Momentum Sudut (Bagian 2)

Rotasi dalam Mekanika Kuantum: Pengenalan Konsep Rotasi dalam Mekanika Kuantum: Sistem Koordinat Bola Harmonik Sferis (Spherical Harmonics) Momentum Sudut Orbital Momentum Sudut Intrinsik (Spin)

Tinjau partikel yang bergerak di permukaan bola dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh: karena energi potensial uniform di permukaan bola dan dapat diambil sama dengan nol. Laplacian: Harus dipecahkan:

dengan: Harus dipecahkan:

Separasi variabel: ψ(r,θ,ϕ)= R(r)Y(θ,ϕ), maka: Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:

Kalikan dengan -2mr2/ħ2, maka dapat dipisahkan menjadi: Tuliskan: yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah. Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ), dan kita ambil:

Memberikan: dan: Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:

Memberikan: Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi: Untuk ml = 0, menjadi persamaan diferensial Legendre:  Dipecahkan dengan metode Frobenius-Fuchs

Fungsi Legendre; Polinom Legendre derajat-l, dalam formula Rodriguez (dengan w = cos θ): Fungsi Legendre terasosiasi: Dengan syarat:

Jadi didapat solusi umum:

Persamaan: Kita tuliskan dengan:

Persamaan diferensial: Sebenarnya merupakan persamaan untuk θ dan φ yang pada dasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapat disertakan dalam komponen radial r.

Bagian φ telah dipecahkan, dan bagian θ merupakan persamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusi analitik. Solusi untuk bagian θ dan φ dinamakan sebagai harmonik sferis (Yl,m), dituliskan: dengan Pl|m| adalah polinom Legendre

Bagaimana dengan E? Sehingga:

Catatan: Dalam mekanika kuantum, sebuah operator  yang merepresentasikan suatu konstanta gerak akan komut dengan hamiltonian, yaitu: [Ĥ,Â] = 0 yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsi eigen yang berlaku untuk kedua operator  dan Ĥ.

Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.