Probabilitas dan Statistik Teori Probabilitas Probabilitas dan Statistik Hasdi Radiles 19770909 201101 1 005 Teknik Telekomunikasi Jurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau Pekanbaru, 25 Maret 2012

Outline Materi perkuliahan : Teori set Definisi, notasi dan operasi set Diagram venn dan Karakter set Eksperimen statistik Teknik perhitungan Perkalian event Permutasi Kombinasi Teori probabilitas diskrit Definisi dan aksioma Probabilitas bersyarat Mutually exclusive Independen Aturan perhitungan Teorama Bayes Referensi: Montgomery, Douglas C, Applied statistics and probability, Wiley Asia Student, 2007 www. Stattrek.com Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Definisi Set: Set merupakan kumpulan dari objek yang dapat dikenal dalam suatu domain D Kumpulan objek yang tidak berurutan dengan tanpa duplikasi Special set dapat berupa : Universal Set (S): semua elemen yang terdapat dalam domain D. Null set atau set kosong : Set yang tidak memiliki elemen Setiap objek Set disebut dengan elemen dari Set tersebut. Jika semua elemen set A juga merupakan elemen set B, maka set A adalah subset dari set B dan set B merupakan superset dari set A Pertidaksamaan subset dan superset Proper subset () atau proper superset () Improper subset () dan Improper superset () 2 Set dikatakan sama jika dan hanya jika mereka memiliki semua elemen-elemen yang sama Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Notasi Set: Set biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B atau C. Elemen dari Set dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z Set umumnya ditunjukkan dengan mendata seluruh elemennya dalam kurung karawal {} contohnya: A = {2, 4, 6, 8}. Null set dinotasikan dengan {∅} atau { } atau ∅ Set juga bisa ditunjukkan dengan menyatakan syaratnya. Contoh Set A merupakan semua bilangan bilangan genap kurang dari 10 Operasi Set: Union (U): gabungan elemen yang berbeda + elemen yang sama Intersection (∩) : elemen-elemen dari 2 atau lebih yang sama Complement (Ā atau atau A’ atau Ac): elemen yang bukan berasal dari suatu Set A tetapi proper subset dari universal set U. Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Operasi set lainnya: Perbedaan 2 set: A – B A – B = {x:x A dan ~(xB)} Cara baca: x dimana x elemen A dan x bukan elemen B Contoh: A = {a, b, c} dan B = {b,c,d} sehinga A – B = {a} Perkalian 2 set: A x B A x B = { {a , b} : a  A and b  B ) Seluruh pasangan perkalian elemen set A dan B Contoh: A = {x, y} dan B = {4,8} maka A x B = {{x,4},{x,8},{y,4},{y,8}} Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Contoh soal 1: Tuliskan set dari semua huruf vokal? Jika A adalah set dari vokal, maka A dapat dituliskan : A = {a, i, u, e, o} Tuliskan Set dari bilangan integer positif Mengingat susahnya menuliskan seluruh bilangan integer yang tak terbatas, maka set A dapat dituliskan : A terdiri dari seluruh bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol. Set A = {1, 2, 3} dan Set B = {3, 2, 1}. Apakah A = B Ya, 2 set akan sama jika elemennya juga sama. Urutan elemen tidak masalah. Tuliskan set dari laki-laki dengan empat tangan? Karena tidak ada laki-laki yang memiliki 4 tangan, maka A = {}. Set A = {1, 2, 3} dan set B = {1, 2, 4, 5, 6}. Apakah set A subset dari set B? Set A adalah subset dari B jika seluruh elemen A juga merupakan elemen dalam set B. Tetapi 3 bukanlah elemen dari set B, maka A bukan subset dari B Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Contoh soal 2: Notasi diagram Venn: Tunjukkan aksiran daerahnya untuk notasi: A U B (A U B) A ∩ B (A ∩ B) A Domain D U A B Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori set Identitas Idempotent A + 0 = A A + A = A A & U = A A & A = A Terbatas Distrbutif A + U = U A + (B & C) = (A + B) & (A + C) A & 0 = 0 A & (B + C) = (A & B) + (A & C) Komutatif Hukum De Morgan A + B = B + A (A + B)c = Ac & Bc A & B = B & A (A & B)c = Ac + Bc Asosiatif Hukum Komplemen (A + B) + C = A + (B + C) A + Ac = U (A & B) & C = A &(B & C) A & Ac = 0 Involution Absorsi (Ac)c = A A + (A & B) = A 0c = U dan Uc = 0 A & (A + B) = A Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Eksperimen random Eksperimen random memiliki ciri khas : Kemungkinan outcome lebih dari 1 macam Setiap outcome yang mungkin dapat dituliskan sebelumnya Setiap outcome eksperimen bergantung pada peluangnya Definisi: percobaan yang dapat menghasilkan outcome yang berbeda-beda ketika dilakukan berkali-kali dengan cara yang sama. Contoh : Kemungkinan keluarannya lebih dari satu Kita dapat menuliskan keluarannya berupa angka atau gambar Peluang munculnya angka atau gambar bersifat tidak pasti Istilah-istilah Ruang sampel adalah set (kontinu atau diskrit) dari seluruh elemen yang dianggap sebagai kemungkinan outcome dari suatu ekperimen statistik, notasi S. Titik sampel adalah elemen dari ruang sampel Event adalah subset dari ruang sampel, terdiri dari satu atau lebih titik sampel Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Eksperimen random Contoh soal 3: Klasifikasikan kemungkinan ruang sampel dari pengiriman 3 frame paket data melalui internet berdasarkan error atau tidak menggunakan hirarki. Jawab: Misalkan paket error dinotasikan E dan yang non error dinotasikan 0 dari gambar disamping dapat disimpulkan: total kemungkinan outcome adalah 8 pasang, yaitu: {{EEE}, {EE0}, {EOE}, {EOO}, {OEE}, {OEO}, {OOE}, {OOO}}. Ruang sampel paket 1 error Paket 2 error Paket 3 error Paket 3 ok Paket 2 ok Paket 1 ok Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teknik perhitungan Aturan 1: Perkalian Event (metoda replacement) Jika sebuah operasi digambarkan sebagai urutan k langkah, dan Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langkah 1 adalah n1 Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langah 2 adalah n2 Dan seterusnya Maka jumlah cara untuk menyelesaikan operasi tersebut adalah: n1 x n2 x … x nk Contoh soal 4: Pada proses pemilihan matakuliah pada saat registrasi semesteran, mahasiswa harus mengisi statusnya sebagai berikut: Tuliskan jenis matakuliah: wajib atau pilihan Tuliskan status pengambilan: paket, tabungan, mengulang Tuliskan kode kelas: kelas A, B, C atau D Buatlah diagram pohon proses pendataan mahasiswa tersebut Ukuran dari ruang sampel = jumlah cabang akhir pemilihan = 2 x 3 x 4 = 24 Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teknik perhitungan Aturan-2: Permutasi event Jumlah permutasi dari n elemen yang berbeda adalah faktorial n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1 Jumlah permutasi dari subset dengan r elemen yang dipilih dari set n elemen Jumlah permutasi dari multi proses n objek dimana n = n1 + n2 + … + nr dimana r merupakan jumlah proses adalah Contoh soal 5: dalam suatu kelompok belajar terdiri dari 3 mahasiswa, yaitu A, B dan C. setelah selesai diskusi, mereka diharuskan mencantumkan nama berurutan sesuai dengan tugasnya dalam kelompok yaitu: urutan 1 adalah ketua, 2 adalah sekretaris dan yang terakhir adalah anggota. Berapakah jumlah kemungkinan pasangan berurutan tersebut? 3 x 2 =6 (metoda non-replacement) Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teknik perhitungan Contoh soal 6: 5 buah bola diberi nomor 1 – 5, dan kemudian seorang anak akan mengambil secara random 1 bola sebanyak 5 kali pengambilan. Sedangkan anak-anak yang lain akan menebak nomor bola yang diambil setiap kali pengambilan. Berapakah peluang tebakan mereka benar? Jawab : Probabilitas tebakan benar pada pengambilan ke-1 adalah = 1/5 Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-2 adalah = 1/4 Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-3 adalah = 1/3 Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-4 adalah = 1/2 Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-5 adalah = 1 jadi probabilitas tebakan mereka benar adalah: 1/5 x 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1 = 1/120 Contoh soal 7: Sebuah software dibuat untuk menguji validasi sebuah kode. Diketahui password suatu aplikasi terdiri dari abjad dan huruf tanpa menggunakan karakter khusus. Panjang password dari aplikasi tersebut adalah 4 – 12 karakter. Jika software membutuhkan 1 detik untuk menguji validasi 1 urutan tebakan password, berapa lama software tersebut maksimal menebak password tersebut. Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teknik perhitungan NB: 1! = 0! = 1 Aturan-3: Kombinasi event Jumlah kombinasi dari subset dengan ukuran r yang dapat dipilih dari n elemen: Contoh soal 8 : Seorang dosen ingin menguji mahasiswanya dengan 5 contoh soal dari 8 soal yang pernah dibahasnya dikelas. Jika urutan nomor soal tidak dipermasalahkan, seberapa banyak kemungkinan variasi soal yang bisa dibuat oleh dosen tersebut? Kombinasi 5 subset dari n = 8 NB: 1! = 0! = 1 Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teknik perhitungan Contoh soal 9 :Seorang mahasiswa memberikan kuisioner pada kelas yang terdiri dari 50 orang. Ternyata dari kuisioner tersebut terdapat 6 data palsu sehingga dapat merusak hasil kesimpulan penelitian tersebut. Jika dalam laporan maksimal 6 sampel kuisioner. Berapakah kemungkinannya dalam 6 sampel tersebut terdapat 2 kuisioner dengan data palsu? (Misalkan X adalah event pemilihan ruang sampel tsb) 2 kuisioner diambil dari total 6 data palsu menghasilkan kombinasi sebanyak 4 sampel yang lain adalah data yang benar, menghasilkan kombinasi sebanyak: total kombinasi tanpa memperhatikan data adalah: Jadi probabilitas nya adalah: Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Responsi #1 Jika diketahui A = {x | x < 72.5  x  R+} dan B = {x | x > 52.5  x  R+}. Gambarkan untuk setap event berikut ini A’ dan B’ A ∩ B A U B Tuliskan ruang sampel dari penerimaan sinyal 8 bit informasi dari suatu sistem komunikasi? Jika diimplementasikan sistem error correction berapakah ruang sampelnya sekarang? Diketahui nomor telepon dosennya adalah 081564540xxx, dan untuk menguji setiap tebakan, dibutuhkan biaya konfirmasi sebesar 1000 rupiah, carilah kemungkinan biaya maksimal yang harus disediakan mahasiswa tersebut, Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda non-replacement Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda replacement Berapakah peluang terdapat angka 9 dalam nomor tersebut Berapakah peluang 3 angka terakhir tersebut adalah 999 Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Apakah itu probabilitas (Peluang)? Probabilitas munculnya angka dan gambar pada pelemparan koin adalah 50 : 50 Probabilitas saya dapat A pada matakuliah ini adalah 30% Probabilitas presiden Indonesia tahun 2014 adalah laki-laki 80% Menurut saya kemungkinan besok akan hujan karena sudah 3 hari ini hujan, tetapi menurut teman saya tidak mungkin besok hujan karena sekarang sudah masuk musim kemarau Karakteristik? Merupakan prediksi akan peristiwa yang akan datang berdasarkan pengetahuan masa lalu. Adanya ketidakpastian perihal yang akan terjadi Sudut pandang dari probabilitas dapat ditinjau dari: Frekuensi relatif Subjektif Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Probabilits klasik (Equally likely Outcome): Ketika ruang sampel terdiri dari n kemungkinan outcome yang equally likely, probabilitas masing-masing outcome adalah 1/n Misalkan sebuah subset dengan r outcome diklasifikasikan sebagai outcome yang sukses maka: P(E) = (Jumlah outcome sukses) / (Jumlah equally likely outcome) = r/n Probabilits statistik (Law of Large Number): Suatu percobaan statistik yang dilakukan sebanyak n, dan r adalah frekuensi relatif dari event E muncul sebagai outcome, maka : P(E) = (frekuensi relatif event E) / (Jumlah percobaan) Contoh soal 10: eksperimen statistik memiliki outcome {a, b, c, d} dengan probabilitas 0,1, 0.3, 0.5 dan 0.1; Jika A ={a, b}, B={b, c,d} dan C={d}. Tentukanlah P(A), P(B), P(C), P(A’), P(B’), P(C’), P(A ∩ B), P(A U B) dan P(A ∩ C) Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Illustrasi Seorang anak melemparkan 2 buah dadu 50 kali dan mencatat jumlahnya sbb: Berapakah probabilitas munculnya jumlah kedua dadu tersebut = 6 Andi seorang mahasiswa Teknik Elektro UIN suska akan menjawab 5/50 =0.1 Budi temannya menjawab 0.139 berdasarkan perhitungan pasangan dadu 4 10 6 7 5 11 3 8 9 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Aksioma Probabilitas P(S)=1 0  P(E)  1 Untuk 2 buah event E1 dan E2 dengan E1 ∩ E2 =  P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) Probabilitas bersyarat (Kondisional) Misalkan event A memberikan kondisi bahwa suatu outcome telah memenuhi syarat. Maka probabilitas dapat diperbaiki untuk memasukan pengetahuan ini. Probabilitas dari suatu event B dengan memperhatikan pengetahuan tersebut, maka outcome akan memenuhi event A dinotasikan sebagai berikut: P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A) di mana P(A) > 0 Ini disebut dengan probabilitas B pada saat event A diketahui. Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Mutually Exclusive Dua buah event dikatakan mutually exclusive (disjoint) jika mereka tidak dapat muncul bersamaan dalam satu waktu Jika A dan B adalah event mutually exclusive, maka P(A U B) = P(A) + P(B) Kumpulan event E1, E2, …, Ek dikatakan mutually exclusive jika untuk seluruh pasangan Ei ∩ Ej =  sehingga P(E1 U E2 U…U Ek) = P(E1) + P(E2)+…+ P(Ek) Independen Dua buah event saling independen jika salah satu syarat berikut terpenuhi: P( A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A∩B) = P(A) P(B) Event E1, E2, …, En adalah independen jika dan hanya jika untuk sembarang subset dari event Ei1, Ei2, …, Eik, P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ … ∩ Eik) = P(Ei1) x P(Ei2) x … X P(Eik) Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Contoh soal 11: Di dalam ruang teater terdapat 100 orang penonton. Misalkan event A adalah penonton berusia muda dan event B adalah penonton wanita. Berdasarkan hasil statistik tabel berikut carilah: P(A) P(B) P(A | B) P(B |A) Jawab: P(A) = 0.86 P(B) = 0.79 P(A|B) = P(A,B)/P(B) = 0.70/0.79 = 0.886 P(B|A) = P(A,B)/P(A) = 0.70/0.86 =0.814 Usia Muda Tua Jenis kelamin Wanita 70 9 Pria 16 5 Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Aturan perhitungan probabilitas Pengurangan : Probabilitas bahwa event A terjadi adalah sebanding dengan 1 dikurang dengan probabilitas bahwa event A tidak akan terjadi P(A) = 1 – P(A’) Perkalian : Probabilitas bahwa event A dan B sama-sama terjadi adalah sebanding dengan probababilitas bahwa vent A terjadi dikali dengan probabilitas bahwa event B terjadi, jika event A telah terjadi sebelumnya. P(A ∩ B) = P(A) P(A | B): Penjumlahan (join probability): Probabilitas bahwa event A atau Event B terjadi sebanding dengan probabilitas bahwa event A ditambah event B dikurangi dengan propabilitas bahwa kedua event A dan B terjadi. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Teori probabilitas diskrit Teorama Bayes Misalkan A1, A2,… An adalah set event yang mutually exclusive yang membentuk ruang sampel S. Misalkan B adalah sembarang event dari ruang sampel yang sama sehingga P(B) > 0, maka : Kapan teorama Bayes digunakan? Ruang sampel dibagi-bagi menjadi set-set event yang mutually exclusive Dengan ruang sampel yang sama terdapat event B, dimana P(B) >0 Tujuan analisa adalah untuk menghitung P(Ak | B) Salah satu informasi dibawah ini diketahui: P( Ak ∩ B ) untuk setiap Ak P( Ak ) and P( B | Ak ) untuk setiap Ak Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012

Responsi #2 Sebuah uang logam terdiri dari G (gambar) atau A (angka), dilemparkan ke udara sebanyak 3 kali. Berapakah peluang gambar akan muncul pertama kalinya? Suatu hari sebuah pabrik dapat menghasilkan 850 produk. Tetapi 50 diantaranya cacat produksi. Misalkan A adalah event bahwa produk pertama cacat, dan B adalah event bahwa produksi kedua cacat (52). Apakah A dan B saling independen? Berapakah P(B)? Peluang sebuah resistor tidak rusak adalah 0.9 dan kapasitor 0.8. Jika sebuah rangkaian seri terdiri dari resistor dan kapasitor, berapakah peluang rangkaian tersebut berfungsi dengan baik. Sebuah stasiun BBM, memiliki 2 buah mesin pompa (A dan B). Pompa A hanya bisa melayani kendaraan roda 2 dengan peluang berfungsi 0.75 karena jalurnya yang sempit, sedangkan pompa B dapat melayani semua kendaraan dengan peluang berfungsi 0.9. Berapakah peluang bahwa roda 4 tidak dilayani sama sekali? Berapakah peluang bahwa stasiun tersebut harus tutup sementara? Elektro - UIN SUSKA Update : Maret 2012