METODE PENDUGAAN TITIK – 1 Materi Pokok 05 METODE PENDUGAAN TITIK – 1 Metode Momen Defenisi 1. Misalkan X1,…,Xn adalah contoh acak dari populasi dengan fungsi massa / kepekatan peluang f(x), moment populasi ke k atau momen ke k sebaran f(x) adalah E(xk) untuk k = 1, 2, 3,… Momen contoh ke k adalah: Definisi 2. Misalkan X1, X2, …., Xn merupakan contoh acak dari sebaran dengan fungsi massa/kepekatan peluang f(x; 1, …., m), dimana 1, …., 2 adalah parameter yang nilainya tidak diketahui, maka momen penduga diperoleh dengan menyamakan momen contoh pertama m dengan momen populasi pertama m dan diselesaikan untuk 1, …., n

Contoh : Bila m = 2, maka E(X) dan E(X2) menjadi fungsi dari 1 dan n. Menghasilkan dua persamaan dalam 1 dan 2. Hasil penyelesaiannya merupakan penduga. Contoh 5.1. Ambil X1,X2,…,Xn menyatakan contoh acak waktu pelayanan n pelanggan pada fasilitas tertentu, dimana sebaran diasumsikan eksponensial dengan parameter . Karena hanya satu parameter yang diduga, penduga diperoleh dengan menyamakan dan karena E(x) = 1/ untuk sebaran eksponensial, maka atau . Momen penduga  adalah .

Contoh 5.2. Ambil X1,X2,…,Xn sebagai contoh acak dari sebaran gamma dengan parameter  dan . E(x) =  dan E(x2) = 2 (+2) / () = 2 ( + 1)  Penduga momen dari  dan  diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

Contoh 5.3. Ambil X1,…,Xn sebagai contoh acak dari sebaran binomial dengan parameter r dan r dan p. E(x) = r(1 - p)/p dan Var(x) = r(1 - p)/p2 , E(x2) = var(x) + [E(x)]2 = r(1 - p) (r – rp + 1)/p Dengan menyamakan:

Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum. Definisi: Misalkan X1, X2, …., Xn mempunyai fungsi massa/kepekatan peluang gabungan f(X1, X2, …., Xn; 1, …, m) dengan nilai 1, …, m tidak diketahui. Bila X1, X2, …., Xn adalah nilai pengamatan contoh dianggap fungsi dari 1, …, m disebut fugsi kemungkinan (Likelihood Function). Dugaan kemungkinan maksimum adalah nilai I yang memaksimumkan fungsi kemungkinan sehingga: untuk semua nilai 1, …, m. Bila Xi disubstitusikan ke xi menghasilkan penduga kemungkinan maksimum.

Contoh 5.4. Misalkan X1, X2,…, Xn adalah contoh acak dari sebaran eksponensial dengan parameter . Karena bebas, fungsi kemungkinan adalah hasil kali masing-masing fungsi kepekatan Contoh 5.5 Ambil X1, X2,…, Xn sebagai contoh acak dari sebaran normal. Fungsi kemungkinan:

Memaksimumkan fungsi kemungkinan diperoleh hasil Contoh 5.6 Misalkan X1, …., Xn sebagai contoh acak daris ebaran Weibull.