Model black-scholes untuk menentukan nilai opsi beli tipe eropa Om Swastiastu Model black-scholes untuk menentukan nilai opsi beli tipe eropa

Pendahuluan Latar Belakang Rumusan masalah Tujuan penulisan Manfaat penulisan Batasan masalah

Latar belakang Perkembangan perekonomian global mendorong para pelaku ekonomi tertarik bergabung dengan pasar modal (investasi) dari pada pasar uang karena hasil yang akan diperoleh lebih besar. Salah satu alternatif investasi yang ditawarkan di dalam bursa dunia adalah produk derivatif. Produk derivatif merupakan suatu produk yang nilainya tergantung pada nilai suatu produk yang mendasarinya. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Opsi merupakan salah satu alat yang paling efektif sebagai sasaran lindung nilai, penambahan pemasukan, memaksimalkan keuntungan dan meminimalkan kerugian. Dengan semakin berkembangnya pasar modal khususnya pasar opsi maka semakin berkembangnya pula pengetahuan dan metode-metode memprediksi suatu pergerakan harga opsi dan meramalkan segala kemungkinan yang terjadi yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan dan meminimalkan kerugian. Banyak metode yang dapat digunakan untuk mengetahui harga opsi dan salah satunya adalah model Black-Scholes. pendahuluan

Rumusan masalah Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan adalah sebagai berikut: 1. Bagaimanakah cara menentukan harga opsi beli dengan menggunakan model Black-Scholes dan sifat-sifatnya? 2. Bagaimana cara mengaplikasikan model Black-Scholes ke dalam sebuah kasus untuk menghitung harga opsi beli? pendahuluan

Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui cara menentukan harga opsi beli dengan menggunakan model Black-Scholes dan sifat-sifatnya. 2. Untuk mengetahui cara mengaplikasikan model Black- Scholes ke dalam sebuah kasus dalam menghitung harga opsi beli. pendahuluan

Manfaat Penulisan Manfaat penulisan ini adalah untuk memberikan informasi kepada pembaca tentang aplikasi dari ilmu matematika dalam menentukan nilai opsi beli tipe Eropa. pendahuluan

Batasan Masalah Dalam makalah ini hanya membahas tentang harga opsi beli tipe eropa dengan model Black-Scholes dan sifat-sifatnya. pendahuluan

Black-Scholes Kajian TEOri pembahasan Contoh soal Aplikasi

Distribusi normal standar Kajian teori Model Binomial Gerak Brown geometri Deret taylor Opsi Eropa Distribusi normal standar lognormal Investasi

Model binomial Misal 𝑆 0 menyatakan suatu harga awal saham dan 𝑆 𝑖 merupakan harga pada waktu i untuk 𝑖=1,2,…,𝑛. 𝑆(𝑖) akan bernilai 𝑢𝑆(𝑖−1) bila harga opsi naik dengan faktor u atau bernilai 𝑑𝑆(𝑖−1) bila harga turun dengan faktor d, dimana 𝑑<1+𝑟< 𝑢. X­i­ adalah variabel random yang menunjukan harga saham yang dibeli pada saat waktu i akan sama dengan: 𝑋 𝑖 = { 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑖 =𝑑𝑆(𝑖−1) 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑖 =𝑢𝑆(𝑖−1) Agar suatu peluang menjadi sama, maka harus ada suatu peluang dimana 𝑃 𝑋 1 = 𝑥 1 ,…, 𝑋 𝑛 = 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑖 =0,1 𝑖=1,2,…,𝑛 independen dengan 𝑃 𝑥 𝑖 =1 =𝑝=1−𝑃 𝑥 𝑖 =0 , 𝑖=1,…, 𝑛 dimana 𝑝= 1+𝑟−𝑑 𝑢−𝑑 Bukti Kajian Teori

Gerak brown geometri Gerak brown geometri adalah salah satu model stokastik yang sederhana. Para ahli ekonomi menggunakan Gerak Brown Geometri sebagai model pergerakan harga saham karena selalu bernilai positif dan laju perubahan relatifnya berupa kombinasi dari pertumbuhan deterministik serupa laju pertumbuhan suku bunga ditambah dengan perubahan acak yang berdistribusi normal. Gerak Brown Geometri dapat didefinisikan dengan 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 𝑒 𝑋(𝑡) dimana 𝑋 𝑡 =𝜎𝐵 𝑡 +𝜇𝑡 adalah Gerak Brown dengan pergeseran 𝜇 dan 𝑆 0 = 𝑆 0 >0 adalah nilai awalnya. Gerak brown geometri adalah proses Markov sehingga waktu yang diberikan sekarang independen (saling lepas) dari masa lalu. Kajian Teori

Deret taylor Deret taylor dari sebuah fungsi riil atau kompleks yang terdefinisikan tak terhingga dalam sebuah himpunan sebuah bilangan riil atau kompleks adalah deret pangkat 𝑓 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 ( 𝑥 0 ) (𝑥− 𝑥 𝑛 ) 𝑛 𝑛! Kajian Teori

Opsi eropa Opsi Eropa memberikan hak kepada pembeli opsi untuk melakukan eksekusi pada saat jatuh tempo berakhir. Pada tipe Eropa opsi terbagi dua yaitu opsi beli dan opsi jual. Opsi beli tipe Eropa memberikan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dari pemiliknya pada tingkat harga dan waktu tertentu. Opsi Beli ada empat hal utama yang perlu diperhatikan: 1. Perusahaan yang sahamnya akan dibeli, 2. Jumlah saham yang dapat dibeli, 3. Harga pembelian saham yang akan dibeli atau disebut strike price, 4. Tanggal berakhirnya hak membeli yaitu tanggal terakhir opsi yang dapat digunakan. Kajian Teori

Opsi eropa Pembeli opsi beli akan menggunakan opsi untuk membeli saham pada harga yang telah disepakati. Pada dasarnya terdapat dua kondisi yang terjadi pada opsi beli yaitu 𝑆 𝑇 >𝐾 dan 𝑆 𝑇 ≤𝐾. Secara matematis harga opsi beli saat dilambangkan dengan C(T) dapat dimodelkan sebagai berikut 𝐶(𝑇)= { 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆(𝑇)≤𝐾 𝑆 𝑇 −𝐾 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑇 >𝐾 atau 𝐶(𝑇)=max⁡{0, 𝑆 𝑇 −𝐾} Jadi nilai opsi beli seseorang untuk membeli asset S dengan harga yang telah disepakati (K) pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbal hasil atau penerimaan keuntungan dapat ditunjukkan dari gambar disamping Kajian Teori

Distribusi Normal Standar Misalkan diberikan variabel acak X berdistribusi normal dengan parameter mean 𝜇 dan varians 𝜎 2 , maka variabel acak Z yang berdistribusi Normal Standar dengan parameter mean 0 dan varians 1 akan menghasilkan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) seperti 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎 ; 𝑍~𝑁(0,1) 𝑓 𝑧 𝑧 =𝑃 𝑍=𝑧 = 1 2𝜋 𝑒 − 𝑍 2 2 untuk −∞<𝑧<∞ dengan fungsi kepadatan peluang komulatif (CDF) dari variabel acak Z Normal Standar adalah 𝐹 𝑧 𝑧 =𝑃 𝑍≤𝑧 = −∞ 𝑍 𝑓 𝑧 𝑘 𝑑𝑘= −∞ 𝑍 1 2𝜋 𝑒 − 𝑘 2 2 𝑑𝑘 Kajian Teori

lorgormal Jika X = lnY merupakan distribusi normal, 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) dan Y mempunyai interval 0<𝑌<∞ , maka dapat dikatakan bahwa Y mempunyai distribusi lognormal, 𝑌~𝐿𝑂𝐺𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) . Misalkan Y = ex , maka Y dikatakan berdistribusi lognormal, karena X = lnY mempunyai distribusi normal. Fungsi kepadatan perobabilitas untuk distribusi lognormal dapat dinyatakan sebagai berikut dengan mean 𝑒 𝜇+ 𝜎 2 /2 dan varians 𝑒 2𝜇+ 𝜎 2 ( 𝑒 𝜎 2 −1): 𝑓 𝑥 = 1 𝑥𝜎 2𝜋 𝑒 − 1 2 ln 𝑥 −𝜇 𝜎 2 untuk −∞<𝜇<∞, 0<𝜎<∞ dan 𝑥>0 Kajian Teori

investasi Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di masa depan (akumulasi suatu bentuk aktif dengan suatu harapan mendapatkan keuntungan dimasa depan). Saham adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal dari suatu perseroan terbatas. Saham dapat diperoleh atau dijual bebas di satu atau lebih pasar saham. volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode. Volatilitas saham menyatakan tingkat keacakan harga saham. Kajian Teori

investasi Obligasi adalah surat utang yang diterbitkan oleh pihak peminjam obligasi untuk melakukan pembayaran bunga kepada pemegang obligasi selama masa obligasi, kemudian melunasi nilai nominal pada waktu jatuh tempo. Opsi saham merupakan hak untuk membeli atau menjual saham tertentu pada waktu dan harga yang telah ditentukan. Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilai di semua kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Kajian Teori

pembahasan Rumus Black-Scholes Sifat-sifatnya Pembahasan

Rumus Black-scholes Model Black Scholes didasarkan pada asumsi bahwa opsi yang digunakan adalah opsi tipe Eropa dan tidak terdapat pajak serta biaya transaksi sampai waktu jatuh tempo opsi tersebut. Pembahasan

Rumus Black-scholes Dibawah gerak Brown Geometrik bebas resiko sehingga C biaya yang tidak ada arbitrase unik dari opsi beli untuk pembeli jaminan pada waktu t untuk harga srike prise K yang telah ditentukan, adalah 𝐶= 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 𝑡 −𝐾 + = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + ...(3.1.1) dengan Z adalah variabel random normal standar NB: Untuk menurunkan rumus tersebut didapat dengan menggunkan Lemma dan teorema berikut: Pembahasan

Lemma 3.1.1 menggunakan representasi (3.1.2) dan (3.1.3) Rumus Black-scholes 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 ...(3.1.2) dengan Z adalah variabel random normal standar. Bila I menjadi indikator variabel acak untuk kejadian opsi akhir dalam S(t). Maka, 𝐼= { 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆(𝑡)≤𝐾 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑡 >𝐾 ...(3.1.3) Lemma 3.1.1 menggunakan representasi (3.1.2) dan (3.1.3) 𝐼= { 0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍>𝜎 𝑡 −𝜔 dimana 𝜔= 𝑟𝑡+ 𝜎 2 𝑡 2 − log 𝐾/ 𝑆 0 𝜎 𝑡 Bukti Pembahasan

Lemma 3.1.2 𝐄 𝐼 =𝑃 𝑆 𝑡 >𝐾 =Ф(𝜔−𝜎 𝑡 ) Rumus Black-scholes Lemma 3.1.2 𝐄 𝐼 =𝑃 𝑆 𝑡 >𝐾 =Ф(𝜔−𝜎 𝑡 ) dimana Ф adalah fungsi distribusi normal standar Bukti Lemma 3.1.3 𝐄 𝐼𝑆(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 𝑆 0 Ф(𝜔) Bukti Pembahasan

Rumus Black-scholes Sehingga didapat rumus harga opsi beli dengan model Black- Scholes adalah: 𝐶= 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 𝑡 −𝐾 + = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + = 𝑆 0 Ф 𝜔 − 𝑒 −𝑟𝑡 𝐾Ф 𝜔−𝜎 𝑡 dimana 𝜔= 𝑟𝑡+ 𝜎 2 𝑡 2 − log 𝐾/ 𝑆 0 𝜎 𝑡 dimana Ф(x) adalah fungsi distribusi normal standar Pembahasan

Sifat-sifat Biaya opsi no-arbitrage C = C( S, t, K, σ, r ) adalah fungsi dari lima variabel yaitu: harga jamian awal S0, waktu jatuh tempo opsi t, Strike price K, parameter volatilitas σ dan tingkat suku bunga r. Untuk melihat apa yang terjadi pada biaya sebagai fungsi dari masing-masing variabel ini digunakan persamaan (3.1) 𝐶 𝑆,𝑡,𝐾,𝜎,𝑟 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + Pembahasan

2. C menurun, fungsi cembung K Sifat-sifat 1. C meningkat, fungsi cembung S Ini berarti bahwa jika empat variabel lainnya tetap sama, maka biaya opsi no- arbitrage adalah peningkatan fungsi cembung harga jaminan awal. 2. C menurun, fungsi cembung K Ini berarti bahwa jika empat variabel lainnya tetap sama, maka biaya opsi no- arbitrage adalah penurunan fungsi cembung harga strike price. Pembahasan

Sifat-sifat 3. C meningkat di t Karena model Black-Scholes mengikuti Gerak Brown Geometri dan proses Markov maka nilai yang dihasilkan pada waktu tertentu (t) hanya menggunakan perhitungan pada waktu sebelumnya (t - 1) karena mengasumsikan bahwa nilai sebelumnya adalah sama. 4. C meningkat di σ Karena pemegang opsi akan sangat merasakan manfaat dari harga yang sangat besar pada saat menjalankannya, sementara ada penurunan harga tambahan dibawah harga pelaksanaan tidak akan menyebabkan kerugian tambahan Contoh Soal Aplikasi

𝐶= 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + Sifat-sifat 5. C meningkat di r Untuk memeriksa hal ini, perhatikan bahwa W merupakan variabel random normal dengan mean 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡 dan variansinya 𝜎 2 𝑡 𝑊=𝑟𝑡− 𝜎 2 2 +𝜎 𝑡 𝑍 Dimana Z adalah variabel random normal standar dengan mean 0 dan variansi 1. Dengan persamaan 3.1 𝐶= 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + Hasilnya sekarang mengikuti 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑡 𝑍 −𝐾 + dan nilai nilai yang diharapkan adalah meningkat di r. Mengikuti yang sebelumnya, berdasarkan model gerak brown geometrik non arbitrase, satu-satunya efek dari tingkat bunga meningkat adalah mengurangi nilai sekarang dari jumlah yang harus di bayar jika hal tersebut dilakukan maka meningkatlah nilai opsi Contoh Soal Aplikasi

Contoh soal Aplikasi Suatu jaminan PT Telekomunikasi di Indonesia saat ini dijual dengan harga Rp30Juta dengan tingkat suku bunga adalah 8% (setiap satu tahun) dan jaminan volatilitasnya sebesar Rp0,2juta. Jika Pak Made ingin membeli jaminan tersebut, berapakan harga opsi beli yang berakhir tiga bulan dan memiliki strike price Rp34Juta? Pembahasan Contoh Soal Aplikasi

Contoh Soal Aplikasi

Om Santhi santhi santhi om