Transformasi Fourier Waktu Diskrit dan Transformasi Fourier Diskrit ( Discrete Time Fourier Transform and Discrete Fourier Transform )

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) Anak tukang jahit yang miskin, calon pendeta, kemudian menjadi ahli matematika dan fisika Karyanya (Deret Fourier, 1807) ditolak oleh Lagrange, tetapi akhirnya dipublikasikan 1822, setelah Lagrange meninggal Fourier juga aktif di bidang politik

Analisis Frekuensi Penguraian Cahaya sinar matahari spektrum prisma kaca sinar matahari spektrum

Penguraian Sinyal sinyal f1 sinyal f2 sinyal f3 dst. Tranformasi Fourier sinyal f1 sinyal f2 sinyal f3 dst.

Transformasi Fourier Waktu Diskrit (Discrete Time Fourier Transform = DTFT ) X() adalah : fungsi kontinyu dan komplek dari frekuensi anguler  fungsi periodik dalam , dengan periode 2 radian

Syarat DTFT Suatu sinyal waktu diskrit x(n) dikatakan mempunyai pasangan Transformasi Fourier Waktu Diskrit, jika :

Invers DTFT batas bawah dan batas atasnya adalah - dan , ini konsisten dengan fakta bahwa Transformasi Fourier Waktu Diskrit dari suatu sinyal hanya unik dalam interval 2 radian.

Beberapa Pasangan DTFT

Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT) No Sinyal waktu diskrit Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT) 1 1, semua n 2 1, utk n = 0, 1, ... -1, utk n = -1,-2, ... 3 (n) 4 (n – M) e– j  M 5 u(n)

Transformasi Fourier Waktu Diskrit No Sinyal waktu diskrit Transformasi Fourier Waktu Diskrit 6 an u(n), |a|<1 7 exp(j 0 n) 8 sin(0 n) 9 cos(0 n) 10 u(n) – u(n–M)

Sifat-sifat DTFT

Sinyal waktu diskrit x(n) Sifat-sifat Sinyal waktu diskrit x(n) DTFT X() Notasi x(n), x*(n), y(n) X(), X*(–),Y() Linieritas Pembalikan waktu x(–n) X(–) Penggeseran waktu x(n – M) exp(–j  M) X() Pergeseran frekuensi x(n) exp(j 0 n) X( – 0) Perkalian dengan cos(0 n) x(n) cos(0 n) ½[X(– 0) + X( + 0)] Perkalian dengan sin(0 n) x(n) sin(0 n) [X(+0) - X( - 0)]

Sinyal waktu diskrit x(n) Sifat-sifat Sinyal waktu diskrit x(n) DTFT X() Konvolusi x(n) * h(n) X()H() Korelasi rx y(n) = x(n)*y(-n) X()Y(-) Perkalian dua sinyal x1(n) x2(n) Perkalian dengan n n x(n) Teorema Parseval Barisan simetri konjugat x(n) = x*(–n) X() riil Barisan anti simetri konjugat x(n) = -x*(–n) X() imajiner Barisan riil x(n) riil | X()| = | X(–)| arg[X()] = –arg[X(–)]

Contoh 1. DTFT Cari DTFT dari x(n) = (-0,5)n u(n) Jawab: Mengacu Tabel Pasangan DTFT, didapat:

Kelemahan DTFT Hasil DTFT merupakan suatu fungsi kontinyu dalam  Batas bawah dan batas atas penjumlahannya adalah tak terhingga

Transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform) k = 0, 1, 2, ... , N-1 Hubungan antara Transformasi Fourier Diskrit dengan Transformasi Fourier Waktu Diskrit:

Invers Transformasi Fourier Diskrit n = 0, 1, 2, ... , N-1

Transf. Fourier Diskrit X(k) Sifat-sifat Sinyal x(n) Transf. Fourier Diskrit X(k) Notasi x(n), x*(n), y(n) X(k), X*((–k))N, Y(k) Periodisasi x(n) = x(n + N) X(k) = X(k + N) Linieritas a1 x1(n) + a2 x2(n) a1 X1(k) + a2 X2(k) Barisan simetri konjugat x(n) = x*((–n ))N X(k) riil Barisan inti simetri konjugat x(n) = -x*((–n))N X(k) imajiner Barisan riil x(n) riil X(k) = X*((–k))N |X(k)| = |X((–k))N| arg[X(k)] = –arg[X((–k))N]

Transf. Fourier Diskrit X(k) Sifat-sifat Sinyal x(n) Transf. Fourier Diskrit X(k) Barisan imajiner x(n) imajiner X(k) = –X*((–k))N Pembalikan waktu x(N – n) X(N – k) Penggeseran waktu x((n – M))N exp(–j 2 k M / N) X(k) Pergeseran frekuensi x(n) exp(j2kMn/N) X((k – M))N Konvolusi melingkar x1(n)  x2(n) X1(k) X2(k) Korelasi melingkar ّ x(n)  y(-n) X(k) Y*(k) Perkalian dua barisan x1(n) x2(n) (1/N) X1(k)  X2(k) Teorema Parseval

Contoh 2. DFT Jika diketahui bahwa x(n) = {1, 2, 2, 1}, serta x(n) = 0 untuk seluruh n lainnya, hitunglah DFT dari sinyal tersebut jika N = 4.

Contoh 2. (lanjutan) Jawab: X(k) = x(0) + x(1) exp(-jk/2) + x(2) exp(-jk) + x(3) exp(-j3k/2) X(k) = 1 + 2 exp(-jk/2) + 2 exp(-jk) + exp(-j3k/2)

Mengingat ... exp(-j) = e-j Dari rumus Euler didapatkan hubungan: exp(j) = ej = cos() + j sin() Untuk sudut negatif: exp(-j) = e-j = cos(-) + j sin(-) = cos() – j sin() sehingga: X(k) = X(k)riil + X(k)imaj

Contoh 2. (lanjutan) Bagian riil dari X(k) adalah: Xriil(k) = 1 + 2 cos(k/2) + 2 cos(k) + cos(3k/2), k = 0, 1, 2, 3 Xriil(0) = 1 + 2 cos(0) + 2 cos(0) + cos(0) = 6 Xriil(1) = 1 + 2 cos(/2) + 2 cos() + cos(3/2) = –1 Xriil(2) = 1 + 2 cos() + 2 cos(2) + cos(3) = 0 Xriil(3) = 1 + 2 cos(3/2) + 2 cos(3) + cos(9/2) = –1 Xriil(k) = {6, -1, 0, -1}

Contoh 2. (lanjutan) Bagian imajiner dari X(k) adalah: Ximaj(k) = –2 sin(k/2) – 2 sin(k) – sin(3k/2), k = 0, 1, 2, 3 Ximaj(0) = –2 sin(0) – 2 sin(0) – sin(0) = 0 Ximaj(1) = –2 sin(/2) – 2 sin() – sin(3/2) = –1 Ximaj(2) = –2 sin() – 2 sin(2) – sin(3) = 0 Ximaj(3) = –2 sin(3/2) – 2 sin(3) – sin(9/2) = 1 Ximaj(k) = {0, -1, 0 , 1}

Contoh 2. (lanjutan) Hasil DFT dari x(n) = {1, 2, 2, 1} adalah: X(k) = Xriil(k) + Ximaj (k) = {6, -1, 0, -1} + j {0, -1, 0 , 1} X(k) = {6 + 0j, -1-j, 0 + 0j, -1+j} = {6, -1-j, 0, -1 + j}

Contoh 3. IDFT Jika diketahui X(k) = {6, -1-j, 0, -1+j} dan X(k) = 0 untuk seluruh k lainnya, hitunglah IDFT dari sinyal tersebut jika N = 4.

Contoh 3. (lanjutan) Jawab

Contoh 3. (lanjutan)

Contoh 3. (lanjutan) Sehingga x(n) = {1, 2, 2, 1}