Permutasi Kombinasi

Pengaturan dengan urutan Sering kali kita perlu menghitung banyaknya cara pengaturan obyek tertentu dengan memperhatikan urutan maupun tanpa memperhatikan urutan. Permutasi dari suatu himpunan obyek adalah pengaturan yg memperhatikan urutan dari obyek tsb. Permutasi-r : pengaturan r buah elemen dari suatu himpunan secara terurut. Contoh 1. Misal S = {1,2,3}. Maka 3,1,2 adalah suatu permutasi dan 1,3 adalah suatu permutasi-2 dari S.

P(n,r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1). Permutasi P(n,r) = Banyaknya permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen. Teorema 1. P(n,r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1) Bukti Ada n cara untuk memilih elemen pertama dari permutasi. Untuk memilih elemen kedua ada (n-1) cara, karena tinggal n-1 elemen dalam himpunan yang dapat digunakan sebagai elemen kedua. Dengan cara yg sama, ada (n-2) cara untuk memilih elemen ketiga. Ada tepat (n-r+1) cara utk memilih elemen ke-r. Menurut aturan perkalian, P(n,r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1).

Contoh Ada berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEFGH yang memuat string ABG ? Solusi Karena ABG harus terjadi dalam satu blok maka masalahnya menjadi mencari banyaknya permutasi dari 6 objek, yaitu blok ABG dan huruf C,D,E,F,H. Karena keenam objek tsb dapat terjadi dengan sebarang urutan, maka ada 6! = 720 permutasi dari ABCDEFGH yang memuat ABG. yang memuat string ABG dan EH?

Kombinasi Kombinasi-r dari suatu himpunan adalah pengaturan r buah elemen tanpa memperhatikan urutan dari himpunan tersebut. Contoh 3 Misal S = {1,4,5,6}. Maka, 1,5,6 suatu kombinasi-3 dari S. Sedangkan 4,5 adalah suatu kombinasi-2 dari S. Ada 4 macam kombinasi-2 dari S. C(n,r) : banyaknya kombinasi-r dari himpunan n elemen.

C(n,r) = n!/(n-r)!r!, bila 0 ≤ r ≤ n. Kombinasi (2) Teorema 2 C(n,r) = n!/(n-r)!r!, bila 0 ≤ r ≤ n. Bukti Permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen dapat diperoleh dengan cara membentuk kombinasi-r dan kemudian mengurutkan elemen pada setiap kombinasi-r tsb (dapat dilakukan dalam P(r,r) cara). Jadi, P(n,r) = C(n,r).P(r,r) Ini berarti bahwa C(n,r) = P(n,r)/P(r,r). Akibat 1. C(n,r) = C(n,n-r).

Contoh 4 Ada berapa banyak string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1? Solusi Bila kita memperhatikan semua kemungkinan posisi r angka 1 dalam string, maka mereka akan membentuk suatu kombinasi-r dari {1,2,3, …,n}. Jadi terdapat C(n,r) string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1.

Soal 1 Carilah banyaknya lintasan terpendek dari A ke B. Ada berapa cara untuk 8 pria dan 5 wanita berdiri dalam suatu barisan sehingga tidak ada 2 wanita yang berdiri bersebelahan?