Ruang vektor real Kania Evita Dewi

Definisi Kombinasi linier Sebuah vektro w dinamakan kombinasi linier vektor-vektor dari v1, v2, …, vr jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk dimana k1, k2, …, kr adalah skalar

contoh Tentukanlah kombinasi linier dan

Definisi merentang Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier v1, v2, …, vr maka dapat dikatakan vektor-vektor ini merentang.

contoh Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini merentang R3.

Definisi Bebas linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linier. Tetapi jika ada solusi lain maka S dikatakan hhimpunan tak bebas linier.

teorema Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.

teorema Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linier. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor adalah perkalian vektor lainnya dengan skalar.

contoh Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut pada R3 berbentuk tak bebas linier?

Definisi BASis Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …,vr} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika S bebas linier S merentang V

contoh Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.

Definisi dimensi Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Catatan: Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol

teorema Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linier pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V. Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah sebuah himpunan n yang merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

contoh Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem berikut.