F. Metode Inferensi Teknik untuk mendapatkan konklusi yang valid berdasarkan premise yang ada tanpa menggunakan Tabel Kebenaran Ada beberapa Metode antara lain : Modus Ponen (MP) Modus Tollens (MT) Equivalence Elimination (EE)

1. Modus Ponens (MP) Secara simbol dinyatakan sebagai berikut : p  q premis 1 p premis 2 q konklusi Jika Toni mandi maka saya pergi kuliah Toni mandi Saya pergi kuliah

Contoh : Jika Budi bersalah maka ia dimasukan ke dalam penjara Budi bersalah Ia dimasukan ke dalam penjara Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil Amir orang kaya Ia mempunyai mobil

2. Modus Tollens (MT) Secara simbol dinyatakan sebagai berikut : p  q premis 1  q premis 2  p konklusi Jika Toni mandi maka saya pergi kuliah Saya tidak pergi kuliah Toni tidak mandi

Contoh : Jika Budi bersalah maka ia dimasukan ke dalam penjara Ia tidak dimasukan ke dalam penjara Budi tidak bersalah Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil Amir tidak mempunyai mobil Amir bukan orang kaya

3. Equivalence Elimination (EE) Secara simbol dinyatakan sebagai berikut : p  q premis 1 p  q konklusi atau q  p Toni mandi jika dan hanya jika Ia pergi ke pasar JikaToni mandi maka ia pergi ke pasar Jika Ia pergi ke pasar maka Toni mandi

Contoh : Budi membeli es krim jika dan hanya jika udara panas Jika Budi membeli es krim maka udara panas Jika udara panas maka Budi membeli es krim

4. Silogisme Disjungtif (SD) Secara simbol dinyatakan sebagai berikut : p  q premis 1  p premis 2 q konklusi Atau  q premis 2 p konklusi

Contoh : Budi membeli es krim atau Bapak ke kantor Budi tidak membeli es krim Bapak ke kantor Bapak tidak ke kantor Budi membeli es krim

5. Silogisme Hipotesis (SH) Secara simbol dinyatakan sebagai berikut : p  q premis 1 q  r premis 2 p  r konklusi Contoh : Jika Toni mandi maka saya pergi kuliah Jika saya pergi kuliah maka Jono tidur Jika Toni mandi maka Jono tidur

G. Fungsi Proposisi Misalkan himpunan A diberikan dan sebuah fungsi proposisi p(x) sebuah kalimat terbuka pada A adalah sebuah pernyataan P(x) mempunyai sifat bahwa p(a) benar atau salah aA.

Contoh : P(x) adalah x + 2 > 6, p(x) fungsi proposisi pada bilangan Asli Apakah setiap x bilangan Asli p(x) bernilai benar ?, atau bernilai salah ? Atau ada beberapa x bilangan Asli sehingga p(x) Benar ?

Jika p(x) adalah fungsi proposisi yang didefinisikan pada himpunan A, maka p(x) mungkin : Bernilai Benar untuk Setiap x  A Bernilai Benar untuk Beberapa x  A Tidak ada x  A yang menjadikan p(x) bernilai Benar

(xA) p(x) atau x.p(x) atau x.p(x) H. Kuantor Umum (universal) Misalkan p(x) sebuah fungsi proposisi pada himpunan A, maka : (xA) p(x) atau x.p(x) atau x.p(x) Adalah “untuk setiap elemen x dalam A, p(x) sebuah pernyataan yang Benar Ini disebut Kuantor Universal (universal quantifier)

Contoh : “Semua gajah mempunyai belalai” Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis : G(x) ⇒ B(x) dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”

Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal: “Semua mahasiswa harus rajin belajar” Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu: “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒harus rajin belajar(x) Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒harus rajin belajar(x)) Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒B(x))

Contoh : p(x) = x tidak kekal Jadi jika p(manusia) = manusia tidak kekal x.p(x) = x{manusia}.p(x) = semua manusia tidak kekal x{bil Asli}.(x+3 >1) Benar atau Salah x{bil Asli}.(x+3 <1) Benar atau Salah

(xA) p(x) atau x.p(x) atau x.p(x) I. Kuantor Khusus (existential) Misalkan p(x) sebuah fungsi proposisi pada himpunan A, maka : (xA) p(x) atau x.p(x) atau x.p(x) “terdapat elemen x dalam A, sehingga p(x) sebuah pernyataan yang Benar Ini disebut Kuantor Khusus (existential quantifier)

Contoh : (xN).(x+4<7) Benilai Benar, karena ada nilai x elemen bilangan Asli yang menjadikan x + 4 < 7 yaitu {1, 2} (xN).(x+6<7) ?

Contoh : (xN).(x+4<7) Benilai Benar, karena ada nilai x elemen bilangan Asli yang menjadikan x + 4 < 7 yaitu {1, 2} (xN).(x+6<7) ?

Soal : Misalkan A={1,2,3,4,5} (xA)(x + 3 = 10) (xA)(x + 3 < 5) (xA)(x + 3 < 10) (xA)(x + 5 > 5) (xA)(2x + 2 >10) (xA)(3x + 1 <16)

“ semua pria adalah orang kuat ” Adalah : J. Negasi Kuantor Negasi proposisi : “ semua pria adalah orang kuat ” Adalah : “tidak benar bahwa semua pria adalah orang kuat “ Artinya ada pria minimal satu orang yang tidak kuat, maka ditulis : Jika M menyatakan himpunan pria, maka ditulis : (xM)(x kuat)  (xM)(x tidak kuat)

(xM)(x kuat)  (xM)(x tidak kuat) dapat ditulis : Pernyataan ini (xM)(x kuat)  (xM)(x tidak kuat) dapat ditulis : (xM).p(x)  (xM).p(x) Demikian juga : (xM).p(x)  (xM).p(x) Dengan kata lain : Tidak benar bahwa untuk setiap aA.p(a) Benar eqivalen dengan terdapat aA sehingga p(a) Salah

Contoh : Tidak benar bahwa terdapat aA.p(a) Benar eqivalen dengan untuk setiap aA sehingga p(a) Salah

Negasi Proposisi : 1. p  q Konjungsi p  q 2. p  q Disjungsi p  q 3. p  q Implikasi p  q 4. p  q Biimplikasi p  q p  q 5. q  p Konvers q  p 6. p  q Invers p  q 7. q  p Kontraposisi q  p 8. p  p Tautologi p  p 9. p  p Kontradiksi p  p

Contoh : Negasikan : x.p(x)  y.q(y) x.p(x)  y.q(y) Jawab : a. x.p(x)  y.q(y) b. x.p(x)  y.q(y)

Soal : Negasikan : Jika guru tidak hadir maka beberapa siswa tidak melengkapai pekerjaan rumahnya Semua siswa telah melengkapi pekerjaan rumahnya dan guru tersebut hadir Beberapa siswa tidak melengkapi pekerjaan rumahnya atau guru tidak hadir

d.Jika semua mahasiswa tidak rajin belajar maka semua dosen marah e. Semua wanita melahirkan atau ada laki laki yang tidak senang f. Semua ibu bahagia jika dan hanya jika semua ayah setia