P. XI  u 2  2 2 HASIL KALI SILANG Hasil Kali Silang Vektor-vektor Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai: u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 – u1v2, u1v2 – u2v1) atau dalam notasi determinan  u 2 u x v = u 3 v 3 u 1 v 1 u 2 v 2  u 3 u 1 v 3 v 1 , ,   v 2 contoh: Cari u x v, dimana u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, -1) Jawab: 1 2 2 3 0 1  2 2 1 2 ,7 ,6 1 2 1 2 3 1 3 0 , , uxv  0 Perbedaan antara hasil kali titik dan hasil kali silang adalah: Hasil kali titik berupa suatu skalar Hasil kali silang berupa suatu vektor Teorema Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka: (a) u.(u x v) = 0 (b) v.(u x v) = 0 (u x v ortogonal terhadap u) (u x v ortogonal terhadap v) (c) uxv 2  u 2 v 2 u.v2 (Identitas Lagrange) (d) u x (v x w) = (u.w).v – (u.v).w titik) (e) (u x v) x w = (u.w).v – (v.w).u (hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik) u x v = (2, -7, -6) u. (u x v) = (1)(2) + (2)(-7) + (-2)(-6) = 0 v. (u x v) = (3)(2) + (0)(-7) + (1)(-6) = 0 Teorema Berikut sifat-sifat aritmetika utama dari hasil kali silang. Jika u, v, w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka: http://www.mercubuana.ac.id

v sin adalah ketinggian jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v, jadi: Luas jajaran genjang: A = (alas)(tinggi) = u v sin uxv Teorema Jika m dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka uxv sama dengan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v. Contoh: Cari luas segitiga yang dibentuk oleh titik-titik, P1 (2, 2, 0), P2 (-1, 0, 2) dan P3 (0,4, 3) Jajaran genjang pada gambar disamping dibentuk oleh vektor P1 P2 dan P1 P3 P2 (-1, 0, 2) P1 (2, 2, 0) P3(0, 4, 3) P1 P2 = (-3, -2, 2) dan P1 P3 (2 ,2 ,3), jadi : P1 P2 x P1 P3 =(-10, 5, -10) Jadi, A = ½ P1 P2 x P1 P3 = ½ (15) = 15/2 Hasil Kali Skalar Ganda Tiga Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka: u. (v x w) disebut “hasil kali skalar ganda tiga” dari u, v, dan w. u 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 u.vxw v 1 contoh: u = 3i – 2j – 5k, v = i + 4j – 4k, w = 3j + 2k 3 2 5 4 4 3 0 3 2 4 4 3 2 1 4 0 2 14 03 u.vxw 1  (2)  (5)  60 4 15 49 Interprestasi Geometris Determinan u 1 det  u 1  det v 1 w 1 u 2 v 2 u 2 v 2 w 2  luas jajaran genjang dalam ruang berdimensi 2 yang dibentuk oleh vektor u (u 1 , u 2 ) dan v (v 1 , v 2 ) u 3  v 3 volume paralel piped dalam ruang berdimensi 3 yang dibentuk oleh w 3 vektor u (u 1 , u 2 , u 3 ), v (v 1 , v 2 , v 3 ), dan ww 1 , w 2 , w 3  http://www.mercubuana.ac.id v 1