FUNGSI KUADRAT

tayangan ini anda dapat Tujuan Umum Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Y = f(x) = a 𝒙 𝟐 + bx + c 1. Pengertian Bentuk umum Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

2. Sifat-sifat Fungsi Kuadrat Berdasarkan Nilai a Jika a > 0 (positif), maka grafik atau parabola terbuka keatas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan 𝒚 𝒎𝒊𝒏 Jika a < 0 (negatif), maka grafik atau parabola terbuka kebawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan 𝒚 𝒎𝒂𝒙

2. Sifat-sifat Fungsi Kuadrat Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) D = 𝒃 𝟐 - 4ac Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu x didua titik yang berbeda Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu x di (x, 0) disebuah titik. Jika D < 0, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkanya : Menentukan titik potong dengan sumbu x dengan syarat y = 0 Menentukan titik potong dengan sumbu y dengan syarat x = 0 Menentukan sumbu simetri x = − 𝒃 𝟐𝒂

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkanya : Menentukan nilai ekstrim Y = − 𝑫 𝟒𝒂 Menentukan koordinat titik balik /titik puncak (− 𝒃 𝟐𝒂 , − 𝑫 𝟒𝒂 ) Menentukan beberapa titik lain atau titik bantu

Karena a = 1 > 0, maka grafik akan tebuka ke atas. Contoh 1 Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 𝒙 𝟐 -4x – 5 ! Penyelesaian y = 𝒙 𝟐 -4x – 5  a = 1; b = -4, dan c = -5 Karena a = 1 > 0, maka grafik akan tebuka ke atas.

Langkah-langkahnya Titik potong dengan sumbu x (y =0) 𝒙 𝟐 -4x – 5 = 0  (x + 1)(x – 5) = 0  x = -1 atau x = 5 jadi titik potong grafik dengan sumbu x adalah (-1, 0) dan (5, 0) Titik potong dengan sumbu y (x = 0) y = 𝟎 𝟐 -4.0 – 5  y = -5 jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0, -5)

Langkah-langkah Menentukan sumbu simetri x = − 𝒃 𝟐𝒂 =− (−𝟒) 𝟐.(𝟏) = 2 Menentukan nilai ekstrim Y = − 𝑫 𝟒𝒂 =− −𝟒 𝟐 −𝟒 𝟏 −𝟓 𝟒 𝟏 =−𝟗 Menentukan koordinat titik balik P (2, -9)

Langkah-langkah Titik bantu Misal : x = 1  y = 𝟏 𝟐 -4.1 – 5 = -8 x = 3  y = 𝟑 𝟐 -4.3 – 5 = -8 x = 4  y = 𝟒 𝟐 -4.4 – 5 = -5

Gambar grafiknya

Karena a = -1 < 0, maka grafik akan tebuka kebawah. Contoh 2 Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = −𝒙 𝟐 + 2x + 8 ! Penyelesaian y = −𝒙 𝟐 + 2x + 8  a = -1; b = 2, dan c = 8 Karena a = -1 < 0, maka grafik akan tebuka kebawah. Coba anda tentukan langkah-langkah selanjutnya

Karena a = 2 > 0, maka grafik akan tebuka ke atas. Contoh 3 Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2 𝒙 𝟐 - 6x - 8 ! Penyelesaian y = 2 𝒙 𝟐 - 6x - 8  a = 2; b = -6, dan c = -8 Karena a = 2 > 0, maka grafik akan tebuka ke atas. Coba anda tentukan langkah-langkah selanjutnya

Aktivitas Kelas

4. Menerapkan Fungsi Kuadrat Menentukan persamaan fungsi kuadrat f(x) = a 𝒙 𝟐 + bx + c, apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik. Contoh Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, -4), (0, -3), dan (4, 5) !

Penyelesaian f(x) = a 𝒙 𝟐 + bx + c f(1) = a. 𝟏 𝟐 + b.1 + c = -4 titik (1, -4) a + b + c = -4 …❶ f(0) = a. 𝟎 𝟐 + b.0 + c = -3 titik (0, -3) 0 + 0 + c = -3 c = -3 … ❷ f(4) = a. 𝟒 𝟐 + b.4 + c = 5 titik (4, 5) 16a + 4b + c = 5 … ❸

Penyelesaian Substitusi ② ke ① a + b – 3 = -4 a + b = -1 … ❹ 16a + 4b – 3 = 5 16a + 4b = 8 … ❺ Dari ④ dan ⑤ diperoleh : a + b = -1 |x4| 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 |x1| 16a + 4b = 8 – -12 a = -12 a = 1

Penyelesaian Substitusi a = 1 ke ④ 1 + b = -1 b = -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = 𝒙 𝟐 - 2x - 3

4. Menerapkan Fungsi Kuadrat Menentukan persamaan fungsi kuadrat f(x) = a 𝒙 𝟐 + bx + c, apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu x dan satu titik lain. Ditentukan dengan rumus : f(x) = a(x - x1)(x - x2)

Contoh Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik A(1, 0), B(-3, 0), dan memotong sumbu y di titik (0, 3) !

Penyelesaian f(x) = a(x - x1)(x - x2) Titik (1, 0) dan (-3, 0) disustitusikan f(x) = a(x - 1)(x + 3) … ① Kemudian substitusikan (0, 3), ke persamaan ① : 3 = a(0 – 1)(0 + 3) 3 = -3a a = -1

Penyelesaian Persamaan fungsi kuadratnya menjadi : f(x) = -1(x – 1)(x + 3) = -1(x2 + 2x – 3) f(x) = -x2 - 2x + 3 Jadi, fungsi kuadratnya adalah

Get Ready ! Persamaan grafik dari fungsi kuadrat berikut adalah … Y = 𝟏 𝟐 x2 - x - 1 𝟏 𝟐 Y = 𝟏 𝟐 x2 + x - 1 𝟏 𝟐 Y = x2 - 2x - 3 Y = x2 + 2x - 3 Y = 2x2 – 4x - 6

4. Menerapkan Fungsi Kuadrat Menentukan persamaan fungsi kuadrat f(x) = a 𝒙 𝟐 + bx + c, apabila diketahui titik puncak grafik (xp,yp) dan satu titik lainnya. Ditentukan dengan rumus : f(x) = a(x – xp)2 + yp

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya Contoh Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui titik (3, -7) !

Penyelesaian f(x) = a(x – xp)2 + yp f(x) = a(x + 1)2 + 9 … ① Substitusikan titik (3, -7) ke persamaan ① menjadi : -7 = a(x + 1)2 +9 -16 = 16a a = -1

Penyelesaian Substitusikan titik a = -1 ke persamaan ① f(x) = -1(x + 1)2 + 9 = -1(x2 + 2x + 1) + 9 = -x2 - 2x – 1 + 9 f(x) = -x2 - 2x + 8 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = = -x2 - 2x + 8

Aktivitas Kelas Dan Latihan

5. Penerapan Fungsi Kuadrat Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu nilai ekstrim (maksimum dan minimum)berperan penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Istilah yang digunakan Terbesar, terjauh, terpanjang, terluas atau yang sama dengan kata-kata itu dapat dikaitkan dengan nilai maksimum Terkecil, terdekat, terendah, terpendek tersempit atau sama artinya dengan kata-kata itu dapat dikaitkan dengan nilai minimum

Contoh Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik roket mencapai ketinggian yang dirumuskan dengan h(t) = 40t - 5t2 dalam meter. Berapa lama waktu yang dibutuhkan roket untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai ?

Penyelesaian h(t) = 40t - 5t2, maka (a = -5, b = 40, dan c = 0) Tinggi maksimum hmaks pada t = −𝐛 𝟐𝐚 = −𝟒𝟎 𝟐(−𝟓) = −𝟒𝟎 −𝟏𝟎 = 4 Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimu adalah t = 4 detik. hmaks = −𝑫 𝟒𝐚 = − 𝟒𝟎 𝟐 −𝟒 −𝟓 .𝟎 𝟒 −𝟓 = −𝟏𝟔𝟎𝟎 −𝟐𝟎 = 80 Jadi, tinggi maksimu peluru adalah h = 80 meter.

Contoh Panjang seutas kawat adalah 200 m. Kemudian kawat itu dibentuk menjadi persegi panjang dengan panjang x meter dan lebar y meter. Jika luas persegi panjang itu dinyatakan dengan L, Nyatakan L sebagai fungsi Tentukan luas maksimum persegi panjang

Penyelesaian Misal : x = panjang dan y = lebar Panjang kawat = keliling persegi panjang = 200 m 2(x + y) = 200 x + y = 100 y = 100 – x Luas (L) = x . Y L = x. (100 – x) L = 100x - x2, atau L = - x2 + 100x fungsi persamaan kuadrat

Penyelesaian L = - x2 + 100x, dengan a = -1 dan b = 100 Lmaks = −𝑫 𝟒𝒂 = − 𝟏𝟎𝟎 𝟐 −𝟒 −𝟏 .𝟎 𝟒 −𝟏 = 2.500 Jadi, luas maksimum persegi panjang adalah Lmaks = 2.500 m2

Aktivitas Kelas Dan Latihan

Thank You !