Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI BIM STKIP ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP Materi Pokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi 2. Teorema Ke Materi Ketiga

Homomorfisma Sering kali dijumpai adanya dua buah Grup yang memiliki struktur yang sama, seperti pada Grup multifikatif (perkalian) dari himpunan bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan Grup dari matriks-matriks terhadap perkalian matriks, yang memiliki daftar Cayley yang sama atau identik.

Jika himpunan bilangan kompleks kita misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan Grup dari matriks-matriks kita misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar Cayley dapat kita buat seperti pada tabel dibawah. . e a b c . E A B C

Dari tabel di atas dapat kita lihat adanya perpadanan satu-satu (1 – 1) antara unsur-unsur dari Grup empat bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan Grup matriks sedemikian hingga jika x perpadanan dengan x’ dan y berpadanan dengan y’ maka xy berpadanan dengan x’y’, dikatakan perpadanan tersebut sebagai mengawetkan hasilkali. Dapat disimpulkan dari daftar Cayley bahwa kedua Grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat yang sama atau identik, yang dinamakan Isomorpik.

Definisi Bila (S, .) dan (T, .) adalah merupakan dua Grup, maka fungsi π : S  T disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a.b) = π(a) . π(b), ∀ a, b ∈ S Bila grup-grup tersebut memiliki operasi berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi π : (S,*)  (T,o) disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a * b) = π(a) o π(b), ∀ a, b ∈ S

Definisi Monomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang injektif. Epimorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang surjektif. Isomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang bijektif.

Definisi Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.

Contoh Tunjukan bahwa Grup (Z2 ,+) dan (H = {-1, 1}, Contoh Tunjukan bahwa Grup (Z2 ,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. Penyelesaian : Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) Dari tabel diatas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. + 1 + -1 1

Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik.

Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan π : (Z2,+)  (H, Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan π : (Z2,+)  (H, .), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan π(0) = 1 dan π(1) = -1, sehingga : π(a + b) = π(a) . π(b) π(0 + 1) = π(0) . π(1) π(1) = 1 . -1 -1 = -1 Jadi terbukti bahwa π : (Z2,+)  (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.

Contoh Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan π : Z  Z adalah π(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. Penyelesaian : Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma : Misalkan x, y ∈ Z, maka π(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y π(x + y) = π(x) + π(y) Sehingga π adalah suatu Homomorfisma.

Dalam hal ini Homomorfisma π merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri.

Thank You ! Selamat Belajar