Industrial Engineering Operations Research Industrial Engineering

Analisa Sensitivitas

Pengaruh Perubahan Perubahan yang mempengaruhi optimalitas Perubahan koefisien tujuan Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan Penambahan kegiatan baru (penambahan variabel) Perubahan yang mempengaruhi kelayakan Perubahan RHS Penambahan batasan baru Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan Perubahan koefisien tujuan dan RHS secara simultan

Analisa Sensitivitas: Simpleks

Informasi dari Tabel Optimal Simpleks Solusi Optimal Status Sumber Daya Shadow Price Reduced Cost Sensitivitas dari hasil solusi optimal terhadap perubahan ketersediaan sumber atau perubahan koefisien fungsi tujuan

Contoh Soal Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan baku, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan baku per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor?

Ton Bahan baku per Ton Cat Ketersediaan maksimum (ton) Contoh Soal (Tabel 1) Ton Bahan baku per Ton Cat Ketersediaan maksimum (ton) Eksterior Interior A 1 2 6 B 8

Contoh Soal X1 = cat eksterior yang harus diproduksi X2 = cat interior yang harus diproduksi Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X1 + 2000 X2 Batasan bahan baku Bahan baku A maksimum 6 ton per hari X1 + 2 X2 ≤ 6 Bahan baku B maksimum 8 ton per hari 2 X1 + X2 ≤ 8

Contoh Soal Batasan permintaan harian Batasan non negativitas Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior X2 – X1 ≤ 1 Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X2 ≤ 2 Batasan non negativitas X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

Contoh Soal max z = 3000 X1 + 2000 X2 Subject To: X1 + 2 X2 ≤ 6

Contoh Soal: Bentuk Standar max z = 3 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 Subject To: X1 + 2 X2 + s1 = 6 2 X1 + X2 + s2 = 8 – X1 + x2 + s3 = 1 X2 + s4 = 2 X1, X2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

Variabel Slack s1 = sisa bahan baku A s2 = sisa bahan baku B s3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat eksterior (X2 – X1) terhadap batas maksimum selisih yang ditentukan s4 = selisih batas maksimum permintaan cat interior (X2) terhadap produksinya

Penyelesaian dengan Simpleks

Tabel Optimal Simpleks Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS 1 1/3 4/3 12 2/3 2/3 -1/3 10/3 -1 3 -2/3

Solusi Optimal Variabel Keputusan Nilai Optimal Keputusan X1 3 1/3 Harus memproduksi 3 1/3 ton cat eksterior X2 1 1/3 Harus memproduksi 1 1/3 ton cat interior Z 12 2/3 Keuntungan maksimum adalah $12.667

Status Sumber Sumber Slack Status Sumber Bahan A s1 = 0 (NBV) Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah Bahan B s2 = 0 kelebihan cat interior dibandingkan cat eksterior s3 = 3 Melimpah, selisih maksimum (X2 – X1) adalah 1, tetapi hasil optimal menunjukkan selisih kurang dari 1 batas maksimum permintaan cat interior s4 = 2/3 Melimpah, permintaan cat interior maksimum adalah 2, tetapi hasil optimal menunjukkan X2 kurang dari 2

Shadow Price Shadow Price hanya berlaku untuk sumber daya yang nilai variabel slacknya 0. y1 = 1/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan A, nilai Z akan bertambah $1/3ribu y2 = 4/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan B, nilai Z akan bertambah $4/3ribu

Shadow Price

Shadow Price

Reduced Cost Hanya berlaku untuk variabel yang bernilai 0 Pada kasus Reddy Mikks X1 dan X2 tidak nol sehingga tidak ada informasi reduced cost

Contoh Reduced Cost max z = 8 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau max z - 8 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 Subject To: X1 + 2 X2 + s1 = 6 2 X1 + X2 + s2 = 8 – X1 + x2 + s3 = 1 X2 + s4 = 2 X1, X2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

Contoh Reduced Cost Dari tabel optimal, X2 sebagai non basic variable, sehingga bernilai 0 (cat interior tidak diproduksi sama sekali) Reduced cost X2 + 2 = 0 (atau reduced cost X2 = -2); setiap pemaksaan produksi 1 ton X2 akan mengurangi keuntungan sebanyak $2000

Contoh Reduced Cost

Contoh Reduced Cost

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya (RHS) s1 = 0, bahan A bisa ditambah/dikurangi D1 > 0 (positif) jika bahan A ditambah D1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi s2 = 0, bahan B bisa ditambah/dikurangi D2 > 0 (positif) jika bahan B ditambah D2 < 0 (negatif) jika bahan B dikurangi

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Perubahan nilai bi (nilai ruas kanan) di tabel optimal akibat penambahan ketersediaan bahan A sebesar D1: bi’ = konstanta + ki Di bi‘ = nilai bi yang baru Konstanta = nilai bi yang lama (dari tabel optimal asal) ki = koefisien s1 dalam fungsi kendala (s1 = variabel slack yang berkaitan dengan bahan A)

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Perubahan Ketersediaan untuk Bahan A Variabel bi ki bi’ Z 12 2/3 1/3 12 2/3 + 1/3 D1 X2 4/3 2/3 4/3 + 2/3 D1 X1 10/3 -1/3 10/3 – 1/3 D1 S3 3 -1 3 – D1 S4 -2/3 2/3 – 2/3 D1 Bi = RHS solusi optimal Ki = Koefisien kolom masuk

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: 12 2/3 + 1/3 D1 ≥ 0  D1 ≥ -38 4/3 + 2/3 D1 ≥ 0  D1 ≥ -2 10/3 – 1/3 D1 ≥ 0  D1 ≤ 10 3 – D1 ≥ 0  D1 ≤ 3 2/3 – 2/3 D1 ≥ 0  D1 ≤ 1 Sehingga: -2 ≤ D1 ≤ 1  4 ≤ RHS ≤ 7

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Perubahan Ketersediaan untuk Bahan B Variabel bi ki bi’ Z 12 2/3 4/3 12 2/3 + 4/3 D2 X2 -1/3 4/3 - 1/3 D2 X1 10/3 2/3 10/3 + 2/3 D2 S3 3 1 3 + D2 S4 1/3 2/3 + 1/3 D2

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: 12 2/3 + 4/3 D2 ≥ 0  D2 ≥ -19/2 4/3 – 1/3 D2 ≥ 0  D2 ≤ 4 10/3 + 2/3 D2 ≥ 0  D2 ≥ -5 3 + D2 ≥ 0  D2 ≥ -3 2/3 + 1/3 D2 ≥ 0  D2 ≥ -2 Sehingga: -2 ≤ D2 ≤ 4  6 ≤ RHS ≤ 12

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Selisih cat eksterior dan interior 3 + D3 ≥ 0  D3 ≥ -3  RHS ≥ -2 --> RHS >= 0 Permintaan cat interior 2/3 + D4 ≥ 0  D4 ≥ -2/3  RHS ≥ 1 1/3

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya Perubahan secara simultan: 4/3 + 2/3 D1 – 1/3 D2 >= 0 10/3 – 1/3 D1 + 2/3 D2 >= 0 3 – 1 D1 + 1 D2 + 1 D3 >= 0 2/3 – 2/3 D1 + 1/3 D2 + 1 D4 >= 0

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Berpengaruh hanya pada nilai Z, bukan pada solusi optimal Penambahan/pengurangan koefisien sebesar dj untuk tiap variabel Xj Koefisien X1 d1 > 0 (positif)  besarnya koefisien bertambah d1 < 0 (negatif)  besarnya koefisien berkurang Koefisien X2 d2 > 0 (positif)  besarnya koefisien bertambah d2 < 0 (negatif)  besarnya koefisien berkurang

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Perubahan koefisien X1  Z = (3 + d1) X1 + 2 X2

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Agar tidak mempengaruhi optimalitas dari masalahnya, karena kasusnya maksimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonpositif) 1/3 – 1/3 d1 ≥ 0  d1 ≤ 1 4/3 + 2/3 d1 ≥ 0  d1 ≥ -2 12 2/3 + 10/3 d1 ≥ 0  d1 ≥ -3 4/5 -2 ≤ d1 ≤ 1  1 ≤ koefisien X1 ≤ 4

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Perubahan koefisien X2  Z = 3 X1 + (2 + d2) X2 1/3 + 2/3 d2 ≥ 0  d2 ≥ -1/2 4/3 – 1/3 d2 ≥ 0  d2 ≤ 4 12 2/3 + 4/3 d2 ≥ 0  d2 ≥ -9 1/2 -1/2 ≤ d2 ≤ 4  3/2 ≤ koefisien X2 ≤ 6

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Perubahan secara simultan: 1/3 – 1/3 d1 + 2/3 d2 >= 0 4/3 + 2/3 d1 – 2/3 d2 >= 0

Analisa Sensitivitas: Grafik

Penyelesaian dengan Grafik

Solusi Optimal Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 X1 + 2 X2 ≤ 6 2 X1 + X2 ≤ 8 Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya: X1 = 10/3 X2 = 4/3 Z = 3000 X1 + 2000 X2 = 12667 Kesimpulan: Cat eksterior yang harus diproduksi = 10/3 ton per hari Cat interior yang harus diproduksi = 4/3 ton per hari Pendapatan kotor maksimum yang bisa didapatkan = $12.667

Status Sumber Daya Titik Optimal pada perpotongan batasan 1 dan batasan 2 Batasan 1  ketersediaan bahan mentah A langka (habis terpakai) Batasan 2  ketersediaan bahan mentah B langka (habis terpakai) Batasan 3  selisih cat interior dan cat eksterior melimpah (masih ada sisa jatah) Batasan 4  permintaan cat interior melimpah (masih ada sisa jatah)

Perubahan RHS Pergeseran garis pembatas 1 sampai pada titik B (penurunan RHS) atau titik K (kenaikan RHS) Substitusi titik B (4,0) ke batasan 1  4 Substitusi titik K (3,2) ke batasan 1  7 4 ≤ RHS1 ≤ 7 -2 ≤ D1 ≤ 1

Perubahan RHS Pada titik B X1 = 4 X2 = 0 Z = 12 RHS = 4 Pada titik K Shadow Price Y1 = (13-12)/(7-4) = 1/3ribu dollar per ton bahan A

Perubahan RHS Pergeseran garis pembatas 2 sampai pada titik D (penurunan RHS) atau titik J (kenaikan RHS) Substitusi titik D (2,2) ke batasan 2  6 Substitusi titik J (6,0) ke batasan 2  12 6 ≤ RHS2 ≤ 12 -2 ≤ D2 ≤ 4

Perubahan RHS Pada titik D X1 = 2 X2 = 2 Z = 10 RHS = 6 Pada titik J Shadow Price Y2 = (18-10)/(12-6) = 4/3ribu dollar per ton bahan B

Perubahan koefisien fungsi tujuan Rotasi garis yang mewakili Z dan melewati titik optimal menunjukkan pengaruh kenaikan/penurunan koefisien fungsi tujuan  mempengaruhi besarnya nilai optimum. Searah jarum jam: kenaikan koefisien X1/penurunan koefisien X2 Berlawanan arah: kenaikan koefisien X2/penurunan koefisien X1

Perubahan koefisien fungsi tujuan Kelayakan tidak akan berubah dan optimal akan tetap di titik C selama rotasi dilakukan Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC Berlawanan arah jarum jam sampai menghimpit garis CD Bila garis Z menghimpit garis BC atau CD, akan terjadi optimum alternatif 1/2 ≤ Ce/Ci ≤ 2/1, Ci ≥ 0

Perubahan koefisien fungsi tujuan Perubahan Ce saja Z = (3 + d1) X1 + 2 X2 1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1  1 ≤ Ce ≤ 4  -2 ≤ d1 ≤ 1 Perubahan Ci saja Z = 3 X1 + (2 + d2) X2 1/2 ≤ 3/Ci ≤ 2/1  3/2 ≤ Ci ≤ 6  -1/2 ≤ d2 ≤ 4

End of This Chapter