentu kecil sekali. Distribusi poisson ditemukan oleh poisson, penerapannya hampir sama dengan distribusi binomial hanya membutuhkan syarat P < 0,05 dan n > 20 (n besar dan probabilitas untuk terjadi sangat kecil). Formula distribusi poisson adalah sebagai berikut :

P (x ; ) = Peluang munculnya peristiwa x dimana, P (x ; ) = Peluang munculnya peristiwa x  = Rata-rata terjadinya suatu peristiwa e = 2,71828  = n . p Contoh : Probabilitas bahwa seseorang akan menderita reaksi buruk dari injeksi suatu serum adalah 0,001. Hitunglah bahwa dari 2000 orang yang diinjeksi serum dengan serum tersebut : a. Tiga orang menderita reaksi buruk b. Lebih dari 2 orang menderita reaksi buruk. Jawab

Pendekatan Poisson Untuk Distribusi Binomial Distribusi poisson dapat digunakan untuk pendekatan distribusi binomial, namun dengan memperhatikan persyaratan bahwa n besar dan p kecil, aturan yang sering digunakan dalam statistika bahwa distribusi poisson merupakan pendekatan yang paling baik bagi distribusi binomial adalah bila n > 20 dan P < 0,05. Dalam kondisi ini dapat disubstitusikan rata-rata distribusi binomial ke dalam rata-rata distribusi poisson  = n . p sehingga formulasinya menjadi :

Contoh : Sebuah perusahaan pakaian jadi menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuha mesin jahit mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Berapakah probabilitas 3 buah mesin jahit mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan ? Rata-Rata, Varians dan Deviasi Standar Distribusi Poisson Bagi distribusi poisson yang dinyatakan dengan rumus diatas, Rata-Rata (means), dan variansnya dapat dinyatakan sebagai berikut : x = n . p = x2 Sedangkan standar deviasinya adalah : x =

. Distribusi Normal Distribusi normal memegang peranan penting dalam statistika khususnya dalam berbagai analisis untuk menarik suatu kesimpulan berdasarkan sampel yang diambil. Konsep distribusi normal sangat penting untuk dipahami karena konsep ini mendasari asumsi pada distribusi sampling, pendugaan statistika maupun pengujian hipotesa.

Distribusi normal adalah distribusi variabel kontinue yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut : Kurvanya mempunyai puncak tunggal Kurvanya berbentuk seperti lonceng Nilai rata-rata distribusi normal terletak ditengah kurva normal. Disebabkan distribusi normal mempunyai bentuk simetris maka media dan modus juga berada ditengah-tengah kurva normal, sehingga nilai rata-rata median dan modus adalah sama. Dua sisi kurva normal memanjang tak terbatas dan tak pernah menyentuh garis horisontal.

Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2, 22 Untuk -<X<   di mana  = 3,14159 e = 2,71828

Dari fungsi dasar distribusi normal diatas dapat diambil kesimpulan bahwa bentuk suatu distribusi normal tergantung pada 2 parameter, yaitu rata-rata () dan standar deviasi (). Bentuk kurva distribusi normal :

Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar Tabel distribusi normal standar atau tabel distribusi Z berguna untuk menghitung luas daerah dibawah kurva distribusi normal standar. f (z) a b Z Perlu diingat bahwa tabel distribusi Z khusus memberikan hasil perhitungan luas daerah dibawah kurva distribusi Z yang memiliki rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1

Luas wilayah tersebut menunjukkan probabilitas dari suatu interval, sehingga luas seluruh wilayah dibawah kurva dan diatas sumbu horisontal = 1, karena kurva simetris, maka luas wilayah disebelah kanan garis tegak lurus diatas rata-rata sama dengan 0,5 dan sebelah kiri juga sama dengan 0,5. Untuk memahami penggunaan tabel distribusi normal standar, berikut disajikan beberapa contoh : Hitung luas wilayah dibawah kurva normal : Antara nilai Z = 0 dan Z = 1 solusi :

Perhatikan gambar dibawah ini : Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar Perhatikan gambar dibawah ini : 0 1 Z Untuk menghitung luas yang dibatasi Z = 0 dan Z = 1, cari nilai ditabel distribusi Z yang sesuai dengan Z = 1,00 Z 0,00 1,0 0,3413 Berarti luas daerah yang diarsir adalah 34,13% dari luas seluruh daerah dibawah kurva

b. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal : Antara nilai Z = -1 dan nilai Z = 0 solusi : sama dengan kasus di atas nilainya adalah 0,3413

Perhatikan gambar dibawah ini : Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar Perhatikan gambar dibawah ini : -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Carilah nilai Z = 1,00 di tabel distribusi Z. Hasilnya adalah 0,3413 atau 34,13%. Tanda negatif pada Z menunjukkan bahwa luas berada disebelah kiri rata-rata.

Perhatikan gambar dibawah ini : c. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal : Antara nilai Z = -1 dan nilai Z = 1 solusi : Perhatikan gambar dibawah ini : -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Perlu diingat bahwa tabel distribusi Z hanya bisa menghitung luas dari nilai Z tetentu ke rata-ratanya (nilai Z = 0). Oleh sebab itu, untuk menghitung luas –1 < Z < 1, terlebih dahulu kita hitung luas –1 < Z < 0, kemudian ditambahkan dengan luas 0 < Z < 1. Luas –1  Z  1 = 0,3413 + 0,3413 (68,26% atau 0,6826 )

d. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal : Antara nilai Z = 0 daan Z = 1,55 solusi : ? e. Hitung luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini : -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Ingat bahwa distribusi normal adalah distribusi berbentuk lonceng yang simetris, sehingga luas separuh kurva adalah 0,5 (50%), maka luas Z > 2 adalah 0,5 – 0,4772 = 0,0228 atau 2,28%

f. Antara nilai Z = 1 dan Z = 2 Solusi : Perhatikan gambar berikut : -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Untuk menghitung luas nilai Z = 1 dan Z = 2, kita harus mencari luas 1  Z  2, terlebih dahulu kita hitung luas 0  Z  2, kemudian dikurangkan dengan luas 0  Z  1. Maka Z = 1 dan Z = 2 adalah 13,59%)

Transformasi dari X ke Z TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z: Dimana, x = nilai variabel random  = rata-rata variabel random  = deviasi standar variabel random Z = X -  

Contoh Soal: Misalkan sebuah kurva normal memiliki x = 100 dan x = 20. Hitunglah luas kurva normal antara 75 s/d 120 atau P (75  x 120). Jawab: D luasnya = 0,3944 luasnya = 0,3413 Sehingga P (75  x  120) = P (-1,25  z 1) = P (-1,25  z  0) + P (0  z  1) = 0,3944 + 0,3413 = 0,7357 atau 73,57%

Siswa yang mendapat nilai antara 60 - 70 adalah 34,13% Contoh Soal: Nilai ujian Akuntansi Biaya di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan deviasi standar 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 – 70 ? Jawab: Untuk menghitung daerah/nilai antara 60 – 70 adalah sebagai berikut : Maka P (60  x  70) = P (0  z  1) = 0,3413 Siswa yang mendapat nilai antara 60 - 70 adalah 34,13%

Diketahui: Nilai  = 490,7 dan  = 144,7 Maka nilai Z =( X - ) /  TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? Jawab: Diketahui: Nilai  = 490,7 dan  = 144,7 Maka nilai Z =( X - ) /  Z = ?

Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL 68,26% 95,44% 99,74% =x Z=0 -3 -3 -2 -2 -1 -1 +1 +1 +2 +2 +3 +3 Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = ?

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Z=-2,0

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab:

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya! -2 2 0,4772

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab:

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Karena distribusi binomial mempunyai variabel diskrit, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinyau, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan-persoalan binomial perlu dilakukan penyesuian dengan cara : Untuk harga variabel x batas bawah dikurangi 0,5 Sedang harga variabel x batas atas ditambah 0,5

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:   di mana n  dan nilai p mendekati 0,5 Z = X - np npq

TERIMA KASIH