TEORI DUALITAS D0104 Riset Operasi I

Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya. Satu problem disebut sebagai ‘primal’ dan yang lainnya disebut ‘dual’. Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.

Definisi Dari Dual Problem Dual Problem Bila Dalam Bentuk Kanonik Pertimbangkan bentuk kanonik dari LP : Maksimasi : Pembatas : i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n

Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai ‘Primal’, hubungan dalam dualnya adalah sebagai berikut : Minimasi : Pembatas : i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n y1, y2, … , ym : merupakan variabel dual

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Primal Problem Pembatas i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Maksimasi Dual Problem Pembatas j = 1, 2, … , n yi tidak dibatasi tanda untuk semua i

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Primal Problem Pembatas i = 1, 2, … , m xi tidak dibatasi tanda untuk semua i Maksimasi Dual Problem Pembatas j = 1, 2, … , n i = 1, 2, … , m

Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya Langkahnya sebagai berikut : Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya. Satu problem mempunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi. Problem maksimasi mempunyai pembatas (  ) dan minimasi mempunyai pembatas (  ). Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.

Contoh : Maksimasi : X0 = 5 X1 + 6 X2 Pembatas : X1 + 9 X2  60  y1 Primal Problem Minimasi : y0 = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4 Pembatas : y1 + 2 y2 + 5y3  60 9y1 + 3 y2 – 2y3 + y4  45 y1 ,y2 ,y3 ,y4  0 Dual Problem

Perubahan Dari Primal ke Dual fmax ≤ fmin ≥ fmax ≤ Pembatas ke i = Variabel ke i tanda tak terbatas Variabel ke j tanda tak terbatas Pembatas ke j =

Penyelesaian Dual Simplex Maksimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : 3 X1 + X2  3 4 X1 + 3 X2  6 X1 +2 X2  3 X1, X2  0 Minimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : -3 X1 - X2  3 - 4 X1 - 3 X2  6 X1 +2 X2  3 X1, X2  0 Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda , kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :

Penyelesaian Dual Simplex Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : ‘Leaving Variabel’ adalah variabel basis yang mempunyai nilai RHS paling negatif. Kondisi Optimalitas : ‘Entering Variabel’ dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien pembatas yang terpilih sebagai ‘leaving var’. ‘Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.

Penyelesaian Dual Simplex Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk Persamaan Minimasi : X0 = 2 X1 + X2 Pembatas : -3 X1 - X2 + S1 = - 3 - 4 X1 - 3 X2 + S2 = - 6 X1 +2 X2 + S3 = 3 X1, X2  0

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 2 1 0 0 0 bj S1 S2 S3 -3 -6 3 -3 -1 1 0 0 -4 -3 0 1 0 1 2 0 0 0 Leaving Variabel -2 -1 0 0 0 Menentukan Rasio

Untuk Mendapatkan Entering Variabel Dengan Memilih Nilai Rasio Variabel X1 X2 S1 S2 S3 X0 – equation -2 -1 0 0 0 S2 – equation -4 -3 0 1 0 (leaving var) Rasio 1/2 1/3 X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai terkecil (minimasi problem) Kembali

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 2 1 0 0 0 bj S1 X2 S3 1 -1 2 -5/3 0 1 -1/3 0 4/3 1 0 -1/3 0 -5/3 0 0 2/3 1 Leaving Variabel 2 -2/3 0 0 -1/3 0 Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel.

Penyelesaian Dual Simplex Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 S1 S2 S3 -2 -1 0 0 0 bj X1 X2 S3 2 1 3/5 6/5 1 0 -3/5 1/5 0 0 1 4/5 -3/5 0 0 0 -1 1 1 12/5 0 0 -2/5 -1/5 0 Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah : Maks X0 = Min X0 = 12/5, X2 = 3/5, X2 = 6/5

Peran Teori Dualitas Pada Analisa Sensitivitas Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model. Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya. Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problen dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.