LINEAR PROGRAMMING

Model Programasi Linear Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal

Fungsi-Fungsi Dalam PL Fungsi Tujuan (objective function) Fungsi yang menyatakan tujuan yang akan dicapai, dapat berupa laba maksimal atau biaya minimal

2. Fungsi Kendala (contrains or subject to) Fungsi yang menyatakan batasan atau kendala dari faktor produksi yang dimiliki Simbol yang digunakan : <, >, = 3. Fungsi Status (status function) Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif

Asumsi Dasar PL Certainty Angka yang diasumsikan dlm f.tujuan dan f.kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari 2. Proporsionality Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional

3. Additivity Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 4. Divisibility Jumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat 5. Non-negatif variable Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d mustahil)

Fungsi Matematika untuk Masing-masing Fungsi Fungsi Tujuan Maks. Laba Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 2. Fungsi Kendala a11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2 .. .. .. .. am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bn Fungsi Status x1 ; x2 ……………….. Xn > 0

Metode-Metode Dlm PL

Perbedaan Metode Solusi Karakteristik pada formulasi masalah Grafis Simpleks Big – M Jumlah Variabel 2 > 2 Jenis fungsi tujuan maksimisasi dan minimisasi Jenis fungsi kendala semua bentuk Pertidak-samaan bertanda “ < “ Pertidaksamaan bertanda “ > “ atau persamaan “=“

METODE GRAFIK metode digunakan untuk permasalahan dengan jumlah variabel sebanyak dua, dengan tanda pertidaksamaan pada fungsi kendala bebas

Contoh Soal Sebuah perusahaan pabrikasi hendak memproduksi 2 buah produk, yaitu x1 dan x2 yang masing-masing memberikan laba bersih sebesar Rp.4000, - dan Rp.5000,- per unitnya. Untuk membuat kedua produk tersebut diperlukan 2 buah bahan baku (bb), yaitu bb-A dan bb-B. Bahan baku A tersedia maksimal 12 ton dan bahan baku B tersedia tidak boleh lebih dari 24 ton. Setiap unit produk x1 memerlukan 1 ton bb-A dan 4 ton bb-B. Sedang setiap unit produk x2 memerlukan 3 ton bb-A dan 3 ton bb-B. Buatlah formulasi persoalan tersebut, dan hitunglah berapa komposisi jumlah bb-A dan bb-B yang digunakan agar perusahaan mendapatkan keuntungan maksimal ?

Matriks Persoalan Uraian Produk X1 X2 Tanda Kendala kapasitas Bb-A 1 3 < 12 Bb-B 4 24 Laba (000 Rp) 5 -

Formulasi Persoalan x1 = Jumlah produk x1 F. Tujuan : Maks. Laba Z = 4x1 + 5x2 F. Pembatas : x1 + 3x2 < 12 ( bb-A ) 4x1 + 3x2 < 24 ( bb-B ) F. Status : x1 ; x2 > 0

Penyelesaian Aljabar Analitik x1 + 3x2 < 12 Jika x1 = 0 x2 = 4 Jika x2 = 0 x1 = 12 4x1 + 3x2 < 24 Jika x1 = 0 x2 = 8 Jika x2 = 0 x1 = 6

Grafik 8 (8,0) 6 (4,0) 4 ( 4, 2 2/3) 2 (6,0) (12,0) 0 2 4 6 8 10 12 14 Jadi, untuk mendapatkan laba maks, perusahaan harus memproduksi 4 unit produk x1 dan 2 2/3 unit produk x2, sehingga diperoleh laba maksimal sebesar Rp.29.338,33 Daerah Feasible

Metode Simpleks Digunakan untuk permasalahan dengan jumlah variabel sebanyak dua atau lebih, dengan tanda pertidaksamaan pada fungsi kendala adalah kurang dari atau sama dengan

Langkah-Langkah Metode Simpleks Primal 1. Ubahlah tanda pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan (<) yang terdapat pada persamaan fungsi kendala menjadi tanda sama dengan (=). Caranya dengan memasukkan variabel slek (slack variable atau S) yang bernilai positif. Adapun banyaknya variabel slek tersebut bergantung pada fungsi kendala. Dalam contoh soal, ada 2 buah tanda < pada persamaan fungsi kendala. Jadi gunakan +S1 dan +S2. F/tujuan : Zmax = 4x1 + 5x2 F/kendala : x1 + 5x2 + S1 …….. = 12 4x1 + 3x2 ….. + S2 …= 24 F/status : x1 ; x2 …………….. > 0

2. Kemudian varibel-variabel slek tadi kita tambahkan pada persamaan fungsi tujuan tetapi koefisiennya nol. F/tujuan : Zmax = 4x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 F/kendala : x1 + 5x2 + S1 …….. = 12 4x1 + 3x2 ….. + S2 …= 24 F/status : x1 ; x2 ………………. > 0 3. Kesemua variabel tadi, baik varibel keputusan ( x1 dan x2 ) maupun varibel slek ( S1 dan S2 ) tidak boleh negatif nilainya atau harus > nol. F/tujuan : Zmax = 4x1 + 5x2 + 0S1 + 0S2 F/kendala : x1 + 5x2 + S1 …….. = 12 4x1 + 3x2 ….. + S1….= 24 F/status : x1 ; x2 ; S1 ; S2 …… > 0

4. Hasil langkah ke-1 s.d ke-3, masukkan ke dalam tabel simpleks primal ( tabel 1) 5. Tentukanlah variabel dasarnya, yaitu varibel yang besarnya sama dengan nilai sisi kanan pada fungsi kendala pada saat belum dihasilkan produk. 6. Lakukanlah langkah iterasi. Hitunglah nilai-nilai baris Z iterasi ke-1 7. Hitunglah nilai-nilai pada baris C-Z pada iterasi ke-1 8. Tentukanlah variabel masuk (entering variabel) atau produk yang akan dibuat terlebih dahulu, yaitu dengan cara memilih nilai C-Z yang terbesar (karena fungsi tujuan adalah maksimisai laba) Pada contoh soal, variabel masuk adalah x2 ( x2 berada satu kolom dengan angka 5 )

9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan variabel masuk 10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus : Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci ) 11. Tentukan varibel keluar (leaving variabel), yaitu dengan cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif. Pada contoh soal, leaving variabel adalah S1 ( S1 berada satu baris dengan niali rasio yang terkecil dan positif ) 12. Tentukan baris kunci 13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci. Pada contoh soal yaitu angka 3. Kemudian angka kunci tsb nilainya dijadikan nilai 1, dan disebut “pivot”. Karena angka kunci untuk menjadi pivot dibagi g=dgn bil. 3, maka seluruh angka pada baris kunci juga dibagi dengan 3

14. Hitunglah nilai-nilai pada baris 0S2 pada iterasi ke-2 ( baris S2 baru ) dengan cara : Baris S2 lama : 4 3 0 1 24 Baris Pivot : 3(1/3 1 1/3 0 4) - Baris S2 baru : 3 0 -1 1 12 15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru 16. Hitung pula nilai C-Z yang baru 17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilai positif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena solusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18. 18. Ulangilah langkah sejak langkah 8

Tabel Iterasi Iterasi ke- C Var. Dasar 4 5 Nilai Kanan Rasio X1 X2 S1 Nilai Kanan Rasio X1 X2 S1 S2 1 3 12 12/3 = +4 24 24/3 = +8 Z C-Z - 2 1/3 4/(1/3) = +12 -1 5/3 20 20/(5/3) = +12 7/3 -5/3 4/9 -1/9 8/3 -1/3 8/9 7/9 88/3 -8/9 -7/9

Latihan Soal 1 CV Agri Top memproduksi dua buah produk berbahan dasar stroberi, yaitu sirup stroberi dan minuman segar stroberi, yang masing-masing menghasilkan laba bersih sebesar Rp.4000,00 dan Rp.5000,00. Kedua produk tersebut dihasilkan di dua divisi yaitu divisi produksi dan divisi pengemasan, dimana waktu yang tersedia di divisi pengemasan paling banyak 12 jam, sedangkan di divisi produksi maksimal 24 jam. Untuk memproses sirup stroberi di divisi pengemasan dibutuhkan waktu 1 jam, dan untuk minuman stroberi dibutuhkan waktu 3 jam. Sedangkan untuk memproses sirup stroberi di divisi produksi dibutuhkan waktu 4 jam, dan untuk minuman stroberi 3 jam. Dengan menggunakan metode simpleks, berapa komposisi jumlah sirup stroberi dan minuman stroberi yang harus diproduksi perusahaan agar keuntungan yang diperolehnya maksimal ?

Latihan Soal 2 PT Beauty Auto memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah Rp.5 juta/menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah Rp.10 juta/menit. JIka perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria. Dengan menggunakan metode grafis, berapa menit komposisi jumlah promosi pada acara hiburan dan pada acara olah raga yang paling baik agar biaya promosi yang dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin ?