Metode lokasi akar-akar (Root locus method) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Pendahuluan Metode lokasi akar-akar Metode lokasi akar-akar dapat digunakan untuk melukiskan secara kualitatif unjuk kerja sistem kontrol jika beberapa parameter diubah. Contoh : efek mengubah gain terhadap %OS, settling time dan peak time Metode ini juga dapat memberikan gambaran mengenai stabilitas sistem kontrol secara grafis Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Latar Belakang Problem sistem kontrol Representasi bilangan kompleks sebagai vektor Bentuk gelombang tes input yang biasa digunakan Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Problem sistem kontrol T(s) pole berubah dengan perubahan K N : pembilang D : penyebut Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Ilustrasi Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4 Zero dari KG(s)H(s) adalah -1 dan -3 Karena respons transien dan stabilitas tergantung pada pole dari T(s) maka kita harus memfaktorkan penyebut untuk setiap harga K Pole dari T(s) tergantung harga K Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Representasi vektor dari bilangan kompleks Bilangan kompleks s+jw dapat digambarkan dalam kordinat Cartesian sebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q. F(s)=(s+a) F(s)=(s+a)+jw Translasi dari (b) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Representasi secara umum m= jumlah zero n=jumlah pole Besar dari F(s) Sudut dari F(s) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Ilustrasi Carilah F(s) pada titik Zero pada -1 pole pada 0 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Latihan carilah di titik Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Definisi lokasi akar-akar Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Lokasi akar-akar jika K bervariasi Letak pole dan zero Lokasi akar-akar (root locus) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Sifat-sifat root locus Untuk polinom orde 2 pada penyebut fungsi transfer, mudah untuk mencari faktor-faktor (rumus ABC) Untuk polinom orde lebih tinggi (3, 4, 5 atau lebih) , sulit untuk memfaktorkan tanpa bantuan komputer (numerik) , maka dengan root locus kita dapat menggambarkan secara kualitatif tanpa memfaktorkannya Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Sifat-sifat root locus Terdapat pole jika penyebutnya =0 atau 1 2 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Ilustrasi Dari tabel, misalnya untuk K=5 Maka pole berada di -9,47 dan -0.53 Jika harga-harga ini disubtitusi ke persamaan ini maka akan menghasilkan -1, demikian juga untuk harga K dan pole-pole yang lain Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Contoh Plot pole dan zero dari G(s) Tinjau titik -2+j3, jika titik ini adalah pole dari sistem jerat tertutup maka Harus memenuhi persamaan-persamaan (1) dan (2) Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup karena hasil penjumlahan sudutnya bukan kelipatan dari 1800 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Contoh Jika dicoba dengan cara yang sama untuk titik Maka akan menghasilkan sudut 1800 Harga K adalah Maka titik Adalah titik pada root locus dengan gain=0.33 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Latihan Tentukan sudut G(s) pada titik (-3+j0) dengan menjumlahkan sudut-sudut vektor dari zero dan pole G(s) pada titik tersebut Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locus Jika titik di a adalah root locus, tentukan harga K menggunakan panjang vektor Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Menggambarkan root locus Aturan penggambaran root locus Jumlah percabangan . Jumlah percabangan root locus sama dengan jumlah pole sistem jerat tertutup Simetri. Root locus simetri terhadap sumbu real Segment sumbu real. Pada sumbu real, untuk K>0 root locus berada di sebelah kiri bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero open loop berhingga Root locus pada sumbu real berada antara -1 dan -2 dan antara -3 dan -4 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Lanjutan Titik awal dan titik akhir. Root locus berawal pada pole- pole G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga, lalu berakhir di zero dari G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga. Dari contoh di atas maka root locus adalah Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Lanjutan 5. Sifat root locus di tak terhingga. Root locus mendekati garis lurus sebagai asimtot pada saat locus mendekati tak terhingga. Persamaan asimtot diberikan oleh perpotongan dengan sumbu real, sa dan sudut qa sbb: di mana k=0, ±1, ±2, ±3 dan sudut dalam satuan radian thd sumbu positif Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Ilustrasi Buatlah root locus untuk sistem sbb solusi Karena jumlah pole-jumlah zero =3 Maka ada 3 zero berada di tak berhingga Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Latihan Sketsalah root locus dari sistem di atas Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8