BAB 12 PROBABILITAS

Pengertian Probabilitas Kata Probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Probabilitas dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahan Contoh : 0,50, 0,25, 0,70 Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1

Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Pendekatan Perhitungan Probabilitas Bersifat Obyektif Bersifat Subyektif Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif

Pendekatan Klasik Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama

S A A

Konsep Frekuensi Relatif Pendekatan yang mutakhir ialah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif, besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

X f fr X1 f1 X2 f2 Xk fk Jumlah

Contoh 12.4 Tabel 12.1 X 55 65 75 85 95 105 115 f 8 10 16 14 5 2

Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75 Contoh 12.5 Tabel 12.2 Nilai Banyaknya mahasiswa (1) (2) < 25 10 25 – 50 30 50 – 75 45 75 15 Jumlah 100

Contoh 12.6 Tabel 12.3 f fr X1 8 0,8 60 0,6 450 0,45 5.490 0,549 52.490 0,5249 X2 2 0,2 40 0,4 550 0,55 4.510 0,451 47.510 0,4751 n 10 1,0 100 1000 1,00 10.000 1,000 100.000 1,0000 Untuk n = 10 P(X1) = 0,8  log 10 = 1 Untuk n = 100 P(X1) = 0,6  log 100 = 2 Untuk n = 1.000 P(X1) = 0,45  log 1.000 = 3 Untuk n = 10.000 P(X1) = 0,549  log 10.000 = 4 Untuk n = 100.000 P(X1) = 0,5249  log 100.000 = 5

Probabilitas Subyektif Probabilitas Subyektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.

Kejadian / peristiwa dan notasi Himpunan Eksperimen melempar mata uang logam Rp 50 sebanyak 2 kali Hasil eksperimen salah satu dari 4 kemungkinan 1 2 3 4 Hasil yang berbeda dari suatu eksperimen disebut titik sampel Himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel

Tabel 12.4 Ruang sampel untuk eksperimen Pelemparan 2 dadu II 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 I I = dadu pertama II = dadu kedua 23 = dadu pertama 2 dadu kedua 3

Ruang sampel suatu eksperimen mempunyai 2 syarat : Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan / saling meniadakan (mutually exclusive event) misalnya, melempar mata uang satu kali hasilnya atau tidak bisa 2. Harus terbagi habis (exhaustive). Artinya, ruang sampel harus memuat seluruh kemungkinan hasil, tidak ada yang terlewat. misalnya, jika melempar mata uang satu kali, maka ruang sampel (S) adalah

Mata uang logam Rp 50 dilempar sebanyak 3 kali maka akan diperoleh ruang sampel 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Kalau X = jumlah gambar burung ( B ) untuk 3 kali lemparan

X f fr 1 3 2

Tabel 12.6 Tabel 12.5 X fr 1 2 3 X f fr 1 3 2

Kalau kita melempar dadu sebanyak 2 kali (dapat juga 2 dadu dilempar sekali) dan kalau X adalah jumlah mata dadu tersebut, maka : X = 2 terjadi 1 kali (11 = 1 dan 1) X = 3 terjadi 2 kali (21, 12) X = 4 terjadi 3 kali (31, 22, 13) X = 5 terjadi 4 kali (41, 32, 23, 14) X = 6 terjadi 5 kali (51, 42, 33, 24, 15) X = 7 terjadi 6 kali (61, 52, 43, 34, 25, 16) X = 8 terjadi 2 kali (62, 53, 44, 35, 26) X = 9 terjadi 2 kali (63, 54, 45, 36) X = 10 terjadi 2 kali (64, 55, 46) X = 11 terjadi 2 kali (65, 56) X = 12 terjadi 2 kali (66)

Tabel 12.7 X f 2 1 1/36 (=0,028) 3 2/36 (=0,056) 4 3/36 (=0,083) 5 4/36 (=0,111) 6 5/36 (=0,139) 7 6/36 (=0,167) 8 9 10 11 12 36 1 (=1,00)

Dimana 1 dan 2 merupakan himpunan bagian

Misalnya A = mendapatkan 1B (satu burung), berarti A terdiri dari 2 elemen yaitu Kejadian yang terdiri dari satu elemen dalam Ruang Sampel S, disebut kejadian elementer (elementary event)

Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P(Si)  1 ) Jika P(Si) = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. Jika P(Si) = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. Jika 0  P(Si)  1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

A. HIMPUNAN 1.Pengertian Himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan, disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.

2.Penulisan Himpunan Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi. Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,... Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang .

Himpunan dapat ditulis dengan 2 cara : Cara Pendaftaran  Diskrit Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o} , B={1,2,3,4,5} Cara Pencirian  Kontinyu Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }

3. Macam-macam Himpunan a.Himpunan Semesta Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. Dilambangkan S atau U. Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli}

b.Himpunan Kosong. Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan { } atau .

c.Himpunan Bagian. Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Dilambangkan . Dalam statistik himpunan bagian merupakan sampel. Contoh : Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A. Dilambangkan : A  B.

Diagram Venn Himpunan Bagian 2 3 4 5

Komplemen Kejadian / event terdiri antara lain : 1. Kejadian komplementer 2. Interseksi (perpotongan) 3. union (gabungan) Komplemen Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

Peraga 12.4 Diagram Venn Komplemen S A A

Operasi Irisan (interseksi) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan Peraga 12.5

Rp 100.000 milik A dan juga milik B AB =

5 10 A

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. Gabungan (Union) dua kejadian Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan Peraga 12.6

A = B = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Peraga 12.7 S K A

Peraga 12.8 S K A

Beberapa aturan dasar probabilitas Secara umum ada 2 aturan : - aturan penjumlahan - aturan perkalian Aturan Penjumlahan Kejadian Saling Meniadakan. ( Mutually exclusive event) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B) = P (A) + P (B) atau P ( A  B) = P (A) + P (B) Untuk 3 kejadian saling meniadakan P ( A  B  C) = P (A) + P (B) + P (C)

Contoh 12.7 : Tabel 12.8 Berat Kejadian Jumlah padat Probabilitas Lebih ringan A 100 Standar B 3600 Lebih berat C 300 Jumlah 4000 1,000 P (A atau C) = P ( A  C) = P (A) + P (C) = 0,025 + 0,075 = 0,10

Peraga 12.9 Diagram Venn A B C

S1 S2 Sk N1 N2 Nk (12.8)

Suatu himpunan yang dibagi habis menjadi himpunan-himpunan yang lebih kecil ( subset) disebut himpunan partisi (partition set). Misal ada 100 barang (S=100), diketahui 25 rusak (S1=25), maka sisanya sebanyak 75 tidak rusak (S2=75) S = S1 + S2

Kejadian tidak saling meniadakan. Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa tidak saling lepas disebut juga peristiwa bersama.

Departemen Pariwisata memilih sebuah sampel dari 200 wisatawan yang mengunjungi Jakarta. Dari hasil survey ternyata diperoleh bahwa 120 orang telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah, dan 100 orang telah mengunjungi Taman Impian Jaya Ancol. Berapa probabilitas bahwa seorang wisatawan yang terpilih telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah atau Taman Impian Jaya Ancol ?. Yang telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah 120/200 = 0,60 Yang telah mengunjungi Taman Impian Jaya Ancol 100/200 = 0,50 Jumlahnya 0,60 + 0,50 = 1,1 > 1 Hal ini terjadi karena ada beberapa wisatawan yang mengunjungi kedua tempat wisata tersebut, sehingga mereka dihitung 2 kali. Ternyata setelah diteliti dari respon survei terdapat 60 orang yang mengunjungi kedua tempat wisata diatas.

P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B) Jika dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B) P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) P (Taman Mini atau Ancol) = P(Taman Mini) + P(Ancol) – P(Taman Mini atau Ancol)

Contoh 12.8 : Tabel 12.9 Kartu Probabilitas Penjelasan Raja (King) 4 kartu raja dalam 1 set kartu Hati (Heart) 13 kartu heart dalam 1 set kartu Raja bergambar hati 1 kartu raja bergambar heart dalam 1 set kartu

P (A atau B ) = P ( A  B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

Merencanakan untuk membeli Contoh 12.9 : Tabel 12.10 Merencanakan untuk membeli Benar2 telah membeli Total Ya Tidak 200 50 250 100 650 750 300 700 1000 P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Contoh 12.10 53 82 164 10 93 68 30 S K A

- Kejadian tak bebas (dependent event) Aturan Perkalian - Kejadian tak bebas (dependent event) - Kejadian bebas (independent event)

Kejadian tak bebas (bersyarat) Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi, disebut probabilitas bersyarat (conditional probability), atau biasa ditulis P (A/B)

Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas (Swasta atau Negeri) sama dengan 10.000 orang. Himpunan A mewakili 2.000 mahasiswa lama (a). Himpunan B mewakili 3.500 mahasiswa putri (b). Sedangkan 800 dari 3.500 mahasiswa putri merupakan mhs lama (c). Berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut mhs putri lama?.

Berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut mhs putri lama?.

mahasiswa putri lama = 800 = (c) A = 2000 mahasiswa lama (a) S = 10.000, seluruh mahasiswa (N) mahasiswa putri lama = 800 = (c) B = 3500 mahasiswa putri (b)

Pada umumnya probabilitas bersyarat dirumuskan sbb:

Contoh 12.11 :

Tabel 12.11 1 2 3 4 5 6 11 12 13 (14) 15 (16) 21 22 (23) 24 (25) 26 31 (32) 33 (34) 35 (36) (41) 42 (43) 44 (45) 46 51 (52) 53 (54) 55 (56) (61) 62 (63) 64 (65) 66

S = 36 titik sampel = 36 hasil eksperimen (N = 36) A = (11 = 2, 12 = 3, 13 = 4, 21 = 3, 22 = 4, 31 = 4  semuanya memberikan nilai X < 5, a = 6) B = (21, 41, 61, 12, 32, 52, 23, 43, 63, 14, 34, 54, 25, 45, 65, 16, 36, 56, semuanya memberikan X ganjil  X = 3, 5, 7, 3, ….) b = 18 = 2 (12 dan 21, semuanya memberikan nilai X < 5 dan ganjil)

Contoh 12.12 : Bukan Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 3 12 Wanita 10 5 Doktor Sudah menikah Belum menikah Pria 40 10 Wanita Misalkan W, M, D mewakili kejadian bahwa pelamar yang terpilih wanita, menikah, dan bergelar Doktor, W = 10 + 5 + 10 + 10 = 35 di antara 100 pelamar (S)

Probabilitas kejadian interseksi Rumus Aturan Umum dari Perkalian Probabilitas (12.12)

Contoh 12.13 :

Jadi Terbukti Kalau kejadiannya A, B dan C (3 kejadian), maka : Pembuktiannya : misalnya Jadi Terbukti

Merencanakan untuk membeli Diagram pohon Tabel 12.10 Contoh 12.9 : Merencanakan untuk membeli Benar2 telah membeli Total Ya Tidak 200 50 250 100 650 750 300 700 1000

Tidak merencanakan membeli Diagram pohon Benar telah membeli Merencanakan membeli Tidak membeli Seluruh responden Benar telah membeli Tidak merencanakan membeli Tidak membeli

Kejadian Bebas (Independent Event) Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. P (AB) = P(A) P(B) = P(B) P(A) (A dan B merupakan kejadian bebas)

Contoh 12.17 :

Contoh 12.18 :

Peraga 12.14 S = N

Contoh 12.19 :

Probabilitas marginal Probabilitas terjadinya suatu Peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain.

Probabilitas Marjinal =

Contoh 12.21 :

Contoh 12.21 S = 1000 H 200 T 150 E 400 ME MH 50 K 250 MK MT 25 M

Rumus Bayes Sebagai ilustrasi, misalkan terdapat 3 kotak yang sama ukurannya dan masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 = A1 2 M 1 M 1 P 2 P Kotak 2 = A2 Kotak 3 = A3 Anda diminta memilih 1 kotak secara acak (random), kemudian anda diminta lagi memilih 1 bola dari kotak terpilih, juga secara acak. Anda diberitahu bahwa bola yang anda pilih tersebut ternyata bola berwarna merah. Berapakah probabilitasnya bahwa kotak yang terpilih adalah kotak Pertama, yang berisi 2 bola merah? (kotak pertama/merah)

Rumus Bayes S Ax A1 A2 Ai A1A A2A AiA AxA A

K = 3, A1 , A2 , A3 (kejadian, pemilihan kotak) Kotak 1 = A1 2 M 1 M 1 P 2 P Kotak 2 = A2 Kotak 3 = A3 K = 3, A1 , A2 , A3 (kejadian, pemilihan kotak) A merupakan kejadian terpilihnya bola merah setelah salah satu kotak terpilih

A1 = keluarga yang tinggal di luar Jakarta A2 = keluarga yang tinggal di Jakarta A = keluarga yang berpenghasilan tinggi

PERMUTASI & KOMBINASI Permutasi Suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dimana urutan itu penting Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut .

Misalkan seorang direktur pemasaran suatu perusahaan mempunyai 4 alternatif didalam memasang iklan (Koran, Majalah, TVRI, RRI) dan 2 kemungkinan rancangan pembungkus (packaging design), yaitu memakai botol plastik dan kotak karton. Banyaknya kombinasi iklan dan rencana pembungkus = k . m = 4 x 2 = 8 Kalau dinyatakan dalam diagram pohon (tree diagram), gambarnya adalah sbb :

PERMUTASI & KOMBINASI Koran Majalah TVRI k x m = 4 x 2 = 8 RRI m 1 Plastik Koran k 1 m 2 Karton Majalah m 3 Plastik k 2 m 4 Karton m 5 Plastik TVRI k 3 m 6 Karton k x m = 4 x 2 = 8 RRI m 7 Plastik k 4 m 8 Karton

Misalnya, seorang pemegang saham setelah menerima keuntungan selama setahun mempunyai 2 alternatif, yaitu menghabiskan uang keuntungan itu untuk keperluan konsumsi atau akan menanamkan uangnya kembali. Selama 3 tahun dia akan dihadapkan kepada alternatif sebanyak 23 = 8 Perhatikan diagram pohon (tree diagram) berikut :

mk = 23 = 8 Tahun pertama 2 1 Tahun kedua 3 1 2 4 Tahun ketiga 1 2 3 4 5 6 7 8

Contoh 12.25 Ke Denpasar ( 3 pilihan ) Ke Surabaya Caranya = 6 1 M 1 M M Dari Jakarta 1 2 G 2 M G M 3 B 3 M B 1 M 4 G M 2 2 G 5 G G G 3 B 6 G B

Permutasi Pengertian Permutasi Suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dimana urutan itu penting Contoh : 123 213 ABC BCA

Contoh : 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda. A B C 3 2 1 6 5 4 Permutasi Rank

3 cara  A, B dan C Jadi banyaknya permutasi merupakan hasil kali 3 x 2 x 1 = 6 Kalau ada 4 calon, banyaknya permutasi adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Banyaknya permutasi = m(m-1)(m-2)…..(1) m = banyaknya elemen

Rumus-rumus Permutasi Permutasi dari m obyek tanpa pengembalian. a. Permutasi dari m objek seluruhnya. (12.18) Permutasi m obyek diambil m setiap kali

b. Permutasi sebanyak x dari m obyek. (12.19) Permutasi m obyek diambil x setiap kali

Contoh 12.26 Untuk m = 10 x = 5

KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut . ABC = ACB = BCA LUCY = UCYL

Rumus-rumus Kombinasi : a. Kombinasi x dari m objek yang berbeda. Combinasi m obyek diambil x setiap kali

Contoh 12.27 a. Jika N = 3  X1 X2 X3 , n = 2, maka 3 sampel tsb. ialah : X1X2 ; X1X3 dan X2X3

Contoh 12.28 a) Cara 1 : Pengambilan pertama, kedua, ketiga mendapatkan bola merah Cara 2 :

c. P (2 merah dan 1 putih)

Contoh 12.29 Tembakan dari seorang penembak mempunyai probabilitas sebesar 0,8 untuk mengenai sasaran yang dituju. Jika tembakan dilakukan 7 kali, berapa probabilitasnya bahwa 4 diantaranya mengenai sasaran?

Contoh 12.29 Jika m = 7 dan x = 4 maka :

Hubungan permutasi dengan kombinasi. Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :