Oleh: Muhammad Irfan Anshori 35.13.3.117 Pendidikan Matematika -4 /V LINGKARAN Oleh: Muhammad Irfan Anshori 35.13.3.117 Pendidikan Matematika -4 /V

Materi E Defenisi Lingkaran Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran back home

DEFENISI LINGKARAN Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tetp di bidang tersebut. Titik tetap itu dinamakan pusat lingkaran , sedangkan jarak dari titik tetap tersebut ke titik titik pada lingkaran dinamakan jari lingkaran dilambangkan dengan r.daerah yang dibatasi lingkaran adalah bidang lingkaran. back home

UNSUR UNSUR LINGKARAN Jari jari lingkaran : adalah luas garis yang menghubungkansuatu titik pada lingkaran dengan titik pusatnya disimbolkan dengan r Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Diameter lingkaran adalah agris tengah lingkaran, panjang diameter adalah dua kali panjang jari jari lingkaran Apotema lingkaran adalah ruas garis yang di tarik dari titik pusat suatu lingkaran tegak lurus pada sebuaah tali busur. Juring adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari jari lingkaran. Tembereng adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busurnya. back home

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN Berpusat di P(0,0) Berpusat di P(a,b) Persamaan lingkaran yang berbentuk x2+y2+Ax+By+C=0 Latihan back home

Lingkaran yang berpusat di P(0,0) back home

M Bentuk umum Lingkaran yang berpusat di P(0,0) memiiki persamaan umum x2+y2=r2. Contoh : Jika diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari jari 4. tentukan persamaan lingkarannya : Jawab : Karena jari jari lingkaran, adalah 4 maka persamaan lingkaran menjadi. x2+y2=16 back home

Lingkaran yang berpusat di P(a,b) back home

Bentuk umum Lingkaran yang berpusat di P(a,b) memiliki persamaan umum 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 Contoh : Persamaan ini terbentuk dengan titik pusat di a,b misalnya a=3 dan b=2 dan a merupakan nilai dari titik x dan y nilai titik y. misalnya sebuah lingkaran berpusat di titik (1,2) tentukan persamaan lingkarannya jika jari jari lingkaran adalah 4? back home

M Karena semua nilai sudah diketahui maka langsung saja masukkan ke persamaan 𝑥−1 2 + 𝑦−2 2 = 4 2 X2 – 2x+1+y2 – 4y+4=16 x2 +y2 -2x–6 y+5=16 x2 +y2 –2x-6 y+5 – 16=0 x2 +y2 –2x-6 y-11=0 back home

Persamaan lingkaran yang berbentuk x2+y2+Ax+By+C=0 Rumus mencari pusat lingkaran Pusat= − 1 2 𝐴,− 1 2 𝐵 Rumus mencari jari jari lingkaran 𝑟= 1 4 ( 𝐴 2 + 𝐵 2 )−𝐶 back home

M Persamaan tersebut menguraikan bagaimana menentukan pusat dan jari jari lingkaran melalui sebuah persamaan. Contoh : Sebuah lingkaran x2+y2+2x-4y+4=0, tentukan pusat dan jari jari lingkarannya? Jawab: Dari persamaan tersebut diperoleh A=2, B=-4 dan C=4 , maka Pusat= − 1 2 .2,− 1 2 −4 =Pusat= −1,2 Dan ;𝑟= 1 4 ( 2 2 + (−4) 2 )−4 𝑟= 1 4 20 −4 𝑟=1 back home

M LATIHAN Tentukan : Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari jari 8? Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari jari 2 3 ? Persamaan lingkaran yang berpsat di P(3,4) dengan jari jari 23? Persamaan lingkaran yag berpusat di P(0,1) dengan jari jari 4 5 ? Tentukan pusat dan jari jari lingkaran x2+y2+4x-4y+12=0 ! back home

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran yang berpusat di P(0,0) Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran yang berpusat di P(a,b) latihan back home

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran yang berpusat di P(0,0) Suatu titik A(v,w)terletak di dalm lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari jari r jika v2+w2<r2 Suatu titik A(v,w)terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari jari r jika v2+w2=r2 Suatu titik A(v,w)terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari jari r jika v2+w2>r2 back home

Contoh : Misalkan sebuah daerah A terletak pada titik P(0,0) jika dilihat dalam peta, dimana daerah ini merupakan ibukota sebuah kabupaten, di sekeliling daerah A terdapat desa B,C,D yang masing masing terletak pada koordinat titik B(2,3), C(5,4), D(0,4), jika ditarik sebuah garis dari pusat sejauh radius 4 Km untuk menandakan wilayah kabupaten A, maka mana termasuk desa dalam wilayah kabupaten A? back home

M Jawab : jika titik P(0,0) dan jari jari r maka pakailah rumus v2+w2 =r2, substitusikan (v,w)dengan titik dari desa tersebut. untuk B(2,3) maka 22+ 32=42 maka 4+9<16, desa B terletak di dalam kabupaten A, Untuk C(5,4) 52+ 42=42 maka 25+16>41 maka daerah C bukan lingkup kabupaten A, Krena terletak diluar lingkaran. Untuk D(0,4) maka 02+ 42=42 maka 0+16=16 maka daerah D terletak di perbatasan dan masih merupakkan daerah kabupaten A. back home

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran yang berpusat di P(a,b) Suatu titik A(v,w)terletak di dalam lingkaran yang berpuat di P(a,b) jika (v-x)2+(w-y)2<r2 Suatu titik A(v,w)terletak pada lingkaran yang berpuat di P(a,b) jika (v-x)2+(w-y)2=r2 Suatu titik A(v,w)terletak di luar lingkaran yang berpuat di P(a,b) jika (v-x)2+(w-y)2>r2 back home

Contoh : Misalkan sebuah daerah A terletak pada titik P(1,2) jika dilihat dalam peta, dimana daerah ini merupakan ibukota sebuah kabupaten, di sekeliling daerah A terdapat desa B,C,D yang masing masing terletak pada koordinat titik B(2,3), C(5,4), D(1,6), jika ditarik sebuah garis dari pusat sejauh radius 4 Km untuk menandakan wilayah kabupaten A, maka mana termasuk desa dalam wilayah kabupaten A? back home

M Jawaban : Jika titk pusat p(1,2) maka pakailah rumus (v-a)2+(w-b)2=r2 untuk B(2,3) maka (2-1)2+(3-2)2<42 Maka 1+1<16 , daerah B terletak di dalam kabupatenA. Untuk C(5,4) maka(5-1)2+(4-2)2=42 Maka 16+4>16 , daerah C terletak di luar kabupaten A. Untuk D(1,6) maka (1-1)2+(6-2)2=42 Maka 0+16=16 , daerah D terletak pada perbataan kabupaten A, Tapi masih merupakan kabupaten A back home

M Latihan Tentukan posisi titik titik A(2,4), B(3,6)dan C(3,4) pada lingkaran x2+y2= 16 ? Tentukan posisi titik titik A(4,6), B(2,1)dan C(4,7) pada lingkaran x2+y2 -2x+y= 25 ? back home

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN Memotong Lingkaran Menyinggung Lingkaran Tidak Memotonng atau Menyinggung Lingkaran latihan back home

Garis yang Memotong Lingkaran Sifat : Jika D>0 ,maka garis g memotong lingkaran. D adalah Diskriminan yang dituliskan dengan D=b2-4ac Contoh : Diberikan sebuah garis 2x+y=2 dan lingkaran x2+y2=5. Selesaikan lah sistem persamaan tersebut, kemudian tentukan garis tersebut memotong, menyinnggunng atau tidak? back home

M Jawaban : Ubahlah bentuk persamaan garis menjadi y=2-2x , kemudian tuliskan dan substitusikan nilai y tesebut ke persamaan lingkkaran , menjadi: X2+(2-2x)2=5 X2+4-8x+4x2= 5x2-8x-1=0 Maka a=5, b=-8 dan c= -1.Tentukan diskriminannya , D=b2-4ac D=64-(4.5.-1) D=64+20 D=84 Karena D>0 maka garis memotong lingkaran. back home

Garis yang Menyinggung Lingkaran Sifat : Jika D=0 maka garis g menyinggung lingkaran, D adalah Diskriminan yang dituliskan dengan: D=b2-4ac Contoh : Diberikan sebuah garis 2x+y=5 dan lingkaran x2+y2=5. Selesaikan sistem persaamaan berikut, tentukan garis tersebut, memotong, menyinggung atau tidak? back home

M Jawab : Ubahlah bentu persamaan garis menjadi y=5-2x, kemudian substitusikan persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran. X2+(5-2x)2=5 X2+25-20x+4x2=5 5x2-20x+20=0 Maka di dapatkan a=5, b=-20, c=20, tentukan diskriminanya D=b2-4ac D=400-4(100) D=400-400 D=0 Karena D=0 maka garis g menyinggung lingkaran. back home

Garis yang Tidak Memotong atau Menyinggung Lingkaran Sifat : Jika D>0 ,maka garis g memotong lingkaran. D adalah Diskriminan yang dituliskan dengan D=b2-4ac Contoh : Diberikan sebuah garis –x+y=10 dan lingkaran x2+y2=9. Selesaikan lah sistem persmaan tersebut, dan tentukn garis tersebut memotong, menyinggung atau tidak.? back home

M Jawab : Pertama ubahlah persamaan garis tersebut menjadi y=X+10, kemudian substitusikan y tesebut ke dalam persamaan lingkaran X2+(X+10)2=9 X2+X2+20x+100-9=0 2x2+20x+91=0 Di dapatkan a=2,b=20 dan c=91, tentukan diskriminannya. D=b2-4ac D=400-4(2.91) D=400-728 D=-329 Karena D<0 maka garis g tidak memotong dan menyinggung lingkaran. back home

Latihan Tentukan posisi garis y=x+1 terhadap lingkaran x2+y2= 49 ? M Latihan Tentukan posisi garis y=x+1 terhadap lingkaran x2+y2= 49 ? Tentukan posisi garis 2x-y+1=0 terhadap lingkaran x2+y2 -4x+2y+6=0? back home

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1)yang terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m. latihan back home

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1)yang terletak pada lingkaran. Sifat : Persamaan lingkaran berbentuk x2+y2=r2, maka persamaan garis singgungnya: X1x+y1y=r2. Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2. Maka persamaan garis singgungnnya: (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2. Persamaan lingkaran berbentuk x2+y2+Ax+By+C=0. Maka persamaan garis singgungnya X1x+y1y+ 1 2 A(x+x1)+ 1 2 B(y+y1)+C=0 back home

Jika lingkaran (x-2)2+y-1)2=2 memotong garis y=2, maka persamaan garis singgunng di titik potong lingkaran dan diketahui garis y=2 adalah…. Contoh : Jawab : Substitusi nilai y ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik potongnya. (x-2)2+(2-1)2=2 (x-2)2+1=2 (x-2)2=1 X=3 atau x-1 , maka titik potongnya di (3,2) dan (1,2) Kemudian uraikan persamaan lingkarannya: (x-2)2+(y-1)2=2 X2-4x+4+y2-2y+1=2 X2+y2-4x-2y+3=0 Maka A=-4,B=-2 dan C=3 Sehingga persamaan garis singgung liingkaran untuk X2+y2-4x-2y+3=0 Adalah X1x+y1y+ 1 2 A(x+x1)+ 1 2 B(y+y1)+C=0 back home

M X1x+y1y+ 1 2 A(x+x1)+ 1 2 B(y+y1)+C=0 Karena ada sua titik maka akan di cari keduanya. Untuk titik (3,2) 3x+2y+ 1 2 .(-4)(x+3)+ 1 2 (-2)(y+2)+3=0 3x-2y-2x-6-y-2+3=0 x-y-5=0 untuk titik (1,2) x+2y+ 1 2 .(-4)(x+1)+ 1 2 (-2)(y+2)+3=0 x+2y-2x-2-y-2+3=0 -x+y-1=0 x-y+1=0 back home

Persamaan Garis Singgung Ligkaran dengan Gradien m Sifat : y=mx±𝑟 𝑚 2 +1 atau y-a=m(x-a)±𝑟 𝑚 2 +1 Contoh : persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=180 dengan gradien 2 adalah.. back home

Jawab : Diketahui r2=180 maka r= 180 m=2 maka : y=2x± 180 4+1 maka y=2x+30 atau y=2x-30 back home

M Latihan Jika sebuah garis menyinggung lingkaran di titik(-8,6) dan persamaan lingkaran tersebut mempunyai x2+y2= 100. tentukan persamaan garis tersebut. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-4)2+(y-3) 2= 36 di titik(-2,1). Tentukan persmaan gari singgung lingkaran (x-2)2+(y+3) 2= 72 dengan gradien 3. back home

Terima kasih … back home