DISTRIBUSI PROBABILITAS

PENGERTIAN Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut dengan distribusi. Distribusi probabilitas untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terditribusi untuk setiap nilai variabel acak. Distribusi Probabilitas merupakan sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event)

Contoh Ada 3 orang nasabah yang akan menabung di bank. Jumlah bank yang ada yaitu; BCA dan BNI. Ketiga orang itu bebas memilih bank tempatnya akan menabung, mau BCA semua, di BCA dan BNI atau BNI semua. Berikut adalah kemungkinan dari pilihan ketiga orang tersebut.

Contoh

Contoh Hasil yang diperoleh disusun distribusi probabilitas sebagai berikut.

Contoh Hasil distribusi probabilitas P(r) akan memudahkan kita untuk mengetahui probabilitas dari kejadian yang bersifat acak atau untung-untungan. Bila ada 3 calon nasabah, berapa probabilitas ketiganya akan memilih BNI? Dengan distribusi probabilitas dengan cepat bisa dijawab 0,125. Pada distribusi probabilitas juga bisa dilihat bahwa nilai total distribusi frekwensi adalah 1,000.

Jenis Variabel Peristiwa Distribusi propabilitas  Variabel peristiwa Terdapat tiga jenis variabel peristiwa: 1. Variabel Acak (Random) 2. Variabel Acak Diskret 3. Variabel Acak Kontinu

VARIABEL ACAK (RANDOM) Variabel acak merupakan hasil ukuran dari percobaan yang bersifat acak. Contoh: 1. Melempar uang ke udara akan menghasilkan Gambar (G) atau Angka (A). Bila melempar uang dua kali, gambar bisa muncul 2 kali, 1 kali atau 0 (tidak muncul) Percobaan melempar uang ke udara = percobaan acak Nilai hasil yang muncul gambar seperti 2, 1, dan 0 = variabel acak

VARIABEL ACAK (RANDOM) 2. Harga saham di BEJ dapat berubah-ubah dalam hitungan menit. Harga saham BCA misalnya dibuka pada Rp. 2.475 per lembar, kemudian terjadi fluktuasi antara Rp. 2.350– Rp. 2.475 dan akhirnya ditutup pada harga Rp. 2.375. Perubahan harga saham adalah percobaan atau kejadian acak Nilai harga seperti 2.475, 2.375, 2.350 nilai hasil kejadian = variabel acak

VARIABEL ACAK DISKRET Variabel Acak Diskret merupakan ukuran hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval Merupakan hasil dari perhitungan dan biasanya berupa bilangan bulat Misalnya: jumlah mobil, jumlah buah, jumlah sepatu, dsb.

VARIABEL ACAK KONTINU Variabel Acak Kontinu  mempunyai nilai yang menempati seluruh interval hasil percobaan Merupakan hasil dari pengukuran dan bisa berupa bilangan bulat atau pecahan Misalnya: berat badan, tinggi badan, panjang jalan, lebar sungai, dsb.

KLASIFIKASI Distribusi probabilitas diskrit  Distribusi binomial, Poisson Distribusi probabilias kontinu  Distribusi normal, Chi-kuadrat

DISTRIBUSI BINOMIAL Disamping percobaan tunggal, suatu percobaan mungkin dilakukan secara berulangkali (berulang-ulang). Tiap-tiap ulangan dalam percobaan dilakukan secara terpisah, yakni peristiwa dalam suatu percobaan tidak akan mempengaruhi hasil percobaan berikutnya. Apabila masing-masing percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan peristiwa, misalnya sukses dan gagal, ya atau tidak, diterima atau ditolak dan probabilitas peristiwa tetap sama selama percobaan. Karena hanya dua kejadian, maka dikenal dengan Binomial Percobaan yang diulang tersebut disebut “Percobaan Bernoulli”.

DISTRIBUSI BINOMIAL Ciri-ciri Percobaan Bernoulli: 1. Setiap percobaan (kegiatan) hanya menghasilkan 2 dua kejadian

DISTRIBUSI BINOMIAL 2. Probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama Probabilitas jual saham = 0,8 Probabilias beli saham = 0,2 Probabilitas lahir laki-laki = 0,6 Probabilitas lahir perempuan = 0,4

DISTRIBUSI BINOMIAL 3. Percobaan bersifat indenpenden Hasil suatu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya Bila seorang ibu melahirkan bayi perempuan, maka tidak akan mempengaruhi kelahiran bayi bagi ibu lainnya 4. Data yang dikumpulkan merupakan hasil perhitungan Percobaan Bernoulli merupakan variabel diskret

DISTRIBUSI BINOMIAL Pembentukan Distribusi Binomial Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal: 1. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan 2. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal

DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

DISTRIBUSI BINOMIAL Dimana: P(r) = Nilai probabilitas binomial p = Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan r = Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n = Jumlah total percobaan q = Probabilitas gagal suatu kjadian yang diperoleh dari q = 1 – p ! = Lambang faktorial

DISTRIBUSI BINOMIAL CONTOH ALI mengirim buah semangka ke Hero supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang dikirim lolos seleksi. ALI setiap hari mengirim 15 buah semangka dengan berat 5-6 Kg. a. Berapa probabilitas 15 buah diterima? b. Berapa probabilitas 13 buah diterima? c. Berapa probabilitas 10 buah diterima?

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL Rumus untuk menghitung Mean (rata-rata hitung) dari distribusi Binomial, adalah: μ = n.p Rumus untuk menghitung Varians dari distribusi Binomial, adalah: σ2 = n.p (1-p) atau σ2 = n.p.q Rumus untuk menghitung Simpangan Baku dari distribusi Binomial, adalah:

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh: Bila mata uang dilemparkan sebanyak 100 kali, terdapat distribusi keluar gambar sbb :

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL Bila xi = 0 berarti selama 100 kali pelemparan 5 mata uang tidak pernah keluar gambar sebanyak 2 kali. xi = 1 berarti selama 100 kali pelemparan 1 gambar keluar sebanyak 14 kali. Dst.

DISTRIBUSI BINOMIAL q = 1 - p = 1 - 0,57 = 0,43 μ = np μ = 5p

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI POISSON Distribusi ini berguna bila p, probabilitas sukses dalam suatu percobaan sangat kecil dan n, banyaknya percobaan sangat besar. Distribusi probabilitas Poisson mendekati distribusi probabilitas binomial bila: n ≥ 50 dan p ≤ 0,1. Sebagai contoh emiten di BEJ ada 330 (n), probabilitas harga saham naik dalam kondisi krisis misalnya hanya 0,1 (p), maka berapa probabilitas 5 perusahaan harga sahamnya meningkat?

DISTRIBUSI POISSON

DISTRIBUSI POISSON Distribusi probabilitas poisson dapat dinyatakan sebagai berikut:

DISTRIBUSI POISSON Di mana: P(r) : Nilai probabilitas distribusi Poisson μ : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, μ = np e : Bilangan konstan = 2,7183 r : Jumlah nilai sukses

DISTRIBUSI POISSON Contoh: Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan membagikan deviden hanya 0,1. Bila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan, berapa probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan yang membagikan deviden?

DISTRIBUSI POISSON

DISTRIBUSI NORMAL Pendahuluan Ada 3 Jenis Kemiringan, yaitu: 1. Distribusi miring ke kiri  Pada distribusi ini, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median dan median lebih kecil dari modus.  Kurva tidak simetris sebab puncaknya ada di bagian kanan, tetapi ada sedikit data yang menyebar ke kiri.  Rata-rata Hitung < Median < Modus

Kurva Distribusi Miring Ke Kiri

DISTRIBUSI NORMAL Pendahuluan 2. Distribusi miring ke kanan  Pada distribusi ini, nilai modus lebih kecil dari median dan median lebih kecil dari nilai rata-rata hitung.  Kurva juga tidak simetris sebab puncaknya ada dibagian kiri, sementara ada sedikit data yang menyebar ke kanan.  Rata-rata Hitung > Median > Modus

Kurva Distribusi Miring Ke Kanan

DISTRIBUSI NORMAL Pendahuluan 3. Distribusi simetri  Pada distribusi ini nilai rata-rata sama atau mendekati median dan modus.  Kurvanya simetris dengan puncak distribusi ada dibagian tengah.  Distribusi ini disebut dengan distribusi normal.  Rata-rata Hitung = Median = Modus

Kurva Distribusi Simetri

DISTRIBUSI NORMAL Pengertian Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. Distribusi ini sering disebut DISTRIBUSI GAUSS, sesuai dengan nama pengembangnya KARL GAUSS, pada abad 18 seorang ahli matematika dan astronomi.

DISTRIBUSI NORMAL Pengertian Apabila suatu percobaan menggunakan variabel acak secara kontinu dan nilai yang tidak terbatas  distribusi normal Sekumpulan nilai data akan terdistribusi secara normal (membentuk kurva yang simetris) apabila rata-rata nilai variabel sama dengan median dan sama dengan modus nilai data tersebut

DISTRIBUSI NORMAL Ada dua alasan mengapa distribusi normal sering digunakan dalam analisa statistik, yaitu: 1. Distribusi normal memiliki kemampuan yang dapat diterapkan pada banyak situasi, terutama untuk membuat kesimpulan dari sampel yang digunakan. 2. Distribusi normal sangat baik digunakan dalam analisis tentang fenomena yang menggunakan data kontinu, seperti: ukuran berat, tinggi rendahnya skor IQ, panjang, jumlah curah hujan, banyaknya botol dalam satu kerat dsb.

DISTRIBUSI NORMAL Sifat-sifat Distribusi Normal 1. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. 2. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ). 3. Grafik simetri terhadap garis tegak x = 

DISTRIBUSI NORMAL Sifat-sifat Distribusi Normal 4. Grafik selalu berada diatas sumbu X atau f(x)>0 5. Mempunyai satu nilai modus 6. Grafiknya mendekati sumbu X, tetapi tidak akan memotong sumbu X, sumbu X merupakan garis batas (asimtot) 7. Luas daerah di bawah kurva f (x) dan diatas sumbu X sama dengan 1, yaitu: P (- ∞ < x < + ∞) = 1

DISTRIBUSI NORMAL Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka: Jarak  1  menampung 68% data Jarak  2  menampung 95% data Jarak  3  menampung 99% data

DISTRIBUSI NORMAL Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

DISTRIBUSI NORMAL Rumus Distribusi Normal: Dimana : Χ = nilai data Π = 3,14 σ = simpangan baku/SD μ = rata-rata x e = 2,71828

DISTRIBUSI NORMAL Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal standard digunakan nilai z (standard units). Bentuk rumusnya adalah : Dimana : Z = variabel normal standard X = nilai variabel random μ = rata-rata variabel random  = simpangan baku variabel random

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap μ = 0 maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5 dan diartikan P( z > 0) = 0,5.

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Contoh: 1. Gunakan tabel untuk menghitung luas dari nilai: P(-1,75 < z < 0)

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD 2. Gunakan tabel untuk menghitung luas dari nilai: P(1,32 < z < 2,12)

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Pembahasan: P(0 < z < 2,12) = 0,4830 P(0 < z < 1,32) = 0,4066 – Jadi P(1,32 < z < 2,12) = 0,0764

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD 3. Gunakan tabel untuk menghitung luas dari nilai: P(-0,45 < z < 0,65)

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Pembahasan: P(0 < z < -0,45) = 0,1736 P(0 < z < 0,65) = 0,2422 + Jadi P(-0,45 < z < 0,65) = 0,4158

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Untuk menentukan luas daerah kurva normal (yang bukan baku) dilakukan transformasi dengan menggunakan nilai Z. Rumus untuk mencari Z:

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Contoh: Hitunglah P(90<Z <115) untuk μ=105 dan  = 10

DISTRIBUSI NORMAL PENGGUNAAN KURVA NORMAL STANDARD Pembahasan: = -1,5  L = 0,4332 = 1  L = 0,3413 + L = 0,7745

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Bila n-percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independen dari satu percobaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal binomial dapat digunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Jadi bila kita memiliki sebanyak n-percobaan dengan probabilitas tiap-tiap percobaan yang sukses sebanyak p, maka kita dapat menghitung besarnya nilai mean (µ), variance (2) dan standard deviasi () sebagai berikut: µ = n . p ² = n . p (1 - p) atau ² = n . p . q  atau

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Jadi dengan pendekatan distribusi normal-binomial dapat ditulis sebagai berikut: atau Oleh karena distribusi binomial mempunyai variabel diskrit, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinu, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan binomial perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut: “Untuk harga variabel x batas bawah dikurangi 0,5 dan harga variabel x batas atas ditambah 0,5”

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh: Sebuah mesin pencetak menghasilkan barang cetakan yang rusak sebanyak 10%. Dari sampel sebanyak 400 barang cetakan dari proses produksi yang sedang berjalan, maka probabilitas untuk : a. Yang rusak 50 b. Yang rusak antara 30 dan 50 c. Yang rusak paling banyak 30 d. 55 atau lebih akan rusak

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Pembahasan: Berdasarkan data tersebut, dapat diketahui:  n = 400  p = 0,1 μ = n . P = 400 (0,1) = 40

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL a. Yang rusak 50

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL = 1,75  L = 0,4599 = 1,58  L = 0,4429 – L = 0,1170 Jadi luas antara 49,5–50,5 = 0,1170

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL b. Yang rusak antara 30 dan 50

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL = 1,75  L = 0,4599 = 1,75  L = 0,4599 + L = 0,9198 Jadi luas daerah yang diarsir = 0,9198

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL c. Yang rusak paling banyak 30

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL = 1,58  L = 0,4429 Jadi luas daerah yang diarsir = 0,5 – 0,4429 = 0,0571

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL d. 55 atau lebih akan rusak

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Jadi luas daerah yang diarsir = 0,5 – 0,4922 = 0,0078

SAMPLING Pengertian POPULASI DAN SAMPEL  Populasi (N) adalah totalitas dari semua obyek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu yang akan diteliti  Sampel (n) adalah bagian populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu yang dianggap bisa mewakili populasi. METODE SAMPLING Adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

SAMPLING Pengertian ALASAN DIPILIHNYA SAMPLING: 1. Obyek penelitian yang homogen 2. Obyek penelitian yang mudah rusak 3. Penghematan biaya dan waktu 4. Masalah ketelitian 5. Ukuran populasi 6. Faktor ekonomis

SAMPLING Teknik Penelitian Jumlah Sampel 1. Pengumpulan sampel dengan pengembalian Jika anggota yang telah diambil untuk dijadikan sampel disatukan kembali dengan anggota populasi lainnya sehingga masih ada kesempatan untuk dipilih kembali. Rumus : KS = Nn Contoh: Untuk populasi berukuran 4 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D dan sampel yang diambil berukuran 2, maka sampel untuk 42 = 16 buah.

SAMPLING Teknik Penelitian Jumlah Sampel Sampel 1 : AA Sampel 2 : AB Sampel 3 : AC Sampel 4 : DB Sampel 5 : DC Sampel 6 : DD dst.

SAMPLING Teknik Penelitian Jumlah Sampel 2. Pengambilan sampel tanda pengembalian Jika anggota populasi yang telah diambil untuk dijadikan sampel tidak disatukan dengan anggota populasi lainnya. Rumus kombinasi sampelnya adalah:

SAMPLING Teknik Penelitian Jumlah Sampel Contoh: Untuk populasi berukuran 5 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, E dan sampel yang diambil berukuran 2, maka kombinasi sampelnya adalah:

DISTRIBUSI SAMPLING Teknik Penelitian Jumlah Sampel Sampel 1 : AB Sampel 2 : AC Sampel 3 : AD Sampel 4 : AE Sampel 5 : BC Sampel 6 : BD Sampel 7 : BE Sampel 8 : CD Sampel 9 : CE Sampel 10 : DE

DISTRIBUSI SAMPLING Distribusi sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistik, seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi yang mungkin muncul dari sampel.

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis 1. Distribusi sampel rata-rata Adalah distribusi dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel. Contoh: Sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya 2, 3, 5, 6, 8, 9 dan sampelnya berukuran 2 tanpa pengembalian, maka distribusi sampel rata-ratanya adalah:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Pembahasan:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Sampel 1 : 2,3 Rata-ratanya Sampel 2 : 2,5 Rata-ratanya  Sampel 10 : 8,9 Rata-ratanya

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Jika dimasukkan dalam tabel akan terlihat berikut:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Pada distribusi sampel rata-rata berlaku hal-hal berikut ini: a. Pemilihan sampel dari populasi terbatas 1. Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian  Distribusi sampel rata-rata akan sama dengan rata-rata populasinya:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis  Standart error:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis 2. Untuk pengembalian sampel dengan pengembalian  Distribusi sampel rata-rata akan sama dengan rata-rata populasinya:  Standard-errornya:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis 2. Distribusi sampling proporsi Proporsi dari populasi dinyatakan dengan: Proporsi dari sampel dinyatakan dengan :

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Distribusi sampling proporsi: Adalah distribusi dari proporsi (persentase) yang diperoleh dari semua sampel sama besar yang mungkin dari satu populasi.  Contoh: Sebuah contoh yang beranggotakan 6 orang, 3 diantaranya perokok dan yang lain bukan, misalnya anggota populasi untuk perokok A, B, C dan yang bukan K, L, M, maka banyaknya sampel yang dapat diambil adalah (without replacement).

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Pembahasan:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Kombinasinya yaitu:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis Distribusi sampling proporsinya (x = perokok, n = 3) adalah:

DISTRIBUSI SAMPLING Jenis P = perokok BP = bukan perokok  3(P), 0(BP)  P = A B C = f  1  2(P), 1 (BP)  = f  9  1(P), 2(BP)  AKL, ALM, dst. f  9  0(P), 3(BP)  KLM  f  1