Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB Teori Trafik Dasar Deskripsi Trafik Diagram Transisi Kondisi Pola Kedatangan Panggilan Pola Lamanya Waktu Pendudukan Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB Deskripsi Trafik Pola lamanya waktu pendudukan Sistem Pola kedatangan panggilan Berkas sempurna Berkas tak sempurna Sistem rugi Sistem tunggu FIFO Etc. Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB Deskripsi Trafik (2) Salah satu pendeskripsian matematis dari trafik adalah birth and death process (Proses kelahiran dan kematian) Merupakan salah satu kasus Markov chain dimana perubahan keadaan (state) terjadi selangkah demi selangkah (one step at a time) Dalam jaringan telepon, proses kelahiran adalah proses datangnya panggilan sedangkan proses kematian adalah proses berakhirnya panggilan Pola kedatangan panggilan dan pola pendudukan dideskripsikan dengan distribusi probabilitas Bila deskripsi pola trafik dengan distribusi probabilitasnya serta disiplin operasinya diketahui, maka banyak hal dapat diketahui (harga rata-rata trafik, blocking dst.) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Diagram Transisi Kondisi Jumlah saluran dalam berkas yang diduduki disebut kondisi (keadaan/state) Proses kedatangan panggilan atau berakhirnya pendudukan dapat merubah kondisi berkas yang bersangkutan Kondisi dan perubahannya dapat digambarkan oleh suatu diagram transisi kondisi Kondisi : bulatan dan angka Arah transisi : panah b1 b2 bn-1 bn b0 1 2 n m1 m2 m3 mn mn+1

Diagram Transisi Kondisi (2) Kondisi menyatakan jumlah saluran atau peralatan yang diduduki Probabilitas kondisi menyatakan lamanya suatu kondisi berlangsung di dalam selang waktu tertentu (1 jam sibuk) Probabilitas transisi menunjukkan peluang terjadinya transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain di dalam selang waktu yang sangat kecil (dt) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) Call arrival dapat diartikan percobaan pertama untuk menghubungkan beberapa perangkat bagi terbentuknya suatu panggilan (first attempt to connect some device for the purpose of establishing a call)  event sesaat (instantaneous) Pengertian di atas merupakan pengertian yang legitimate karena proses pendudukan perangkat (seizing) pada umumnya sangat singkat dibandingkan dengan holding time-nya setelah seizure Dengan fakta-fakta tersebut di atas marilah kita turunkan distribusi kedatangan panggilan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (2) Misalkan proses call arrival (seperti yang sudah didefiniskan pada slide no 6) berlangsung terus pada selang waktu yang sangat lama dan bayangkan selang waktu yang lama tersebut dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil dengan durasi dt Dengan membuat agar dt sangat singkat, kita dapat menjamin bahwa peluang terjadinya kedatangan lebih dari satu (pada selang dt) dapat diabaikan dt dt dt T Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (3) Misalkan a menyatakan jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu Satu satuan waktu terdiri dari 1/dt interval Maka peluang suatu interval (yang dipilih secara acak) mengandung sebuah kedatangan adalah a/(1/dt) = adt = dengan kata lain ini adalah peluang meunculnya pangggilan dalam interval dt Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (4) Peluang bahwa ada tepat (exactly) sebanyak x panggilan yang terjadi selama selang waktu T adalah merupakan peluang bahwa ada sebanyak x dari T/dt interval yang mengandung panggilan (dt dipilih agar T/dt merupakan sebuah integer) Maka x merupakan distribusi binomial, sehingga distribusi peluangnya adalah : ( ( ( ( T ( T ( T ( T (T/dt)-x x ( - 1 - 2 … - x +1 (1-adt) (a/dt) dt dt dt dt px= x ! T(T-dt)(T-2dt)…(T-x-1dt)(1-adt)-x {(1-adt)1/dt}T ax = x! Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola kedatangan panggilan (Call Arrival Process) (5) Bila dt  0, maka (1 – adt)1/dt  e-a, maka px menjadi : px= Ini merupakan distribusi Poisson Jadi pola kedatangan panggilan berdistribusi Poisson Mean value dari distribusi Poisson di atas adalah at demikian pula dengan variansinya akan berharga at  ciri distribusi Poisson (aT)x e-aT x! Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola antar waktu kedatangan (Interarrival time distribution) Seperti sebelumnya, sumbu waktu dibagi kedalam interval-interval yang lebih kecil dt Misalkan dipilih suatu waktu secara acak (random instant) Selang waktu sampai terjadinya suatu panggilan berikutnya akan melebihi t, jika dan hanya jika interval pertama, kedua … ke-(t/dt) tidak mengandung kedatangan panggilan. Peluang terjadinya event ini adalah (1-adt)t/dt yang akan cenderung menjadi e-at jika dt mendekati nol Maka fungsi distribusi dari t (yaitu peluang bahwa selang waktu sampai panggilan berikutnya lebih kecil dan sama dengan t) adalah F(t) = 1 – e-at Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola antar waktu kedatangan (Interarrival time distribution) (2) Probability density function dari F(t) adalah f(t) = dF(t)/dt = ae-at Ini adalah distribusi eksponensial negatif Mean value dari f(t) adalah 1/a yang merupakan rata-rata selang waktu antar kedatangan panggilan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) Diasumsikan bahwa sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan mengambil waktu awal (origin) merupakan saat dimulainya panggilan, maka peluang bahwa panggilan berakhir dalam selang (t,t+dt] adalah mdt (analogi dengan kedatangan panggilan) Peluang bahwa waktu pelayanan lebih besar dari t (H(t)) adalah sama dengan peluang bahwa panggilan tidak berakhir dalam selang (0,t] t t+dt Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) (2) Dengan mempartisi selang (0,t] kedalam sejumlah n interval dan dengan membuat agara dt=t/n maka peluang berakhirnya panggilan setelah t (waktu pelayanan melebihi t) adalah (1 – mdt)n Bila n menuju 0 maka H(t) = e-mt Peluang terjadinya pendudukan yang berakhir pada waktu kurang dari t adalah F(t) = 1 - e-mt Maka probability density function dari waktu pelayanan adalah f(t) = me-mt Dengan demikian waktu pendudukan berditribusi eksponensial negatif dengan mean m-1 m disebut laju waktu pelayanan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Pola lamanya waktu pendudukan (service time distribution) (3) Penyesuaian dengan notasi di diktat kuliah a = l m = 1/h l = harga rata-rata kedatangan panggilan 1/ l = selang waktu antar kedatangan panggilan m = laju berakhirnya panggilan 1/ m = selang waktu antar berakhirnya pendudukan h = harga rata-rata waktu pendudukan 1/h = selang waktu antar pendudukan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Akan dicari peluang bersyarat : suatu panggilan datang pada selang (t,Dt) bila diketahui bahwa selama waktu t tidak ada panggilan datang Bila x adalah panggilan yang datang, maka kita akan mencari P(x  t+Dt | x > t) t t+Dt Pangggilan datang Tidak ada panggilan datang Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (2) P(t < x  t+Dt) P(x  t+Dt | x > t) = P(x > t) P (x > t) = e-lt ingat P(x>t) = 1- P(x t)=1 –(1- e-lt) = e-lt P(t < x  t+Dt) merupakan peluang bahwa (x >t dan x  t+Dt), atau bisa kita pandang juga sebagai usaha mencari peluang munculnya panggilan pada selang (t+ Dt) Maka P(t < x  t+Dt) =1– P(x  t) - P (x > t+ Dt) =1– P(x  t) – (1 – P (x  t+ Dt)) = P (x  t+ Dt) – P(x  t) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (3) P(t < x  t+Dt) = 1– P(x  t) - P (x > t+ Dt) = 1– P(x  t) – (1 – P (x  t+ Dt)) = P (x  t+ Dt) – P(x  t) = (1 – e-l(t+ Dt)) – (1 – e- lt) = e- lt – e-l(t+ Dt) Maka P(t < x  t+Dt) P(x  t+Dt | x > t) = P(x > t) e- lt – e-l(t+ Dt) = 1-(1-e- lt) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (4) P(t < x  t+Dt) P(x  t+Dt | x > t) = P(x > t) e- lt – e-l(t+ Dt) = 1-(1-e- lt) e- lt – e-l(t+ Dt) = e- lt = 1 – e-lDt Bila kita uraikan menggunakan deret Mc Laurin, akan kita peroleh (l.Dt)2 (l.Dt)3 … P(x  t+Dt | x > t) = l.Dt - + = P (Dt) 2! 3! Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (5) Bila Dt  0 maka P(Dt)  l.Dt + 0(Dt) 0(Dt) merupakan fungsi Dt yang harganya akan lebih cepat menjadi 0 daripada Dt nya sendiri bila Dt mendekati nol P(Dt) tak tergantung t Hanya mungkin terjadi satu peristiwa dalam suatu waktu tertentu, karena bila terjadi lebih dari satu peristiwa maka probabilitasnya akan sebanding dengan Dt2 (atau Dt3 dst.) dan ini berarti akan menjadi nol (bila Dt mendekati nol) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (6) Kita sudah memperoleh hasil sebagai berikut (dengan Dt mendekati nol (dt)): Peluang (datangnya 1 panggilan dalam waktu dt) = lt + 0(dt) l=laju rata-rata datangnya panggilan Dengan analogi : Peluang (berakhirnya 1 pendudukan dalam waktu dt) = mt + 0(dt) m=1/h= laju rata-rata berakhirnya panggilan Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (7) Bila kita gunakan koefisien kelahiran dan kematian : Peluang (datangnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = bndt + 0(dt) Peluang (berakhirnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = dndt + 0(dt) Peluang (terjadi lebih dari 1 peristiwa datang dan/atau berakhir dalam waktu dt) = 0(dt) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (8) Kondisi n pada saat t+dt dapat terjadi melalui beberapa kemungkinan : Kondisi pada t Kondisi pada (t+dt) Transisi Prob(transisi dlm dt/kondisi pada t) n Tak ada yang datang ataupun berakhir (1-bndt)(1-dndt)=1- bndt- dndt+0(dt) n-1 1 panggilang datang dan tak ada yang berakhir bn-1dt(1- dn-1dt)+0(dt)= bn-1dt+0(dt) n+1 Tak ada yang datang dan 1 pendudukan berakhir (1- bn+1dt)dn+1dt +0(dt)= dn+1dt+0(dt) Kondisi lainnya Lebih dari 1 transisi O(dt) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (9) Kita akan mencari probabilitas kondisi n pada waktu t : P(n,t) P(n,t+dt)=P(n,t)(1-bndt-dndt)+P(n-1,t)bn-1dt +P(n+1,t)dn+1dt+0(dt) (P(n,t+dt) – P(n,t))/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Bila dt mendekati nol : dP(n,t)/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Ini disebut persamaan kondisi dan berlaku untuk n=1,2,3,… Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (10) Persamaan kondisi dapat diselesaikan dengan 2 kasus Kasus 1 : P(n,t) bukan fungsi waktu. Hal ini terjadi bila sistem dalam keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium) [jam sibuk dianggap merupakan keadaan yang setimbang] Kasus 2 : P(n,t) merupakan fungsi waktu Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (11) Kasus 1 Karena P(n,t) bukan fungsi waktu, maka dP(n,t)/dt = 0 (berlaku untuk semua harga n) Untuk n=0 : 0=-b0P(0)+d1P(1) b0P(0)=d1P(1) pers (1) Untuk n=1 : (b1+d1)P(1)=b0P(0)+d2P(2) pers (2) Untuk n=2 : (b2+d2)P(2)=b1P(1)+d3P(3) pers (3) Untuk n=3,4,dst. : (bm+dm)P(m)=bm-1P(m-1)+dm+1P(m+1) Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (12) Kasus 1 (cont.) Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) dan seterusnya : b1P(1)=d2P(2) b2P(2)=d3P(3) b3P(3)=d4P(4) bmP(m)=dm+1P(m+1) Ini disebut persamaan kesetimbangan bm m m+1 dm+1 Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (13) Kasus 2 : dP(n,t)/dt = -(bn+dn) P(n,t) + bn-1P(n-1,t) + dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Untuk n=0 dP(0,t)/dt = -b0P(0,t) + d1P(1,t) Selisih aliran masuk dan keluar Aliran keluar dr kondisi n Aliran masuk ke kondisi n Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (14) Untuk memudahkan solusi : Tak ada pendudukan yang berakhir : dn=0 Rate datangnya panggilan sama untuk semua kondisi : bn=a Maka (*) d(P0,t)/dt = -a P(n,t)+aP(n-1,t) untuk n1 (**) d(P0,t)/dt = -a P(0,t) untuk n=0 Untuk menyederhanakan penyelesaian, digunakan syarat batas pada permulaan sistem (pada t=0 dan n=0) : P(n,0) = 1 untuk n = 0 dan P(n,0) = 0 untuk n  0 Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (15) Penyelesaian untuk P(0,t) dapat diperoleh dari persamaan (**): P(0,t) = e-at,harga ini bila dimasukkan ke persamaan (*) n=1, akan didapat : dP(1,t)/dt=-aP(1,t)+ae-at, bila persamaan ini diselesaikan, akan memberikan P(1,t)=at.e-at, kemudian persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan P(2,t) Akan diperoleh dP(2,t)/dt=-aP(2,t)+a.at.e-at, yang bila diselesaikan akan menghasilkan P(2,t)=((at)2/2!)e-at Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (16) Secara induksi akan diperoleh : Gambar P(n,t) untuk beberapa harga n dan t dapat dilihat di diktat Harga Mean =at Harga variansi = at (at)n Distribusi Poisson P(n,t)= e-at n! Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (17) PDF = P (x  t) = 1 – P(x > t) Jadi PDF = F(t) =1 – P(0,t) = 1 – e-at pdf = f(t) = ae-at Peluang waktu interval panggilan lebih besar dari t atau peluang tidak ada panggilan yang datang selama waktu t (P(0,t)) (at)0 P(0,t)= e-at 0! P(0,t)= e-at Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB