2 D problem dalam Polar koordinat x q tqq trq Radius r trr y Special case q = 0 bila x = r
Tegangan: + kondisi batas
FLAMANT PROBLEM tr BEBAN TERPUSAT PADA PELAT SEMI-TAK TERHINGGA Unit ketebalan dalam 2 D Y r q Distibusi tegangan radial X misal: f = C r q sin (q) tr konstan Tegangan: Hanya tegangan radial Kondisi batas sr 0 pada r = tak terhingga sr tak terhingga pada r = 0
Mencari bilangan konstan “C” P r Penyelesaian Flamant sr tegangan luas Komponen vertikal Didapat:
Contoh pemakaian no. 1 konstan q r d Tetapi , r = d cos (q) Potongan DIskit maka konstan
Contoh pemakaian no. 2 y q r a x
y Maksimum untuk q = 0 q r a x
Kirsch problem Seberapa besar lubang agar kondisi batas tidak berubah x sx=S sy=0 txy=0 2a S Dijadikan polar koordinat y= r sin (q) x q y r
Dengan superposisi trq=0 b a I II sr= S/2 NOT AXI Symmetry Problem I Pi=0 dan Po= -S/2
Problem II f2(r,q)= f(r) cos (2q) Bukan axi symmetry Penyelesaian umum: Kondisi batas: 4 kondisi batas, diperoleh
Tegangan akhir 1,04 b pada r/a =4 S S r/a sq/S=3 a q = 0
f(r)=A log r +B r2 log r + C r2 +D Lentur balok lengkung sq b-a sr M M a b Lentur murni q f(r)=A log r +B r2 log r + C r2 +D Kondisi batas (plane stress) 1 Pada r = a dan r = b 2 SH=0 3
1 (1) (2) 2 =0 =0 Tidak memberi jawaban 3 (3)
Hasil akhir tegangan (symmetry)
DISPLACEMENT
DISPLACEMENT FOR FLAMANT PROBLEM Y regangan: r q X tr Integration: (1) (2) Substitusi ke (3) A,B,C konstan
Di integral dari(1): Substitusi ke (2) Masukkan u dan v ke (3) F(r) = C r
Dari pers v, diperoleh A = C =0 Menghitung A,B dan C Kondisi batas: 1) Tidak ada perpindahan vertikal pada radius “d” dimana d >>>>> 2) Tidak ada perpindahan lateral sepanjang sumbu x (simetris), v=0 pada q=0 Dari pers v, diperoleh A = C =0 Maka: Dari 1) diperoleh Perpindahan horizontal Perpindahan vertikal