Matematika diskrit Kuliah 1 Oleh : Didin Rosyadi, S.Kom TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH GRESIK 2009

Pengertian Matematika Diskrit Mate Diskrit  ilmu mate yg mempelajari elemen yang terpisah EX : Kunci  bisa dipisah-pisah Integer  1,2,3,4,5  bisa dipisah-pisah EX yg bukan diskrit (kontinyu) : Air  tidak bisa dipisah-pisah Real  1,111 1,1112 1,1113

Kegunaan dan Contoh Mate Diskrit Matematika Diskrit digunakan : Ketika objek dapat dihitung Proses memerlukan analisa step by step Membangun argumen matematika Pintu gerbang untuk mempelajari ilmu yang lebih tinggi, ex: DB, Automata, Compiler, OS Contoh MD : Ada berapa cara untuk memilih password pada komputer ? Berapa probabilitas untuk memenangkan undian ? Rute terpendek antara 2 kota Mengurutkan angka

Matematika Diskrit dg IlmuKomputer Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit, yaitu dengan unit terkecil yg disebut sebagai bit. Dengan demikian, baik Struktur (rangkaian) dan juga Operasi (eksekusi algoritma) Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit

Perangkat Matematika Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit: Logika Matematika (Logic) Teori Himpunan (Set Theory) Fungsi (Functions) Deretan (Sequences)

Logika, Proposisi Sub-bab 1.1 – 1.2

Logika Mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Logic  mempelajari bgm cara mengambil kesimpulan yang benar menurut aturan yang ada , ex:or,and,not,dll Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: 1) Doni adalah mahasiswa ITS. 2) Semua mahasiswa ITS pandai. 3) Doni orang pandai. Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.

Proposisi Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Proposisi  kalimat yg dapat bernilai benar atau salah Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. Untuk setiap bilangan bulat n, ada bilangan prima yang lebih besar daripada n Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Manila? Silakan duduk.

Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: AND (konjungsi) Simbol  Inclusive OR (disjungsi) Simbol v EXclusive OR(XOR) Simbol  NOT (negasi) Simbol  Implikasi Simbol  Implikasi ganda Simbol 

Tingkat Presedensi NEGASI (NOT) KONJUNGSI (AND) DISJUNGSI (OR, XOR) IMPLIKASI IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan

Tabel Kebenaran (truth table) konjungsi p q p  q 1 P ^ q bernilai benar jika p dan q benar

Contoh p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p  q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p  q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q

disjungsi (inclusive or) Tabel Kebenaran disjungsi (inclusive or) Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum p v q = benar p q p v q 1 P v q bernilai salah jika p dan q salah

Tabel Kebenaran exclusive or p  q is true only when p is true and q is false, or p is false and q is true. Example: p = “ani pergi ke Jakarta, q = “ani pergi ke Malang" p v q = “pilih salah satu, ani pergi ke jakarta atau ani pergi ke malang" p q p  q 1

Tabel Kebenaran Negasi p p 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa p p 1

Kalimat majemuk compound statements p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (p  q)  r p  (q  r) (p)  (q) (p  q)  (r) dll

Tabel Kebenaran (p   r)q (0  1)  0 = 0 1 (0  0)  0 = 0 (0  1)  1 = 1 (0  0  1 = 1 (1  1)  0 = 1 (1  0)  0 = 0 (1  1)  1 = 1 (1  0)  1 = 1

Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p  q Contoh: p = " John rajin belajar" q = " John lulus ujian " p  q = “If John rajin belajar then John lulus ujian "

Tabel Kebenaran implikasi p q p  q 1 P  q salah jika p benar q salah

Hipotesa dan konklusi Dalam implikasi p  q p disebut anteseden, hipotesa, premis (antecedent, hypothesis, premise) q disebut konsekuensi atau konklusi (consequence, conclusion)

Cara menyebut p  q jika p maka q if p then q jika p, q if p, q q jika p q if p p hanya jika q p only if q p mengimplikasikan q p implies q

Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

Ekivalensi Logikal Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q p q  p  q p  q 1

Konversi dan Inversi Konversi dari p  q adalah q  p Inversi dari p  q adalah  p   q p  q tidak ekivalen q  p p  q tidak ekivalen  p   q p q p  q q  p p  q 1

Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p. p  q dan  q   p ekivalen p q p  q  q   p 1

Ekivalensi Logika Ekivalensi Logika lain dapat dilihat di :  (PQ) Ekivalen dengan ( P) v ( Q)  (PvQ) Ekivalen dengan ( P)  ( Q)

Implikasi Ganda Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p  q p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p) p q p  q (p  q)  (q  p) 1

Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p  p v q p q p  p v q 1

Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p  (  p ) p p  ( p) 1

Hukum De Morgan  (p  q) ekivalen dengan ( p)  ( q) Bukti (yang pertama, buktikan yang kedua sendiri): p q p q pq (pq) (p)(q) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

Tugas Kalimat “Play it again,Sam” ada dalam film ada apa dengan cinta. Untuk beberapa bil. Bulat n, 19340 = n x 17 Setiap bil. Bulat > 4 merupakan penjumlahan dua bilangan prima P = hari ini adalah senin; q = hujan turun; r = hari ini panas. Rumuskan pernyataan simbolik dengan kata2 :  p  (q v r) (p  q)  (r v p) Carilah masing2 minimal 3 proposisi tautologi dan kontradiksi