Optimasi ekonomi 1. Memaksimalkan nilai perusahaan 2. Metode metode pengekpresian hubungan ekonomi 3. Kalkulus deferensial dan kaidah-kaidah penurunan fungsi 4. Memaksimalkan dan meminimalkan fungsi 5. Optimasi Fungsi dengan variabel majemuk

Memaksimalkan nilai perusahaan Memaksimumkan nilai perusahaan merupakan tujuan utama perusahaan : TR = P . Q Faktor-faktor dari TR harus diperhatikan dalam pembuatan keputusan manajerial, termasuk pemilihan produk yang dirancang, pengalamannya dan penjua-lannya; strategi periklanan, kebijaksanaan harga yang ditetapkan; bentuk perekononomian yang dihadapinya, dan sifat persaingan yang dihadapi. Singkatnya, hubungan TR tersebut menyangkut pertimbangan-pertibangan permintaan dan penawaran.

Demikan halnya hubungaanya dengan biaya adalah kompleks Demikan halnya hubungaanya dengan biaya adalah kompleks. Analisis biaya, memerlukan sistem penelaahan sistem produksi yang alternatif, pilihan teknologi, harga faktor2 prod., yang semuanya penting dalam biaya produksi. Dan oleh karenanya masalah penawaran faktor produksi penting dipertimbangkan. Faktor yang mempengaruhi biaya dan tersedianya sumber keuangan bagi perusahaan dan akhirnya menentukan tingkat diskonto yang digunakan para investor untuk menetapkan “nilai perusahaan” Untuk menentukan tindakan yang optimal, maka keputusan-keputusan berkenaan dengan pemasaran, produksi, keuangan, SDM, distribusi produksi, dll, digabungkan dalam suatu sistem yang terpadu dimana setiap tindakan mempengaruhi seluruh bagian di perusahaan.

Kompleksitas analisis pengambilan keputusan ini mengendalai penerapannya. Untuk ini dibutuhkan analisis “optimasi parsial”, misalnya dalam pemasaran, produksi. Sebagai keputusan yang menyeluruh, sebaliknya keputusan yang general lebih baik Tindakan – tindakan yang perlu diambil oleh pimpinan : 1. Menyajikan hubungan ekonomi dalam suatu bentuk yang dapat dianalisis. 2. Seseorang harus menerapkan berbagai teknik untuk menentukan penyelesaian yang optimal

METODE PENYAJIAN HUBUNGAN EKONOMI Hubungan ekonomi sering diungkapkan dalam persamaan, tabel dan grafik. Tabel dan Grafik biasanya digunakan untuk hubungan yang sederhana, tetapi untuk hubunga n kompleks digunakan model persamaan. Contoh hubungan Persamaan : TR = f(Q) ► hubungan fungsional lebih khusus TR = P.Q TR = Rp 150 x Q

Contoh model Tabel dan Grafik : Dari contoh pesamaan di atas dapat dibuat tabel dan Grafik Jumlah unit yang terjual Total Revenue (TR = 150 x Q) 1 2 3 4 5 6 Rp 150 Rp 300 Rp 450 Rp 600 Rp 750 Rp 900

Hubungan Antara Nilai Total, Average dan Marginal Hubungan antara Nilai Total, Average dan Marginal sangat berguna dalam analisis optimasi. Pengertian total dan average sudah umum diketahui, tetapi untuk hubungan marginal perlu kita mengetahui definisinya. Hubungan marginal didefinisikan sebagai penambahan variabel dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu unit variabel independen sebesar satu unit . Secara khusus kita menganalisis suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai variabel indepen-den serta pengaruhnya terhadap variabel dependen. Tujuan analisis ini adalah untuk menentukan nilai dan variabel-variabel independen yang bisa mengoptimal-kan fungsi tujuan para pembuat keputusan

Unit Output terjual (Q) Hubungan antara Nilai Total dengan Marginal Unit Output terjual (Q) Laba Total marginal Rata-rata 1 2 3 4 5 6 7 8 Rp 0 Rp 19 Rp 52 Rp 93 Rp 136 Rp 175 Rp 210 Rp 217 Rp 208 - Rp 19 Rp 33 Rp 41 Rp 43 Rp 39 Rp 35 Rp 7 Rp –9 Rp 26 Rp 31 Rp 34 Kolom 1 dan 2 data hubungan output dan laba total Kolom 3, perubahan laba total dengan adanya perubahan output satu unit Kolom 4, laba setiap satu unit output (rata- rata) Hubungan antara nilai marginal dengan nilai total dalam analisis pengambilan keputusan berperan penting, karena jika nilai marginal tersebut posistif, maka nilai total (laba total) meningkat, dan jika nilai marginal tersebut negatif, maka nilai total akan menurun.

Unit Output terjual (Q) Hubungan antara Nilai Rata-Rata dengan Marginal Unit Output terjual (Q) Laba Total marginal Rata-rata 1 2 3 4 5 6 7 8 Rp 0 Rp 19 Rp 52 Rp 93 Rp 136 Rp 175 Rp 210 Rp 217 Rp 208 - Rp 19 Rp 33 Rp 41 Rp 43 Rp 39 Rp 35 Rp 7 Rp –9 Rp 26 Rp 31 Rp 34 Ketika laba marginal meningkat sampai Q ke 5 sebesar 39, laba rata-rata meningkat pula sebesar 35. Ketika laba marginal mulai menurun 35, 7 dan bahkan –9, maka laba rata-rata semula sama sebesar 35, setelah itu menurun sebesar 31, 26. dan inilah hubungan istimewa antara laba marginal dan laba rata-rata.

Penggambaran hubungan antara Nilai total, Marginal dan Rata-rata Total laba Hubungan aritmatis contoh di atas dapat pula digambarkan hubungan geometris, sbb : Titik E Total laba puncak laba marginal- nya nol Titik D slope dari Total laba (ray line) paling besar sehingga Laba rata-rata puncak Titik C slope dari Total Laba (bukan ray- line) paling besar sehingga marginal laba puncak E D C C D A B Laba rata-rata Laba marginal E

KALKULUS DIFFFERENSIAL DAN KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN FUNGSI Kalkulus Diferensial Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep hubungan ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok untuk digunakan dalam proses pemecahan masalah . Salah satu alasan adalah bahwa teknik analisis kalkukulus diferensial bisa digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi secara efisien melalui analisis marginal. Selain itu konsep kalkulus dasar mudah dikembang-kan untuk masalah pengambilan keputusan di mana pilihan-pilihan yang ada dibatasi oleh beberapa kendala. Oleh karena itu, pendekatan kalkulus ini sangat bermanfaat bagi masalah optimasi terkendala yang merupakan ciri dari proses pembuatan keputasn managerial

Kaidah-kaidah Penurunan Fungsi 1. Kaidah Konstata Y = 2 2. Kaidah Pangkat

3. Kaidah Penjumlahan dan Selisih U = f(X) V = h(X), oleh karena itu jika Y = U + V, maka :

4. Kaidah Perkalian Turunan ini sama denganyang di atasnya, maka :

5. Kaidah Pembagian

Contoh Perhitungan Usaha PPS TC = ⅓Q3 – 2Q2 + 4,75Q + 1  (diketahui) ATC = ⅓Q2 – 2Q + 4,75 + 1/Q MC = Q2 – 4Q + 4,75 AR = 3  (diketahui) TR = P.Q = 3Q MR = 3 L= 3Q – (⅓Q3 – 2Q2 + 4,75Q + 1) L = 3Q – ⅓Q3 + 2Q2 – 4,75Q – 1 L = – ⅓Q3 + 2Q2 – 1,75Q – 1 Q TC ATC MC AR = MR TR Laba 1 4,75 3 -1 0,5 2,92 5,83 1,5 - 1,42 4,08 1,75 -1,08 3,17 4,5 - 0,25 2 5,17 2,58 0,75 6 0,83 2,5 5,58 2,23 7,5 1,92 6,25 2,08 9 2,75 3,5 7,42 2,12 10,5 3,08 4 9,33 2,33 12 2,67 12,25 2,72 7 13,5 1,25 5 16,42 3,28 9,75 15 -1,42 Laba Makisumum jika : dL / dQ = 0 (first order) d2L/dQ2 < 0 (scond order) d2L/dQ2 = -2Q + 4 Q=3,5  L’’ = -2(3,5) + 4 = - 3 Lmax Q=0,5  L’’ = -2(0,5) + 4 = + 3 R max

MC Q TC ATC MC AR = MR TR Laba 1 4,75 3 -1 0,5 2,92 5,83 1,5 - 1,42 4,08 1,75 -1,08 3,17 4,5 - 0,25 2 5,17 2,58 0,75 6 0,83 2,5 5,58 2,23 7,5 1,92 6,25 2,08 9 2,75 3,5 7,42 2,12 10,5 3,08 4 9,33 2,33 12 2,67 12,25 2,72 7 13,5 1,25 5 16,42 3,28 9,75 15 -1,42 ATC AR = MR Laba

Optimasi Usaha Monopoli (Keseimbangan usaha) L = TR - TC L max., jika : dL/dQ = 0 (first order) dTR/dQ – dTC/dQ = 0 MR - MC = 0 MR = MC d2L/dQ2 < 0 (scond order) TC TR Contoh : P = 6 – 0,8 Q  TR = 6Q – 0,8Q2 TC = ⅓ Q3 – 2Q2 +4,75Q + 2 Qe = ? Dan Laba maksimum = ? MC Jawab : MR = MC 6 – 1,6Q = Q2 - 4Q + 4,75 Q2 – 2,4Q - 1,25 = 0 Q1,2 = [2,4 + {(2,4)2 – 4(1)(-1,25)}0,5]/2 Q1 = 2,840122 Q2 = - 0,44012 (imposible) L = TR - TC = 6(2,84) – 0,8(2,84)2 – (⅓ (2,84)3 – 2(2,84)2 +4,75(2,84) + 2 = 3,593285 ATC Laba = Rp 3,59 ◉ AR MR Rp 3,59 ◉ 2,84 Laba

OPTIMASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK Hampir hubungan ekonomi mennggunakan dua atau lebih variabel, maka kita memperluas konsep deferensiasi nya : Q = f (P, A) - konsep kalkulus , dengan menganggap pengaruh seluruh independen lainnya konstan. Kaidah yang kita gunakan sama dengan turunan yang sederhana biasa Misal : Y = 10 – 4X + 3XZ – Z2 . Ada variabel Y = dependend X dan Z = Independen Turunan parsialnya :

Maksimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk Syarat maksimasi (atau minimasi) dari fungsi dengan variabel majemuk merupakan secara langsung dari fungsi dengan variabel tunggal . Semua turunan parsial pertama harus sama dengan nol. Perhatikan contoh berikut ini : Y = 4X + Z – X2 + XZ – Z2 2 + 1/2 Z = – 1 + 2 Z 11/2 Z = 3 Z = 2 X = 3 Y Y = 4X + Z – X2 + XZ – Z2 = 4(3) + 2 – 32 + (3)(2) – 22 = 7 unit Z 7 2 X 3

OPTIMASI TERKENDALA Manager produksi ditugaskan untk mengejar biaya mnimum (TC) untuk sejumlah produk tertentu. Pada waktu lain manager tersebut juga dituntut untuk produksi semaksimal mungkin dengan sejummlah input tertentu. Demikian juga dibagian lain , misalnya bagian pemasaran dituntut untuk penjualan yang maksimal dengan biya reklame seminimal mungkin. Inilah gambaran untuk mencapai tujuan pasti ada kendala atau tunduk pada kedala tertentu. Seperti terlihat pad dibawah ini : Masalah maksimasi Masalah minimasi Maksimasi : Laba, Penerimaan atau Output Tunduk kepada Kendala Sumberdaya Minimasi : Biaya Produksi / Ongkos Produksi Kendala Kuantitas atau kualitas output

Tampak ada kaitan erat sekali formulasi maksimasi dan minimasi pada masalah optimasi terkendala dengan penggunaan sumberdaya langka secara optimal.Banyak contoh-contoh dalam eokonomi dalam kasus ini Perhatikan Contoh berikut : TC = 3X2 + 6Y2 – XY X merupakan output dari pabrik pertama dan Y merupakan output dari pabrik kedua Produk Total = 20 unit (X + Y = 20), sebagai kendalanya Maka masalah terkedala tersebut dapat ditulis sbb : Minimumkan : TC = 3 X2 + 6Y2 – XY Kendala : X + Y = 20 X = 20 – Y dan TC = 3 X2 + 6Y2 – XY TC = 3 (20 – Y)2 + 6Y2 – (20 – Y)Y TC = 3(400 – 40Y +Y2)+ 6Y2 – 20Y – Y2 TC = 1200 – 120Y+ 3Y2 + 6Y2 + Y2 TC = 1200 – 140 Y + 10 Y2

Sekarang kita bisa menganggap persamaan diatas sebagai ma-salah mininmisasi yang tak terkedala. Untuk menyelesaikan harus dicari turunannnya, yang menyamakan turunan tsb. dengan nol TC = 1200 – 140 Y + 10 Y2 Berhubung turunan ke dua hasilnya positif maka sudah dapat dipastikan bahwa7unit itu itu merupakan titik minimum dari biaya. Kalau kita substitusikan nilai 7 kedalam persamaan kendala menmungkinkan kuantitas optimum yang diproduksi oleh pabrik X X + 7 = 20 X = 20 – 7 = 13 Dan jika kita substitusikan kedalam persamaan TC kita akan dapat menghitung biaya minimal tersebut : TC = 3(13)2 + 6(7)2 – (13x7) = Rp. 710

Angka Pengganda Lagrange Teknik substitusi di atas tidak selalu dapat digunakan dengan baik. Kadang-kadang kendala telalu banyak dan komplek. Dalam kasus ini teknik angka pengganda Lagrange dapat dimanfaatkan. Teknik Lagrange untuk memecahkan optimasi terkendala adalah suatu cara untuk mengoptimalkan suatu fungsi dengan cara : menggabungkan fungsi tujuan dengan fungsi kendala . Fungsi gabungan ini disebut fungsi Lagrange. Maksimumkan : TC = 3 X2 + 6Y2 – XY Kendala : X + Y = 20 L = 3 X2 + 6Y2 – XY + λ (20 – X – Y)

L = 3 X2 + 6Y2 – XY + λ (20 – X – Y) X + Y = 20 13/7Y + Y = 20 6X - Y = 12 Y – X 7X = 13Y X = 13/7 Y Nilai angka pengganda (λ) memiliki suatu iterpretasi ekonomis yang sangat penting. Disini kita dapat mengiterpretasikan bahwa λ sebagai MC pada tingkat output sebesar 20 unit. Ini menunjukkan kepada kita jika perushaan diharuskan memproduksi 19 unit, maka TC akan turun Rp 71 unit dan jika perusahaan diharuskan memproduksi 21 unit, maka TC meningkat sebesar Rp 71 X + Y = 20 13/7Y + Y = 20 20/7Y = 20 Y = 7 unit dan X = 13 unit λ = 6X – Y = 12 Y – X = 6(13)– 7=12(7)–13= 71 unit

BUKTI λ SEBAGAI MC TC = w T + r C Q = a Tb Cc L = w T + r C + λ (Q - a Tb Cc)

LATIHAN 2 1. Fungsi produksi yang dihadapi seorang produsen ditunjukkan oleh Y = 150 X2 – 2X3, dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. a) Bentuklah fungsi produk rata-ratanya. b) Berapa produk total dan produk rata-rata jika digunakan 70 unit input ? c) Berapa produk marginal jika input ditambah 1 unit ? 2. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh pesamaan TC = Q3 – 90Q2 + 250 Q + 56.500. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marginalnya minimum ?. Berapa besarnya biaya marginnal minimum tersebut ?, berarapa pula besarnya biaya total pada tingkat produksi tersebut ? 3. Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan P = 100 – 4Q dan biaya totalnya TC = 50 + 20Q. Hitunglah tingkat produksi yang menghasilkan laba maksimum, berapa besarnya laba maksimum tersebut dan harga barang yang dijual pada laba masimum tsb. ?

4. Buktikanlah bahwa untuk fungsi biaya total TC = 0,5Q3 – 20Q2 + 250Q, biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal. 5. Andaikan fungsi produksi suatu macam barang dirumuskan dengan Q = K5/8 L3/8 . Jika harga input K dan L masing-masing adalah Rp 5,00 dan Rp 3,00 per unit , sedangkan produsen ingin memproduksi 10 unit output , carilah berapa unit masing-masing input sebaiknya digunakan agar ia berada dalam keseimbangan (biaya produksi minimum) 6. Andaikan kepuasan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas U = X3 Y2. jika konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar Rp 4.000,00 untuk membeli X dan Y masing-masing dengan harga Rp 150,00 dan Rp 200,00 perunit, hitunglah berapa unit X dan Y seharusnya ia beli agar kepuasannya maksimum. oo0oo

Jawab : Y = 150 X2 -2X3 Y = Output b) TP = 150(70)2 – 2(70)3 o X = jumlah input a) AP = 150 X – 2 X2 b) TP = 150(70)2 – 2(70)3 o = 735.000 – 686.000 = 49.000 unit AP = 150X – 2X2 = 150(70) – 2(70)2 = 700 unit c) MP0 = 300X – 6X2 = 300(70) – 6(70)2 = – 8.400 MP1 = 300(71) – 6(71)2 = – 8.946

TC = Q3 – 90Q2 + 250Q + 56500 a) MC = 3Q2 – 180Q +250 = 0

b) MC = 3Q2 – 180Q +250 = 3(58,577738)2 – 180(58,577738) + 250 = 0,061328 c) TC = Q3 – 90Q2 + 250Q + 56500 = (58,577738)3 – 90(58,57738)2 +250(58,577738) +56.500 = 201000,802662 – 308821,625028 +14644,4345 + 56500 = – 36676,387866

P = 100 – 4Q TR = 100Q – 4Q2 MR = 100 – 8Q TC = 50 + 20Q MC = 20 MR = MC 100 – 8Q = 20 8Q = 80 Q = 10 unit (laba max.) L = TR – TC = 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 100(10) – 4(10)2 – 50 – 20(10) = $ 350 AR = 100 – 4Q = 100 – 4(10) = $ 60

TC = 0,5Q3 – 20Q2 + 250Q ATC = 0,5Q2 – 20Q + 250 ∆ATC/∆Q = 0 Q – 20 = 0 Q = 20 unit ATC = 0,5(20)2 - 20(20) + 250 = 50 MC = 1,5Q2 – 40Q + 250 = 1,5(20) 2 – 40(20) + 250 Jadi pada Q = 20 unit ATC = MC = $ 50

Slope Isoquant = Slope BL Maximize : C = 5 K + 3 L Kendala : 10 = K5/8 L3/8 Slope Isoquant = Slope BL Jadi masing-masing input yang sebaikny a digunakan adalah K = 10 unit L = 10 unit Dan total biaya produksi adalah ; TC = 5 K + 3 K = 5(10) + 3(10) = 80

U = X3 Y2 4.000 = 150X +200Y MUx/Px = MUy/Py 3X2Y2/150 = 2X3Y/200 600X2Y2 = 300X3Y 2X2Y2 = X3Y X3Y / X2Y2 = 2 X / Y = 2 X = 2Y = 150(2Y) + 200Y 500Y = 4.000 Y = 8 X = 16 Jadi : barang X dibeli 16 unit barang Y dibeli 8 unit Sehingga Kepuasannya maximum Sebesar : U = X3 Y2 = 163 . 82 = 262144 utils