KERAPATAN FLUKS LISTRIK, HUKUM GAUSS DAN DIVERGENSI Masykur Huda | 135060301111012 | Elektromagnetik Bab 4

Kerapatan fluks listrik Ψ = Fluks listrik (Coulomb) Q = Muatan Listrik Ψ = Q Pada permukaan bola dalam, Ψ coulomb fluks listrik ditimbulkan oleh muatan Q (=Ψ) coulomb yang terbagi rata pada permukaan seluas 4πa2 m2. kerapatan fluks pada permukaan ini ialah Ψ 4πa2 atau Q 4πa2 C/m2.

Kerapatan fluks listrik mempunyai radial dan besarnya: Dan pada jarak radial r, dengan a ≥ r ≥ b D = 𝑄 4πr2 ar D |R=a = 𝑄 4πa2 ar (bola dalam) D |R=b = 𝑄 4πb2 ar (bola luar)

Intensitas medan listrik radial dari sebuah muatan titik di dalam ruang hampa adalah: Maka dalam ruang hampa: Walaupun hanya berlaku pada ruang hampa tapi tidak terbatas pada medan muatan titik saja. Untuk muatan ruang yang umum dalam ruang hampa Hubungan iniduturunkan dari medan muatan titik. Dengan cara yang sama, dari kita dapatkan: Jika bola dalam dibuat semakin kecil tanpa mengurangi muatan Q, maka limitnya akan menjadi sebuah titik, tapi rapat fluks listrik pada titik r meter dari titik muatan masih tetap diberikan oleh: D = 𝑄 4πr2 ar E = 𝑄 4πԑor2 ar 1 D = ԑo E 2 2 r=a 𝐸= 𝑣𝑜𝑙 ρ 𝑑𝑣 4πԑoR2 aR 3 r=b 1 𝐷= 𝑣𝑜𝑙 ρ 𝑑𝑣 4πR2 aR 4

2. Hukum gauss ∆S DS normal ϴ . ‘ . ‘ . ‘ . ‘ . Q Ds P Kerapatan fluks listrik Ds di P disebabkan oleh muatan Q. fluks total yang melalui ∆S adalah Ds . ∆S

Ψ = 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑢𝑡𝑢𝑝 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 Ψ = 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 Fluks total yang menembus permukaan tertutup didapat dengan menjumlahkan sumbangan diferensial yang menembus tiap-tiap unsur permukaan ∆S. Ψ = dΨ Ψ = 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑢𝑡𝑢𝑝 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 Ψ = 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 = muatan yang dilingkungi = Q

Muatan yang dilingkungi dapat terdiri dari beberapa muatan titik, dalam hal ini: Q = ΣQn atau muatan garis Q = ρ𝐿 𝑑𝐿 atau muatan permukaan Q = 𝑠 ρ𝑠 𝑑𝑆 atau distribusi muatan ruang Q = 𝑣𝑜𝑙 ρ 𝑑𝑣 Dengan pengertian ini hokum Gauss dapat dinyatakan dalam distribusi muatan sbb: 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 = 𝑣𝑜𝑙 ρ 𝑑𝑣

Pada permukaan bola: Ds = 𝑸 𝟒𝝅𝒂𝟐 𝒂𝒓

3. Pemakaian hukum gauss SIMETRI SILINDER Misalkan terdapat muatan garis tak hingga dengan rapat muatan  Dipilih permukaan Gauss berupa silinder setinggi h dan berjari-jari r dengan sumbu yang terletak pada muatan garis Medan listrik seragam menembus selimut silinder dan tidak ada fluks yang menembus tutup atas dan tutup bawah silinder Dari hukum Gauss diperoleh :

SIMETRI BIDANG DATAR Misalkan terdapat muatan bidang tak hingga (non konduktor) dengan rapat muatan  Dipilih permukaan Gauss berupa silinder dengan luas tutup kiri dan kanan sebesar A Medan listrik seragam di kiri dan kanan bidang yang arahnya keluar Tidak ada fluks yang menembus selimut silinder Dari hukum Gauss diperoleh :

SIMETRI BOLA Misalkan terdapat sebuah kulit bola bermuatan q yang terdistribusi seragam diseluruh permukaannya Dipilih dua permukaan Gauss berupa bola S1 yang berjari-jari < R dan bola S2 yang berjari-jari  R Dari hukum Gauss diperoleh :

4. divergensi Unsur volume menuju nol; 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 = 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 ∆𝑣 Jika diambil limitnya: 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 = lim ∆𝑣→0 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 ∆𝑣 = lim ∆𝑣→0 𝑄 ∆𝑣 Untuk setiap vektor A untuk mendapatkan 𝑠 𝑨 . 𝑑𝑆 untuk permukaan tertutup yang kecil, maka 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 = lim ∆𝑣→0 𝑠 𝑨 . 𝑑𝑆 ∆𝑣 A menyatakan kecepatan, gradient temperature, gaya atau medan vektor yang lainnya.

div D = 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 DIVERGENSI A DIVERGENSI D Div A = lim ∆𝑣→0 𝑠 𝑨 . 𝑑𝑆 ∆𝑣 CARTESIAN div D = 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 div D = 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌𝐷𝜌) + 1 𝜌 𝜕𝐷∅ 𝜕∅ + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 TABUNG div D = 𝟏 𝒓𝟐 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝐷𝑟) + 𝟏 𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝐷𝜃 ) + 𝟏 𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝜕𝐷∅ 𝜕∅ BOLA

PERSAMAAN PERTAMA MAxWELL lim ∆𝑣→0 𝑠 𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 ∆𝑣 = lim ∆𝑣→0 𝑄 ∆𝑣 div D = ρ Operator teorema vektor 𝛻 dan teorema divergensi 𝛻= 𝜕 𝜕𝑥 𝒂𝒙+ 𝜕 𝜕𝑦 𝒂𝒚+ 𝜕𝒂𝒛 𝜕𝑧 𝒂𝒛 div D = 𝛻 . D = 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑧 𝑠 𝑫 .𝑑𝑆 = 𝑣𝑜𝑙 𝛻 . D 𝑑𝑣