Minggu 1 Pertemuan II Riset Operasi Pemrograman Linier Minggu 1 Pertemuan II Riset Operasi

Materi Bahasan Pengantar pemrograman linier Pemecahan pemrograman linier dengan metode grafis

Pengantar Pemrograman Linier

Pengantar (1) Pemrograman (programming) secara umum berkaitan dengan penggunaan atau pengalokasian sumberdaya yang langka – tenaga kerja, bahan, mesin dan modal – dalam cara yang “terbaik” sehingga diperoleh biaya yang minimum atau profit yang maksimum. Istilah “terbaik” mengimplikasikan bahwa terdapat satu himpunan alternatif tindakan yang tersedia bagi pengambilan keputusan. Secara umum, keputusan terbaik diperoleh dengan memecahkan suatu masalah matematis.

Pengantar (2) Pemrograman linier (linear programming, LP) adalah salah satu dari masalah pemrograman matematis yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: Kriteria untuk memilih nilai “terbaik” dari variabel keputusan dinyatakan sebagai suatu fungsi linier. Aturan operasi yang mengarahkan proses (dalam hal ini, sumberdaya yang langka) dinyatakan sebagai satu himpunan persamaan atau pertidaksamaan linier.

Alasan utama penggunaan yang luas dari LP Banyak masalah dapat dinyatakan atau didekati sebagai model LP. Tersedianya teknik-teknik yang efisien untuk memecahkan masalah LP. Kemudahan dalam penanganan variasi data (analisis sensitivitas) dalam model LP.

Langkah-langkah membangun model LP Mengidentifikasikan variabel yang tak diketahui yang akan ditentukan nilainya (decision variable) dan menyatakannya dengan simbol-simbol matematis. Mengidentifikasi semua pembatas (constraint) dan menyatakannya dengan persamaan atau pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel keputusan. Mengidentifikasi tujuan atau kriteria dan menyatakannya sebagai suatu fungsi linier dari variabel keputusan yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan (fungsi tujuan)

Contoh model (1) – Model produk campuran PT CAT merupakan perusahaan kecil pembuat cat yang memproduksi dua jenis cat, interior dan eksterior. Terdapat dua jenis bahan yang digunakan, yaitu bahan A dan B. Ketersediaan bahan maksimum per hari adalah 6 ton untuk A dan 8 ton untuk B. Kebutuhan bahan mentah per ton produk cat untuk kedua jenis cat, interior dan eksterior, adalah sebagai berikut:

Contoh model (2) – Model produk campuran Kebutuhan bahan mentah untuk per ton cat (ton) Ketersediaan maksimum per hari (ton) Eksterior Interior Bahan mentah A 1 2 6 Bahan mentah B 8

Contoh model (3) – Model produk campuran Penelitian pasar menunjukkan bahwa Jumlah permintaan cat interior dikurangi dengan jumlah permintaan cat eksterior tidak lebih dari satu ton. Permintaan maksimum cat interior adalah 2 ton per hari. Harga jual produk cat adalah $3 untuk cat eksterior dan $2 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus diproduksi per hari agar diperoleh pendapatan yang maksimum?

Contoh model (4) – Model produk campuran Variabel keputusan: x1 = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari x2 = jumlah cat interior yang diproduksi per hari

Contoh model (5) – Model produk campuran Pembatas: 1) Ketersediaan bahan Bahan A : x1 + 2x2  6 Bahan B : 2x1 + x2  8 2) Permintaan Selisih permintaan: x2 – x1 1 Permintaan cat interior : x2  2 3) Pembatas tak negatif x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Contoh model (6) – Model produk campuran Fungsi Tujuan: Memaksimumkan Pendapatan total Z = 3x1 + 2x2

Contoh model (7) – Model produk campuran Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2  6 2x1 + x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Langkah Pemecahan Program Linier Mengenali variabel keputusan Menetapkan batasan model Memformulasikan fungsi tujuan Membuat model formulasi

Pemecahan Pemrograman Linier dengan Metode Grafis

Pemecahan masalah LP dengan metode grafis Keuntungan Mudah Keterbatasan Hanya cocok untuk masalah LP dengan dua variabel keputusan Sensitif terhadap tingkat ketelitian

Contoh masalah LP Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2  6 2x1 + x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Pemecahan secara grafis (5) x2 x1 + 2x2  6 (1) 2x1 + x2  8 (2) – x1 + x2  1 (3) x2  2 (4) x1 ≥ 0 (5) x2 ≥ 0 (6) Solusi optimal: x1* = 31/3 x2* = 11/3 Nilai optimal Z* = 122/3 Z = 3x1 + 2x2 = 12 (2) Z = 3x1 + 2x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (3) x1 (6)

Solusi optimal unik (unique optimal solution) (5) x2 (2) (4) (1) (3) x1 (6)

Solusi optimal alternatif (1) dengan pembatas

Solusi optimal alternatif (2) Alternate optimal solution Solusi optimal alternatif (2) x2 D C x2 = 4 x1 = 0 Z = x1 + 2x2 = 10 Z = x1 + 2x2 = 8 Z = x1 + 2x2 = 6 E x1 + 2x2 = 10 x1 + x2 = 1 x1 x2 = 0 A B

Solusi tak terbatas (1) dengan pembatas

Solusi tak terbatas (2) Unbounded solution Z + x2 x2 = 4 C x1 = 0

Solusi tak layak (1) dengan pembatas

Solusi tak layak (2) x2 x1 + 2x2 = 10 x1 = 0 x1 + x2 = 1 x2 = 0 x1

Langkah Solusi Grafik Gambarkan model batasan sebagai persamaan pada grafik Gambarkan fungsi tujuan Selesaikan persamaan-persamaan secara simultan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi optimal

Kesimpulan Ciri: Jika terdapat suatu solusi optimal dari masalah LP maka paling sedikit satu titik pojok (corner point) dari daerah layak akan selalu menjadi solusi optimal.

Tugas 1 Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan amplifier yang prosesnya dilakukan di 2 stasiun kerja, yaitu perakitan dan pengetesan. Setiap unit tape recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan, sedangkan setiap unit amplifier memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di departemen perakitan adalah 72 jam/minggu sedangkan di departemen pengetesan adalah 48 jam/minggu. Kontribusi profit dari tape recorder adalah Rp. 25.000,-/unit, dan dari setiap unit amplifier adalah Rp. 50.000,-. Bagaimanakah formulasi persoalan di atas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan kontribusi profit maksimum?

Tugas 2 Harga (Rp/unit) Jenis produk Kebutuhan sumberdaya Sebuah perusahaan menghasilkan 3 jenis produk, yakni sepatu, tas, dan dompet. Jumlah waktu kerja buruh yang tersedia adalah 240 jam kerja dan bahan mentah yang tersedia 400 kg. Harga produk seperti pada tabel di bawah ini. Masalah perusahaan adalah menentukan jumlah masing-masing produk yang dihasilkan agar keuntungan maksimum. Jenis produk Kebutuhan sumberdaya Harga (Rp/unit) Buruh(jam/unit) Bahan(kg/unit) Produk1 (sepatu) Produk2 (tas) Produk3(dompet) 5 2 4 6 3