Getaran 2 derajat kebebasan Getaran Mekanik STTM

Derajat Kebebasan Derajat Kebebasan: jumlah koordinat minimum yang diperlukan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda/sistem Sebelumnya hanya satu koordinat yang digunakan 2 derajat kebebasan 2 frekuensi pribadi 2 mode shape (cara bergetar)

Getaran 2 DOF tak teredam

Diagram Benda Bebas k2(x2 -x1) k1 x1 m2 m1 x1 x2

Dalam bentuk matriks, kedua persamaan tersebut dapat dituliskan sbg: atau M= matriks massa sistem K= matriks kekakuan sistem

Asumsi solusi harmonik dalam e Di mana u adalah vektor konstanta yang akan dicari, tidak boleh nol w adalah konstanta yang juga harus dicari (frekuensi pribadi) ejwt = cos wt +jsinwt

Maka jika disubtitusikan ke persamaan gerak Karena ejwt tidak boleh =0 Agar u ada (atau tidak nol) maka Persamaan karakteristik

Ilustrasi Cari solusi w dari persamaan karakteristik di atas jika m1=9 kg, m2=1 kg, k1=24 N/m dan k2=3 N/m Dengan mensubtitusikan harga harga yang ditentukan diperoleh Jadi w12=2 dan w22=4. terdapat dua akar

Jika harga w telah diperoleh, maka vektor u dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Untuk setiap harga w Atau untuk setiap harga w terdapat sebuah vektor u yang memenuhi persamaan di atas Untuk w12, vektor u1 akan memenuhi: Dan untuk w22, vektor u2akan memenuhi:

ilustrasi Dari ilustrasi sebelumnya carilah vektor u1 dan u2 dari w1 dan w2 yang telah diperoleh Maka dengan w2=w12=2 Misalkan 9u11 – 3u21 =0 dan -3u11 +u21 =0 Hanya arah dari vektor yang diperoleh, bukan besarnya Atau hanya rasio dari perpindahan yang diperoleh

Penulisan harga vektor u dapat diperoleh dengan memisalkan harga=1 untuk Salah satu elemen u, misalnya u21=1 maka Mode shape untuk frekuensi pribadi w1 Hal yang sama berlaku jika menggunakan w22=4 hingga diperoleh -9u12 – 3u22 =0 atau u12 =-(1/3) u22 dengan memilih u22=1 Mode shape untuk frekuensi pribadi w2

Time respons (4.24) (4.26) Kita telah menghitung empat solusi: Karena linier, maka dapat digabungkan menjadi: (4.26) ditentukan oleh kondisi awal.

Modus Getar (Mode Shape) Ingat bahwa A1, A2, f1 dan f2 ditentukan oleh kondisi awal Pilih nilai2nya agar A2 = f1 = f2 =0 maka: Maka setiap massa yang berosilasi pada frekuensi w1 dengan besar yang proporsional dengan u1 adalah modus getar pertama

Modus Getar m1 m2 Mode 1: x2=A x1=A/3 m1 m2 Mode 2: x2=A x1=-A/3 x1 x2 k1 k2 m1 m2 Mode 1: x2=A x1=A/3 x1 x2 k1 k2 m1 m2 Mode 2: x2=A x1=-A/3

Contoh

Pada t=0 maka

4 persamaan dengan 4 tidak diketahui

Solusi akhir

Solusi sebagai penjumlahan modus Menentukan kontribusi frekuensi 1 thd respons Menentukan kontribusi frekuensi 2 thd respons

RINGKASAN DAN KESIMPULAN Banyaknya derajat kebebasan menyatakan banyaknya frekuensi pribadi dan mode shape suatu sistem getaran Mode shape hanya menyatakan arah dan rasio amplitudo getaran, bukan besar absolut amplitudo karena untuk sistem linier, semua solusi baik u atau au (a suatu konstanta tidak nol sembarang) memenuhi persamaan tsb.