TOPIK 1 LOGIKA

PERNYATAAN PENGHUBUNG PERNYATAAN PERTEMUAN 1 PERNYATAAN PENGHUBUNG PERNYATAAN

PERNYATAAN Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar/salah) Contoh: UKSW berada di Salatiga. (pernyataan benar) 5+3=9. (pernyataan salah) 100+1=101. (pernyataan, benar/salah tergantung konteks biner/desimal) Meja itu besar. (bukan pernyataan) Apa hobimu? (bukan pernyataan)

PENGHUBUNG PERNYATAAN (1) Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung. Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk (compound statement). Jadi pernyataan primer atau atomik adalah pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai penghubung. Dalam pembahasan ini suatu pernyataan akan diberi nama dengan huruf kapital.

PENGHUBUNG PERNYATAAN (2) Negasi (NOT atau Inversi) Konjungsi (AND) Disjungsi (OR) Kondisi (Conditional)/Implikasi Kondisi Ganda (Biconditional)/Biimplikasi

NEGASI (1) Notasi: ¬ atau ~ atau ¯ atau ’ Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan ~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Contoh: P : Hari ini hujan. Q : Hari ini panas. Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalah ~P: Hari ini tidak hujan. ~Q: Hari ini tidak panas.

NEGASI (2) Tabel Kebenaran Rangkaian Logika

DISJUNGSI (1) Notasi:  atau + atau  Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P  Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam rumah ini.

DISJUNGSI (2) Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi ke lapangan pertandingan. “atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q). Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya. “atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau P dan Q). “atau” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu. “atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang dalam kejadian itu.

DISJUNGSI (3) Sifat simetri: P  Q = Q  P. Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. Tabel Kebenaran:

DISJUNGSI (4) Rangkaian Logika:

KONJUNGSI (1) Notasi: , . , , atau  Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P  Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam rumah ini.

KONJUNGSI (2) Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam. “dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. PQ = QP Inem membuka pintu dan berjalan masuk. “dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk” terjadi setelah “Inem membuka pintu”  tidak dapat diterjemahkan dengan . Prinsip simetri tidak berlaku. PQ  QP Inem dan Ponim bersaudara. “dan” bukan penghubung, karena hanya satu kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap. “Inem bersaudara”. Kalimat menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan siapa?.

KONJUNGSI (3) Sifat simetri: P  Q = Q  P. Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. Tabel Kebenaran:

KONJUNGSI (4) Rangkaian Logika:

IMPLIKASI (1) Notasi:  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka implikasi pernyataan P  Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut antecedent dan Q adalah consequent. Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa PQ tidak sama dengan QP.

IMPLIKASI (2) Contoh: P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4. PQ : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4. P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah. PQ : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah. Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.” J: William mengambil Kalkulus. K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris. Hasilnya adalah: (J  K)  L

IMPLIKASI (3) P  Q  (ekuivalen dengan) ~P  Q. Buktikan dengan tabel kebenaran! ~(P  Q)  ~(~P  Q)  P  ~Q. Tabel Kebenaran:

IMPLIKASI (4) Dari suatu implikasi, bisa dibentuk implikasi yang lain, yaitu: Konvers (Q  P) Invers (~P  ~Q) Kontraposisi (~Q  ~P) P  Q  ~Q  ~P Buktikan dengan tabel kebenaran!

Jika saya tidak masuk, maka kalian senang. Kn: Jika kalian senang, maka saya tidak masuk. In: Jika saya masuk, maka kalian tidak senang. Kt: Jika kalian tidak senang, maka saya masuk. Ng: Saya tidak masuk dan kalian tidak senang.

BIIMPLIKASI (1) Notasi:  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka biimplikasi pernyataan P  Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. PQ mempunyai sifat simetri yaitu: PQ = QP.

BIIMPLIKASI (2) Contoh: P  Q  (PQ)  (QP) Tabel Kebenaran: P=Q jika dan hanya jika PQ dan QP. P  Q  (PQ)  (QP) Tabel Kebenaran:

TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI Tautologi adalah pernyataan yang nilainya selalu benar. Contoh: P  ~P (buktikan!) Kontradiksi adalah pernyataan yang nilainya selalu salah. Contoh: P  ~P (buktikan!)

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (1) Jika A merupakan suatu bujursangkar atau trapesium, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang. Kn: In: Kt: Ng:

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI (2) Jika n adalah bilangan prima > 2 dan n bulat, maka n adalah bilangan ganjil. Kn: In: Kt: Ng:

EKUIVALENSI SUATU FORMULA PERTEMUAN 2 EKUIVALENSI SUATU FORMULA

Ekuivalensi dari Suatu Formula (1) Misalkan A dan B adalah 2 pernyataan dan P1, P2, …, Pn adalah variabel dalam A dan B. Jika seluruh nilai kebenaran dari A sama dengan nilai kebenaran B untuk setiap kombinasi nilai-nilai kebenaran yang diberikan pada P1, P2, …, Pn, maka A dan B adalah ekuivalen.

Menentukan ke-ekuivalensi-an suatu formula: Menurunkan ruas kiri sehingga didapat ruas kanan Menurunkan ruas kanan sehingga didapat ruas kiri Menurunkan ruas kiri dan kanan sehingga didapat formula yang sama

Ekuivalensi dari Suatu Formula (2) Contoh:  (P)  P P  P  P (P  P)  Q  Q

Rumus Ekuivalensi Tambahan P  Q ≡ ~P  Q ≡ ~Q  ~P ~(P  Q) ≡ P  ~Q P  (QR) ≡ (P  Q) R ~(P  Q) ≡ P  ~Q P  Q ≡ (PQ)  (QP) (P  Q) ≡ (P  Q)  (~P  ~Q) Q  P ≡ ~P  ~Q P  ~Q ≡ Q  ~P Q  ~P ≡ P  ~Q

Contoh Soal Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat berikut dengan tabel kebenaran dan dengan rumus ekuivalensi: ~ (p  ~q )  (~p  ~q ) ≡ ~p ~ ((~ p  q )  (~p  ~q ))  (p  q) ≡ p (p  (~ (~p  q)))  (p  q) ≡ p P  (Q  R) ≡ P (~Q  R) ≡ (PQ)  R (~P  (~Q  R))  (Q  R)  (P  R) ≡ R

Apakah pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen Apakah pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen? (bukti dengan rumus ekuivalensi) ((P  Q)  ~(~P  (~Q  ~R)))  (~P  ~Q)  (~P  ~R) ≡ T ((~P  Q)  (P  ~R))  (~P  ~Q) ≡ ~(P  R) 3. (R  P)  ((~R  (P  Q))  (R  Q)) ≡ P  Q 4. (P  Q)  (~P  (~P  Q)) ≡ ~P  Q 5. ~(P  Q)  (~P  (~P  Q)) ≡ ~P  Q

PEMBUKTIAN MATEMATIKA PERTEMUAN 3 KALKULUS PREDIKAT/ KALIMAT BERKUANTOR PENARIKAN KESIMPULAN PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Pendahuluan Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya. Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya.

Predikat (1) Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. Contoh: “… terbang ke bulan” “… lebih tebal dari kamus” yang merupakan kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat. Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.

Predikat (2) Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subyek disebut predikat. Jadi, misalkan p : “terbang ke bulan” dan q : “lebih tebal dari kamus”, maka baik p maupun q adalah predikat. Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan p(x) dan q(y). Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

Predikat (3) Misalkan : p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusikan dengan 35, maka p(x) menjadi kalimat benar karena : 35 habis dibagi 5. Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat. Kuantor adalah kata-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.

Kuantor 2 macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek yang terlibat yaitu Kuantor Universal (simbol ) Kuantor Eksistensial (simbol ).

Kuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: semua atau setiap Misalnya: p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan : (x) x  manusia, x  p(x). Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: ( x) p(x).

Kuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di antara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikit satu Contoh: ( x  D) q(x), disingkat (x) q(x) bernilai T jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai salah jika untuk semua x  D, q(x) bernilai salah.

Contoh Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa kalimat ( m  D) m2=m bernilai benar. Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10. Buktikan bahwa kalimat ( m  E) m2=m bernilai salah.

Contoh Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan real x) x2  0 ( bilangan real s) x2 ≠ -1 ( bilangan bulat m) m2 = m

Contoh Tentukan kebenaran kalimat berikut, jika semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat (x) x2 – 2  0 (x) x2 – 10x + 21 = 0 (x) x2 – 10x + 21 = 0 (x) x2 – 3 = 0

Contoh Terjemahkan kalimat berikut dengan menggunakan kuantor universal/eksistensial Beberapa orang rajin beribadah. Semua bayi mempunyai wajah yang berbeda. Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar real. Ada bilangan yang tidak real. Tidak semua mobil mempunyai karburator.

Ingkaran Kalimat Berkuantor Secara umum: Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah : “Ada x yang tidak bersifat p(x)”, Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” adalah : “Semua x tidak bersifat q(x)”. Secara formal:  ((x  D) p(x))  (x  D)  p(x)  ((x  D) q(x))  (x  D)  q(x)

Contoh Tuliskan ingkaran kalimat berikut Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9. Semua dinosaurus telah musnah. Tidak ada ahli komputer yang malas. Beberapa bilangan real adalah rasional. Semua program Pascal mempunyai panjang lebih dari 10 baris.

Contoh Tuliskan simbolnya, kemudian tulis ingkarannya (S: himpunan bilangan bulat) Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2+x juga genap. Terdapatlah x sedemikian hingga x bilangan genap dan x bilangan prima. Untuk setiap x, x2+3>5 atau x<2. Terdapatlah x yang memenuhi relasi x2=25 dan x>0. Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan prima dan (x+6) bilangan prima.

Kalimat Berkuantor Ganda Kalimat berkuantor dapat diperluas dengan menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang sama.  menjadi kalimat berkuantor ganda

Kalimat Berkuantor Ganda Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor  dan  dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah: (x) (y) – (x) (y) (y) (x) – (y) (x) (x) (y) – (x) (y) (y) (x) – (y) (x) Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor dapat dibalik, tetapi jika tiidak, penulisan belum tentu dapat dibalik.

Contoh Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x” Nyatakan arti simbol logika berikut dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya (x) (y) p(x,y) (y) (x) p(x,y)

Contoh Apa ingkaran kalimat berikut ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n=2k Atau: Semua bilangan bulat adalah bilangan genap. ( masalah P) ( program komputer C) C tidak dapat menyelesaikan P Atau: Ada suatu masalah yang tidak dapat diselesaikan oleh semua program komputer.

Aplikasi Logmat dalam Bahasa Pemrograman Perhatikan tumpukan kotak berikut:

Contoh Nyatakan kalimat berikut dengan kuantor Ada bintang film yang disukai semua orang. Untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif lain yang lebih kecil darinya. Terdapat bilangan positif x sedemikian hingga untuk semua bilangan positif x, berlakulah y<x.

PENARIKAN KESIMPULAN Modus Ponens Modus Tollens Penambahan Disjungtif Penyederhanaan Konjungtif Silogisme Disjungtif

Modus Ponens Diasumsikan pq benar. Jika diketahui p benar, supaya pq benar, maka q harus benar. p  q p --------- q Contoh: Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10. Digit terakhir suatu bilangan adalah 0. Disimpulkan: Bilangan tersebut habis dibagi 10.

Modus Tollens Hampir sama dengan modus ponens. Hanya saja pada modus tollens, digunakan kontraposisi dari implikasi. Diasumsikan p  q benar. Jika diketahui ~q benar, supaya p  q benar, maka ~p harus benar. p  q ~q --------- ~p Contoh: Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu. Saya tidak melihat fotomu. Disimpulkan: Saya tidak kangen.

Penambahan Disjungtif Didasarkan pada fakta bahwa jika suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung , maka kalimat tersebut akan bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar. p q --------- atau --------- p  q p  q Contoh: Saya suka jeruk. Disimpulkan: Saya suka jeruk atau durian.

Penyederhanaan Konjungtif Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan penghubung , maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus. p  q p  q --------- atau --------- p q Contoh: Saya menguasai Matematika dan Komputer. Disimpulkan: Saya menguasai Matematika.

Silogisme Disjungtif Jika kita dihadapkan pada dua pilihan (A atau B), sedangkan kita tidak memilih A, maka kita akan memlih B. p  q p  q ~p ~q --------- atau --------- q p Contoh: Dompetku ada di sakuku atau tertinggal di rumah. Dompetku tidak ada di sakuku. Disimpulkan: Dompetku tertinggal di rumah.

Silogisme Hipotesis PQ QR Kesimpulan: PR Contoh: Jika saya tidak masuk, maka kalian senang. Jika kalian senang, maka pulang ke kos. Kesimpulan: Jika saya tidak masuk, maka kalian pulang ke kos.

Contoh (1) Jika saya belajar dan jika saya jenius, maka saya akan lulus ujian Matematika. Saya tidak diizinkan mengambil mata kuliah Matematika Diskrit. Jika saya lulus ujian Matematika, maka saya diizinkan mengambil mata kuliah Matematika Diskrit. Saya belajar. Dari keempat implikasi tersebut, kesimpulannya?

Contoh (2) Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi. Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.

PEMBUKTIAN MATEMATIKA Kontraposisi Kontradiksi Induksi Matematika dll.

Induksi Matematika Induksi matematika merupakan salah satu teknik pembuktian matematis dengan membuktikan teorema-teorema di mana pernyataan-pernyataannya melibatkan bilangan-bilangan bulat positif. Langkah: Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = n0. Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = k + 1, dengan mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k, dengan k  n0.

Contoh Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n = , untuk n  1 !