Disusun Oleh: Novi Mega S Matematika Diskrit Disusun Oleh: Novi Mega S

Apa itu Himpunan? Himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyek tidak urut (unordered) atau berbeda Obyek dalam himpunan disebut elemen,unsur atau anggota (member) Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong (empty set) Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas Contoh : S = { a, e, i, o, u } U = himpunan semua huruf HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. Satu set huruf (besar dan kecil)

satu set huruf besar dan kecil

Cara penyajian himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.       -  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.             -  C = {kucing, a, Amir, 10, paku} -  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } -  C  = {a, {a}, {{a}} } -  K  = { {} }                                                                                                -  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }     -  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                   Keanggotaan x  A : x merupakan anggota himpunan A; x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 A 5 B {a, b, c}  R c  R {}  K {}  R Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka a  P1 a  P2 P1  P2 P1  P3 P2  P3

2.Simbol-simbol baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks  Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3, Notasi Pembentuk Himpunan . Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat} Contoh soal Notasi Himpunan dan Anggota himpunan Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Penyelesaian: a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

Salah satu cara merepresentasikan himpunan Diagram Venn Salah satu cara merepresentasikan himpunan S a e u i o

Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

Kardinalitas dari himpunan Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan, n ∈ N, kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n. Contoh: A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3 B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4 C = { } |C| = 0 D = { x ∈ N | x ≤ 7000 } |D| = 7001 E = { x ∈ N | x ≥ 7000 } |E| tak berhingga!

Himpunan kosong (null set) Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong. Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Himpunan Bagian Aturan-aturan yg berlaku:   A untuk sebarang himpunan A A  A untuk sebarang himpunan A Himpunan Bagian Sejati (proper subset): A  B “A adalah himp. bagian sejati dari B” A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA) atau A  B  x (xA  xB)  x (xB  xA)

Himpunan Bagian (Subset)

Kesamaan Himpunan Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen yang tepat sama. Contoh : A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} → A = B A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, kuda, tupai, anjing} → A ≠ B A = {anjing, kucing, kuda}, B = {kucing, Kuda, anjing} → A = B

Contoh-contoh Himpunan Himpunan “Standard” : Bilangan Cacah N = {0, 1, 2, 3, …} Bilangan Bulat Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Bil. Bulat Positif Z+ = {1, 2, 3, 4, …} Bil. Riil R = {47.3, -12, π, …} Bil. Rasional Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …} (definisi yg tepat akan dibahas kemudian)

Contoh-contoh Himpunan A = ∅ “himpunan kosong/himp. nol” A = {z} Catatan: z∈A, tapi z ≠ {z} A = {{b, c}, {c, x, d}} A = {{x, y}} Catatan: {x, y} ∈A, tapi {x, y} ≠ {{x, y}} A = {x | P(x)} “himpunan semua x sedemikian hingga P(x)” A = {x | x∈N ∧ x > 7} = {8, 9, 10, …} “notasi pembentuk himpunan”

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan Saling Lepas

Himpunan Kuasa (Power Set) 2A atau P(A) “power set dari A” 2A = {B | B  A} (mengandung semua himpunan bagian dari A) Contoh: (1) A = {x, y, z} 2A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (2) A =  2A = {} Catatan : |A| = 0, |2A| = 1

Himpunan Kuasa (Power Set) Kardinalitas dari power set : | 2A | = 2|A| Bayangkan setiap elemen didalam A memiliki saklar “ON/OFF” Setiap konfigurasi yang mungkin dari saklar didalam A berkorespondensi dengan satu elemen didalam 2A A 1 2 3 4 5 6 7 8 x y z Untuk A yang memiliki 3 elemen, terdapat 222 = 8 elemen didalam 2A

Perkalian Kartesian Suatu n-tupel berurutan (ordered n-tuple) (a1, a2, a3, …, an) adalah sebuah koleksi berurut dari objek-objek. Dua buah n-tupel berurut (a1, a2, a3, …, an) dan (b1, b2, b3, …, bn) disebut sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen-elemen yang tepat sama dalam urutan yang juga sama, yakni, ai = bi untuk 1  i  n. [jika n=2, disebut sbg pasangan berurut) Perkalian Kartesian dari dua himpunan didefinisikan sebagai : AB = {(a, b) | aA  bB} Contoh: A = {x, y}, B = {a, b, c} AB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}

Perkalian Kartesian Perhatikan bahwa: A =  A =  Untuk himpunan A dan B yg tidak kosong: AB  AB  BA |AB| = |A||B| Perkalian Kartesian dari dua himpunan atau lebih didefinisikan sebagai: A1A2…An = {(a1, a2, …, an) | aiAi for 1  i  n}

Operasi terhadap himpunan Penggabungan/ Union: AB = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d} AB = {a, b, c, d} Irisan/Intersection: AB = {x | xA  xB} AB = {b}

Operasi terhadap himpunan Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong: AB =  Perbedaan (pengurangan) antara dua himpunan, A dan B, adalah suatu himpunan yang memiliki elemen-elemen didalam A yang bukan elemen B: A-B = {x | xA  xB} Contoh: A = {a, b}, B = {b, c, d}, A-B = {a}

Operasi terhadap himpunan Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak ada di dalam A : A = U - A Contoh: U = N, B = {250, 251, 252, …} B = {0, 1, 2, …, 248, 249} _ _

Operasi terhadap himpunan Bagaimana membuktikan A(BC) = (AB)(AC)? Cara I: xA(BC) xA  x(BC) xA  (xB  xC) (xA  xB)  (xA  xC) (hukum distributif untuk logika matematika) x(AB)  x(AC) x(AB)(AC)

Operasi terhadap himpunan Cara II: Menggunakan tabel keanggotaan 1 berarti “x adalah anggota dari himpunan ini” 0 berarti “x adalah bukan anggota dari himpunan ini” A B C BC A(BC) AB AC (AB) (AC) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Operasi terhadap himpunan Dari contoh-contoh yang diberikan, maka dapat kita simpulkan bahwa: Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi ekivalen dalam teori himpunan dan begitu pula sebaliknya. 31

Operasi Himpunan a. Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B Notasi : A  B = {x | x  A dan x  B } A B

Operasi Himpunan b. Gabungan (union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B Notasi : A  B = {x | x  A atau x  B } A B

Operasi Himpunan c. Komplemen Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu himpunan yang merupakan elemen S yang bukan elemen A Notasi: A’ = {x | x  S dan x  A } = S – A A B

Operasi Himpunan d. Selisih Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B Notasi: A - B = {x | x  A dan x  B } = A  B’ A B

Operasi Himpunan e. Perbedaan Simetris (Symmetric Difference) symmetric difference dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A - B)  (B - A) A B

Operasi Himpunan f. Perkalian Cartesian (cartesian products) cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B Notasi: A x B = { (a,b) | a  A, b  B} Contoh: A = {1,2,3} B = {a,b} A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Operasi Himpunan Catatan: a. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka n(A x B) = n(A).n(B) b. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a) c. A x B  B x A

Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) 2. Hukum komutatif (commutative law) A  B = B  A, A  B = B  A, A  B = B  A 3. Hukum distributif (distributive law) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Teorema Aljabar Himpunan 4. Hukum identitas (identity law) A   = A, A  S = A 5. Hukum komplemen (complement law) A  A’ = S, A  A’ =  6. Hukum idempoten (idempotent law) A  A = A, A  A = A 7. Hukum ikatan (bound law) A  S = S, A   = 

Teorema Aljabar Himpunan 8. Hukum penyerapan (absorption law) A  (A  B) = A, A  (A  B) = A 9. Hukum involusi (involution law) A’’ = A 10. Hukum 0/1(1/0 law) ’ = S, S’ =  11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets) (A  B)’ = A’  B’, (A  B)’ = A’  B’

Himpunan hingga dan perhitungan anggota 1. Jika A  B =  maka n(A  B) = n(A) + n(B) 2. Jika A B dan A B adalah hingga maka n (A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 3. Perluasan (2) dengan 3 himpunan A,B, dan C n (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan 1. Diagram Venn Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B! 2. Hukum-hukum aljabar himpunan Bukti: A  (B – A) = A  (B  A’) (definisi operasi selisih) = (A  B)  (A  A’) (hukum distributif) = (A  B)  S (hukum komplemen) = A  B (hukum identitas) 3. Definisi Sebagai contoh, A dan B himpunan. Misalkan A  B =  dan A  (B  C). Buktikan bahwa A  C!

Metode pembuktian untuk pernyataan tentang himpunan (i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika setiap x  P juga  Q. Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga  (B  C). Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x  B atau x  C (ii) Karena x  A dan A  B = , maka x  B Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku x  C, maka dapat disimpulkan A  C

Misalkan A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor dari Jepang C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum thn 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan mobil mahasiswa STMI Nyatakan dalam notasi himpunan: a. mobil mahasiswa STMI yang produksi dalam negeri atau diimpor dari Jepang b. semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta c. semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta

Ketika dilakukan survey hewan peliharaan pada 10 rumah, didapat data sebagai berikut: 6 rumah memelihara anjing 4 rumah memelihara kucing 2 rumah tidak memiliki hewan peliharaan Tentukan berapa rumah yang tidak memiliki hewan peliharaan anjing dan kucing! Tentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5

Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan, buktikan bahwa: a. (A  B)  (A  B’) = A b. A  (A  B)’ = A  B’

Perampatan Operasi Himpunan

Hukum-hukum Himpunan Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan Disebut juga hukum aljabar himpunan

Prinsip Dualitas Prinsip dualitas  dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.  

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Latihan: Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?

Partisi

Himpunan Ganda (multiset)

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi himpunan (a) (b)

Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan dengan hukum-hukum himpunan bahwa (A – B)  (A – C) = A – (B  C).

Jawaban:

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

Sekian selamat mencoba 