Exponential Smoothing

historis Robert G. Brown (1944) Charles Holt [working for the US Navy as an Operations Research analyst] He used the idea in a mechanical computing device for tracking the velocity and angle used in firing at submarines. One of his first applications was forecasting demand for spare parts in the US Navy inventory system. Charles Holt [Working on US Office of Naval Research (ONR)] Holt’s work on additive and multiplicative seasonal exponential smoothing became well known through a paper by his student Peter Winters (1960) which provided empirical tests for Holt’s methods. As a result, the seasonal versions of Holt’s methods are usually called Holt-Winters’ methods

Pendahuluan Exponential smoothing methods Metode pemulusan yang paling sederhana adalah Single Exponential Smoothing (SES), dimana hanya terdapat satu parameter yang perlu diestimasi. Holt’s method menggunakan dua parameter berbeda yang mengakomodasi peramalan pada data menggunaka tren. Holt-Winters’ method menggunakan tiga parameter pemulusan: konstanta pemulusan, parameter untuk tren, dan parameter untuk musiman.

Exponential Smoothing Methods Metode ini memberikan bobot eksponensial moving average untuk semua data historis; Tepat digunakan utuk data yang tidak mengandung tren naik atau turun yang tidak terprediksi (tren ekstrim). Tujuannya adalah untuk mengestimasi level terkini dan menggunakannya untuk peramalan nilai ke depan. This is an obvious extension the moving average method. With simple moving average forecasts the mean of the past k observations used as a forecast have equal eights (1/k) for all k data points. With exponential smoothing the idea is that the most recent observations will usually provide the best guide as to the future, so we want a weighting scheme that has decreasing weights as the observations get older

Simple Exponential Smoothing Method (SES) Persamaan SES dapat dituliskan sebagai berikut: 𝐹 𝑡+1 =𝛼 𝑦 𝑡 + 1−𝛼 𝐹 𝑡 Ft+1 = nilai peramalan pada satu periode berikutnya  = konstanta pemulusan. yt = data/observasi ke-t Ft = data pada periode ke-t Peramalan 𝐹 𝑡+1 berdasarkan pada pembobotan pada data terbaru 𝑦 𝑡 dengan bobot sebesar  dan pembobotan peramalan terkini Ft dengan bobot sebesar 1- 

Simple Exponential Smoothing Method Implikasi dari exponential smoothing dapat dilihat dengan lebih baik, jika persamaan sebelumnya dijabarkan, yaitu mengganti Ft dengan komponennya seperti berikut:

Simple Exponential Smoothing Method Jika proses subtitusi ini berulang dengan mengganti Ft-1 oleh komponennya, Ft-2 oleh komponennya, dan seterusnya, maka hasilnya adalah: Oleh karena itu, Ft+1 adalah pembobotan moving average dari semua data historis.

Simple Exponential Smoothing Method Tabel berikut menunjukkan bobot yang diberikan pada data historis untuk  = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 0.9

Simple Exponential Smoothing Method Persamaan exponential smoothing dapat ditulis ulang dalam bentuk yang menguraikan peran faktor pembobot , sebagai berikut: Peramalan exponential smoothing adalah peramalan sebelumnya ( 𝐹 𝑡 ) dengan penambahan adjustment untuk galat yang terjadi di peramalan sebelumnya.

Simple Exponential Smoothing Method Nilai dari konstatan pemulusan  harus berada diantara 0 dan 1  tidak boleh sama dengan 0 atau 1.

Bagaimana memilih besaran nilai ? Jawab: Jika diinginkan peramalan yang stabil dengan pemulusan random, maka gunakan nilai  yang kecil (data tidak terlalu fluktuatif). Jika diinginkan reson yang cepat terhadap perubahan data, maka gunakan nilai  yang besar (data cukup fluktuatif).

Simple Exponential Smoothing Method Bagimana menentukan nilai  yang tepat untuk melakukan peramalan? Jawab: Salah satunya adalah trial and error, yaitu: Untuk mengestimasi, lakukan percobaan untuk  dengan nilai 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9, kemudian hitung MSE-nya. Nilai  dengan RMSE terkecil dipilih untuk melakukan peramalan berikutnya.

Simple Exponential Smoothing Method Untuk memulai algoritma peramalan, kita membutuhkan F1 karena: Oleh karena F1 belum diketahui, maka yang dapat kita lakukan adalah: (initial value) Tetapkan peramalan pertama sama dengan data/observasi pertama, 𝐹 1 = 𝑦 1 . Ini dilakukan ketika data awal cukup fluktuatif. Atau… Gunakan rata-rata dari lima atau enam data pertama sebagai peramalan pertama, 𝐹 1 =𝑀𝐴 5 atau 𝐹 1 =𝑀𝐴(6). Ini diambil ketika data awal cukup konstan (tidak terlalu banyak pergerakan). Ketika 𝑡 semakin besar, nilai 1−𝛼 𝑡 semakin kecil. Demikian 𝐹 1 memberikan kontribusi yang semakin kecil.

Example 1:University of Michigan Index of Consumer Sentiment University of Michigan Index of Consumer Sentiment for January 2014-December 2015. we want to forecast the University of Michigan Index of Consumer Sentiment using Simple Exponential Smoothing Method.

Example:University of Michigan Index of Consumer Sentiment Tetapkan initial value: 𝐹 1 = 𝑦 1 . Kita coba  = 0.3, and 0.6.

Example:University of Michigan Index of Consumer Sentiment Peramalan untuk Feb-14 (t = 2) and Mar-14 (t = 3) are evaluated as follows: 𝐹 𝑡+1 = 𝐹 𝑡 +𝛼( 𝑦 𝑡 − 𝐹 𝑡 𝐹 2 = 𝐹 1 +0.6( 𝑦 1 − 𝐹 1 )=97.6+0.6(97.6−97.6)=97.6 𝐹 3 = 𝐹 2 +0.6( 𝑦 2 − 𝐹 2 )=97.6+0.6(95.1−97.6)=96.1 RMSE =2.66 for  = 0.6 RMSE =2.96 for  = 0.3

Example 1:University of Michigan Index of Consumer Sentiment

Example 1: Initial value dg MA(5)

Holt’s Exponential smoothing Metode Holt’s exponential smoothing adalah perluasan dari simple exponential smoothing (SES) dengan dua parameter. Metode ini menambahkan faktor trend (atau faktor pertumbuhan) dalam persamaan pemulusan sebagai jalan untuk menyesuaikan pola trend.

Holt’s Exponential smoothing Tiga persamaan dan dua parameter pemulusan digunakan dalam model ini: Rangkaian data dengan pemulusan exponensial atau level estimasi: Estimasi dari trend: Peramalan untuk m periode ke depan:

Holt’s Exponential smoothing 𝐿 𝑡 = Estimasi level dari rangkaian data periode ke-t  = konstanta pemulusan untuk data 𝑦 𝑡 = data/observasi pada periode ke-t.  = estimasi konstanta pemulusan untuk trend 𝑏 𝑡 = estimasi kemiringan pada periode ke-t m = banyaknya periode ke depan yang ingin diramalkan.

Holt’s Exponential smoothing Bobot  dan  dapat dipilih secara subyektif dengan meminimalkan ukuran error seperti MSE. Bobot yang besar menghasilkan perubahan yang cepat pada setiap komponen; Bobot yang kecil menghasilkan perubahan yang tidak terlalu cepat;

Holt’s Exponential smoothing Terdapat dua jenis nilai awal (initial value) dari metode Holt’s exponential smoothing: Pertama yaitu untuk nilai awal level, 𝐿 1 Kedua yaitu untuk nilai awal trend, 𝑏 1 Alternatif untuk nilai awal yaitu: Menetapkan 𝐿 1 = 𝑦 1 Menetapkan 𝑏 1 = 𝑦 2 − 𝑦 1 atau 𝑏 1 = 𝑦 2 − 𝑦 1 + 𝑦 3 − 𝑦 2 +( 𝑦 4 − 𝑦 3 ) 3 atau 𝑏 1 = 𝑦 𝑛 − 𝑦 1 𝑛−1

Example 2:Quarterly sales of saws for Acme tool company The following table shows the sales of saws for the Acme tool Company. These are quarterly sales From 1994 through 2000.

Example:Quarterly sales of saws for Acme tool company Perhatikan pola data: Data fluktuatif Data memiliki kecendurungan naik Data, diduga, memiliki pola musiman

Example 2:Quarterly sales of saws for Acme tool company Oleh karena data Acme menunjukkan adanya pola trend, maka kita dapat menggunakan metode Holt’s untuk meramalkan. Kita gunakan nilai awal: 𝐿 1 = 𝑏 1 𝑏 1 =0 Kita gunakan  =0.3 dan =0.1.

Example:Quarterly sales of saws for Acme tool company

Example:Quarterly sales of saws for Acme tool company RMSE untuk metode ini dengan:  = 0.3 and = 0.1 RMSE = 155.5

NASDAQ Composite (^IXIC) Latihan t Date High 1 2/27/2017 5862 2 2/28/2017 5855 3 3/1/2017 5912 4 3/2/2017 5897 5 3/3/2017 5871 6 3/6/2017 5858 7 3/7/2017 5860 8 3/8/2017 5861 9 3/9/2017 5853 10 3/10/2017 5873 11 3/13/2017 5877 12 3/14/2017 13 3/15/2017 5911 14 3/16/2017 15 3/17/2017 5913 16 3/20/2017 5915 17 3/21/2017 5928 18 3/22/2017 5826 19 3/23/2017 5843 20 3/24/2017 5859 Harga Saham: NASDAQ Composite (^IXIC)

Winter’s Exponential Smoothing Metode Winter’s exponential smoothing atau disebut juga Holt-Winter Exponential Smoothing adalah perluasan kedua dari Exponential smoothing model. Metode ini digunakan pada data yang memiliki pola trend and musiman. Metode ini menggunakan tiga parameter. Terdapat tambahan satu persamaan yang digunakan untuk menyesuaikan komponen musimannya.

Winter’s Exponential Smoothing Pada dasarnya terdapat dua tipe metode Holt-Winter exponential: Additive Multiplicative Penentuan pemakaian model adalah berdasarkan pada plot data yang ingin diramalkan.

Winter’s Exponential Smoothing Persamaan yang digunakan untuk Metode Holt-Winter’s additive adalah: The exponentially smoothed series: The trend estimate: The seasonality estimate:

Winter’s Exponential Smoothing Untuk menentukan estimasi awal dari musiman, kita perlu menggunakan setidaknya satu musim data (yaitu sebanyak s periode). Oleh karenanya, kita memulai trend dan level pada periode ke-s. Nilai awal untuk level: Nilai awal untuk trend: Nilai awal untuk musiman:

Winter’s Exponential Smoothing Persamaan yang digunakan untuk Metode Winter’s multiplicative adalah: The exponentially smoothed series: The trend estimate: The seasonality estimate:

Winter’s Exponential Smoothing Nilai awal untuk Holt-Winter multiplicative hampir sama seperti Holt-Winter additive, yaitu untuk Ls dan bs. Sementara untuk si adalah sebagai berikut:

Winter’s Exponential Smoothing Peramalan untuk m periode ke depan: Holt-Winter additive Holt-Winter multiplicative Lt = level of series.  = smoothing constant for the data. yt = new observation or actual value in period t.  = smoothing constant for trend estimate. bt = trend estimate.  = smoothing constant for seasonality estimate. St =seasonal component estimate. m = Number of periods in the forecast lead period. s = length of seasonality (number of periods in the season) Ft+m = forecast for m periods into the future.

Winter’s Exponential Smoothing Bobot dari , , and  dapat dipilih secara subyektif, sedemikian sehingga meminimalkan MSE atau pun RMSE.

Winter’s Exponential Smoothing We will apply Winter’s method to Acme Tool company sales. The value for  is .4, the value for  is .1, and the value for  is .3. The smoothing constant  smoothes the data to eliminate randomness. The smoothing constant  smoothes the trend in the data set. The smoothing constant  smoothes the seasonality in the data. The initial values for the smoothed series Ls, the trend bs, and the seasonal index St must be set.

Example: Quarterly Sales of Saws for Acme tool

Example 2: Quarterly Sales of Saws for Acme tool RMSE untuk metode ini adalah  = 0.4, = 0.1,  = 0.3 and RMSE = 83.36 Perhatikan bahwa terdapat penurunan RMSE, dibandingkan dengan menggunakan metode Holt’s Exponential Smoothing.

Another Method Metode deterministik lain yang dapat digunakan untuk melakukan peramalan adalah: Double exponential smoothing Brown’s linier exponential smoothing (satu parameter: α) Digunakan pada data yang memiliki trend linier Brown’s quadratic exponential smoothing Digunakan pada data yang memiliki trend kuadratik

Optimasi parameter Trial and error Jika terdapat lebih dari satu parameter, maka lakukan trial and error untuk salah satu parameter terlebih dahulu (dengan menganggap parameter lain konstan). Lakukan langkah a) untuk parameter yang lain. Optimization method: lavenberg-marquardt, quasi newton, dll.

Referensi Makridakis, 2008, Forecasting: method and application 3rd Ed, Wiley. Hyndman, Rob J., etc., 2008, Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach, Spriger. Onder and Kuzu, 2014, “Forecasting air traffic volumes using smoothing techniques”, Journal of aeronautics and space technologies, volume 7 number 1 (65-85).