BAB 2 PROGRAM LINEAR Next Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel PROGRAM LINEAR PENDAHULUAN PETA KONSEP Y X Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Merancang Model Matematika Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Soal-Soal Next Home

PENDAHULUAN Program linear sebagai bagian dari matematika banyak digunakan dalam berbagai bidang, antara lain dalam bidang ekonomi, pertanian dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear, seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya minimum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas atau kendala, yaitu sumber daya yang tersedia. Next Back Home

PETA KONSEP PROGRAM LINEAR Sistem Pertidaksamaan Linear Nilai Optimum Fungsi Objektif Himpunan Penyelesaian dengan Menggunakan Grafik Program Linear dan Model Matematika Uji Titik Sudut Garis Selidik Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Program Linear adalah suatu model atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala – kendala atau batasan – batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear, yang disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel. Contoh : 1. Gambar himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear berikut pada bidang Cartesius. (R adalah himpunan bilangan real) a. 2x + 3y ≥ 6; x, y € R b. x + 2y < 4; x, y € R Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian : Pertama lukislah batas – batas daerahnya, yakni grafik 2x + 3y = 6 dan grafik x + 2y = 4. a. 2x + 3y ≥ 6; x, y € R Batas daerah penyelesaiannya 2x + 3y = 6 Titik potong sumbu x, syaratnya y = 0. Berarti, 2x + 3(0) = 6 2x = 6 x = 3 Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Titik potong sumbu y, syarat x = 0. Berarti, 2(0) + 3y = 6 3y = 6 y = 2 x 3 y 2 (x,y) (0,2) (3,0) Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (3,0) (0,2) Y X (3,0) (0,2) Y X Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Menentukan daerah pertidaksamaan, ambil sembarang titik, misal (0,0). Substitusikan : 2x + 3y ≥ 6 2(0) + 3(0) ≥ 6 0 ≥ 6 ( SALAH ) Berarti daerah yang diminta 2x + 3y > 6, titik –titik yang berada pada garis 2x + 3y = 6 termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaian sdalah daerah yang tidak diarsir. b. x + 2y < 4; x, y € R x 4 y 2 (x,y) (0,2) (4,0) Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Y (0,2) (4,0) x + 2y = 4 Y (0,2) (4,0) x + 2y < 4 Next Back Home

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Substitusi (0,0) x + 2y < 4 0 + 2(0) < 4 0 < 4 ( BENAR ) Berarti, titik (0,0) berada pada daerah penyelesaian sedangkan garis x + 2y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehingga digambar PUTUS – PUTUS. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir. Next Back Home

Merancang Model Matematika Model Matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Contoh : Luas suatu lahan parkir adalah 400 m². Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing – masing adalah 8 m² dan 24 m². Lahan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut denan memisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y. Next Back Home

Merancang Model Matematika Penyelesaian : 8x + 24y ≤ 400 X + y ≤ 20 Karena x dan y masing – masing menunjukkan banyak mobil dan bus, x dan y berupa bilangan cacah. Jadi, model matematika nya : X ≥ 0, y ≥ 0 X, y € C Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Menyelesaikan model sama halnya menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dan fungsi objektifnya, kemudian menafsirkannya pada persoalan semula . Fungsi Objektif Sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2x + y ≤ 30 2x + 3y ≤ 50 x ≥ 0, y ≥ 0; x, y € C Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya b. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel x + y ≤ 300 4x + 3y ≤ 1,120 x ≥ 0, y ≥ 0; x, y € C Fungsi objektif : memaksimumkan z = 25x + 10y Dengan kata lain, fungsi objektif dalam program linear adalah fungsi z = ax + by yang hendak ditentukan nilai optimumnya. Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya 2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif Metode Uji Titik Sudut Nilai optimum ditentukan dengan menghitung nilai – nilai z = ax + by pada tiap titik sudut pada daerah himpunan penyelesaian. Kemudian nilai yang diperoleh dibandingkan, nilai paling besar merupakan nilai maksimum. Nilai paling kecil, nilai minimum dari z = ax + by. Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Contoh : Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut . Sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2x + y ≤ 30 2x + 3y ≤ 50 X ≥ 0, y ≥ 0, x, y € C Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Penyelesaian : Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Untuk 2x +y = 30 Untuk 2x + 3y = 50 x 15 y 30 (x,y0 (0,30) (15,0) x 25 y 16 · 2/3 (x,y) (0,16 · 2/3) (25,0) Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya B(10,10) A(15,0) (25,0) 2x + 3y = 50 2x + y = 30 (0,30) Y Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Daerah himpunan penyelesaian diperlihatkan sebagai bagian yang tidak diarsir. Titik potong kedua garis 2x + y = 30 2x + y = 30 2x + 3y = 50 2x + 10 = 30 - 2y = - 20 2x = 20 y = 10 x = 10 Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (10,10). Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya B (10,10) C (0,16 X 15 10 Y 16 z = x + y 20 Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi objektif z = x + y adalah 20, yaitu untuk x = 10 dan y = 10 Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya b. Metode Garis Selidik ax + by = k z = ax + by ( a dan b bilangan real ) k1 = ax + by k2 = ax + by . . . kn = ax + by m = - a b Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Contoh : Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel : 2x + y ≤ 30 2x + 3y ≥ 50 X, y ≥ 0; x, y € C Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Penyelesaian : Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y =0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0, yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda beda. Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya (0,30) B(10,10) C(0,16) Y X A(15,0) 2x + y = 30 2x + 3y = 50 Next Back Home

Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Bila nilai k makin besar, letak garis – garis x + y = k makin jauh dari titik O(0,0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O(0,0). Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik (10,10), yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik O(0,0), yaitu 0 + 0 = 0. Next Back Home

SOAL - SOAL Soal 1 Soal 2 Soal 3 Soal 5 Soal 4 Next Back Home

SOAL - SOAL Penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0 terletak pada daerah yang berbentuk …………… a. trapesium b. empat persegi panjang c. segitiga d. segiempat e. segilima Next Back Soal - soal

SOAL - SOAL 2.Jika diketahui sistem pertidaksamaan x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0, maka nilai maksimum dipenuhi untuk 20x + 30y adalah ………. a. 45 b. 54 c. 72 d. 90 e. 81 Next Back Soal - soal

SOAL - SOAL 3. Untuk diterima di suatu pendidikan, seseorang harus lulus tes Matematika dengan nilai tidak kurang dari 7 dan tes Biologi dengan nilai tidak kurang dari 5 sedangkan jumlah nilai Matematika dan Biologi tidak boleh kurang dari 13. Seorang calon dengan jumlah dua kali nilai Matematika dan tiga kali nilai Biologi sama dengan 30 sama dengan 30 akan …………………. a. pasti ditolak b. pasti diterima c. diterima asal nilai Matematika lebih dari 9 d. diterima asal nilai Biologi tak kurang dari 5 e. diterima hanya nilai Biologi 6 Next Back Soal - soal

SOAL - SOAL 4. Suatu tempat parkir seluas 200 m² tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Untuk memarkir sebuah mobil rata – rata diperlukan tempat seluas 10 m² dan untuk bus rata – rata 20 m² . Jika di tempat parkir itu akan di parkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi syarat – syarat ……………. a. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≤ 0 b. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 c. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≤ 0; y ≤ 0 d. x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 e. x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 Next Back Soal - soal

SOAL - SOAL 5. Rokok A seharga Rp 200,00/bungkus dijual dengan laba Rp 40,00/bungkus, sedangkan rokok B seharga Rp 100,00/bungkus dengan laba Rp 30,00/bungkus. Seorang pedagang rokok mempunyai modal Rp 80.000,00 dan kios yang dapat menampung 500 bungkus rokok. Ia akan memperoleh keuntungan jika ia akan membeli …………………. a. 300 rokok A dan 200 rokok B b. 200 rokok A dan 300 rokok B c. 250 rokok A dan 250 rokok B d. 100 rokok A dan 400 rokok B e. 400 rokok A dan 100 rokok B Next Back Soal - soal

BENAR SOAL-SOAL

SALAH SOAL-SOAL

SUKSMA Soal - soal Back Home