ESTIMASI

PENGERTIAN Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Penduga adalah suatu statistik (hanya sampel) yang digunakan untuk menduga suatu perameter. Dengan menduga dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populer yang tidak diketahui diketahui berada di sekitar sampel.

PENGERTIAN Misal: merupakan pendugaan dari parameter μ (rata-rata) S2 merupakan pendugaan dari parameter 2 (varians) S merupakan pendugaan dari parameter  (simpangan baku)

PENGERTIAN Karena pendugaan merupakan fungsi dari nilai-nilai sampel, maka pendugaan termasuk variabel random dan memiliki distribusi sampling.

ESTIMASI / PENAKSIRAN Parameter populasi diberi simbol θ (theta). θ bisa merupakan rata-rata μ, simpangan baku σ, proporsi π dan lain-lain. Penaksir harga θ dilambangkan dengan (theta topi). Hal yang sangat diinginkan adalah nilai penaksir sama dengan nilai yang ditaksir atau = θ. Kenyataan yang bisa terjadi adalah: a. Menaksir θ oleh terlalu tinggi b. Menaksir θ oleh terlalu rendah

KRITERIA PENAKSIR YANG BAIK 1. Penaksir tak bias Jika rata-rata semua harga yang mungkin sama dengan θ = θ 2. Penaksir bervarians minimum Penaksir dengan varians terkecil dari semua penaksir untuk parameter yang sama

KRITERIA PENAKSIR YANG BAIK 3. Penaksir Konsisten Jika ukuran sampel makin besar dan mendekati ukuran populasi, maka mendekati θ . disebut penaksir konsisten 4. Penaksir terbaik adalah penaksir yang tak bias dan bervarians minimum

JENIS ESTIMASI Penaksiran parameter dapat dinyatakan dalam 2 cara: a. Penaksiran Titik Suatu nilai tunggal yang digunakan untuk menyatakan taksiran parameter Contoh: penaksiran upah rata-rata perjam pada sebuah perusahaan adalah Rp.15.000 b. Penaksiran Interval Suatu daerah tertentu dimana bisa diharapkan taksiran parameter itu berada Contoh: penaksiran upah rata-rata perjam pada sebuah perusahaan adalah Rp.10.000 sampai Rp.20.000

INTERVAL KEPERCAYAAN Adalah merupakan suatu pendugaan yang diyakini untuk suatu distribusi probabilitas dalam taraf nyata yang kemudian dinotasikan dengan  (alpha) yang selalu dinyatakan dengan prosentase. Apabila suatu kurva normal dengan  = 5% (ditulis  = 0,05) maka sisi-sisi dari kurva normal akan terlihat sebagai berikut:

INTERVAL KEPERCAYAAN Interval kepercayaan dinyatakan dengan ɣ (gamma) dan dinyatakan dalam bentuk: Misalnya kita menduga bahwa tinggi rata-rata mahasiswa di Indonesia adalah antara 150 cm dan 175 cm dengan derajat kepercayaan 0,95. Artinya kita yakin sebesar 95% bahwa tinggi rata-rata mahasiswa di Indonesia adalah 150 sampai 175 cm dengan tingkat kesalahan 5%.

INTERVAL KEPERCAYAAN Terdapat dua uji dalam interval kepercayaan, yaitu: 1. Uji satu sisi 2. Uji dua sisi

INTERVAL KEPERCAYAAN Uji Satu Sisi

INTERVAL KEPERCAYAAN Uji Dua Sisi

INTERVAL KEPERCAYAAN Pendugaan nilai-nilai estimasi ini sangat tergantung pada total sampelnya.  Apabila n  30 menggunakan distribusi normal.  Apabila n < 30 menggunakan distribusi student. Sedangkan untuk menghitung interval kepercayaan, harus diketahui: -nya, karena umumnya nilai-nilai parameter sulit diketahui, maka  dapat diganti dengan harga estimasi yang lain yaitu Sd.

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Rumus:

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Dimana:  merupakan lower confidence limit (batas keyakinan bawah).  merupakan upper confidence limit (batas keyakinan atas).   Interval kepercayaan  90%, 95%, atau 99%

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Cara menentukan Z atau sebagai berikut: Misalnya kita ingin menentukan level of significant dari  = 10%, maka: Untuk uji satu sisi: CI = 1 – 0,1 = 0,9 – 0,5 = 0,4 z = 1,28

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Untuk uji dua sisi: CI = 1 – 0,05 = 0,95 – 0,5 = 0,45

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Contoh: Suatu perusahaan ingin mengetahui berapa data pengeluaran karyawannya untuk membeli bahan makanan untuk keperluan penelitian tersbut diambil sampel yg terdiri atas 300 karyawan. Ternyata, rata-rata pengeluaran untuk membeli bahan makanan adalah Rp. 406.000 seperti dengan simpangan baku Rp. 165.000,00 dengan salah rata-rata pengeluaran karyawan untuk membeli bahan makanan dalam setahun dengan interval kepercayaan 95%.

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Berdasarkan pada soal tersebut, diketahui: n = 300 Sd = 165.000 CI = 95%

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel besar (n  30)  distribusi normal Uji dua sisi Artinya : rata-rata pengeluaran karyawan untuk membeli bahan menanam 95% antara 387.328,49 sampai 424.671,51

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel kecil (n < 30)  distribusi student Apabila sampelnya kecil maka pendugaan rata-rata populasi (μ), dilakukan dengan distribusi t dengan degree of freedom (derajat bebas) df = n – 1 Rumusnya :

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel kecil (n < 30)  distribusi student Contoh Suatu sampel random yang terdiri dari 9 orang karyawan di sebuah perusahaan. Memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu 14, 17, 15, 18, 18, 14, 15, 19 dan 15 menit dengan Sd = 1,9 dengan salah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99%.

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel kecil (n < 30)  distribusi student Berdasarkan pada soal tersebut, diketahui: n = 9 x = 145 x2 = 2.365 df = 8 t = 3,355

INTERVAL KEPERCAYAAN Jika sampel kecil (n < 30)  distribusi student Pembahasan: Jadi rata-rata waktu yang digunakan karyawan dengan interval keyakinan 99% berkisar antara 13,985 sampai 18,235 menit

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA Digunakan bila ada 2 kelompok populasi yang masing-masing merupakan kelompok sampel. Interval kepercayaan didasarkan pada selisih kedua kelompok populasi/kelompok sampelnya.

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA 1. Untuk sampel besar (n > 30) dan diketahui pendugaan interval beda rata-rata dirumuskan: Uji dua sisi

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA Contoh: Upah mingguan 60 orang karyawan perusahaan asing rata-rata Rp.250.000 dengan simpangan baku Rp.27.000. Untuk perusahaan nasional dari 60 orang karyawan diketahui bahwa upah mingguan rata-rata adalah Rp.125.000 dengan simpangan baku Rp.10.000 dengan interval keyakinan 99%, buatlah pendugaan beda rata-rata upah karyawan asing dengan perusahaan nasional.

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA Pembahasan: CI = 1 – 0,005 = 0,995 – 0,5 = 0,495

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA Jadi beda rata-rata upah karyawan perusahaan asing dengan perusahaan nasional antara Rp.115.409,882 sampai Rp.134.590,118.

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA 2. Untuk sampel kecil (n < 30) dan dan tidak diketahui

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA Contoh: Berikut ini tabel berisikan lamanya produksi semacam barang yang dilakukan dengan dua cara:

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA  = 5 % db = n1 + n2 – 2 = 16

PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATA