RELASI Sub-bab 7.1

Definisi dan Notasi: Representasi dari relasi R : A  B Relasi Biner R dari A ke B merupakan sub-himpunan dari A  B R : A  B Representasi dari relasi R : A  B Digunakan matriks relasi dengan baris merepresentasikan elemen-elemen A kolom merepresentasikan elemen-elemen B entri (ai, bj) = 1 jika (ai, bj)  R entri (ai, bj) = 0 jika (ai, bj)  R

R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } (a, b)  R atau a R b Contoh: A = { a, p, x }; B = { b, q, y, z } R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } (a, b)  R atau a R b (a, q)  R atau a R q b q y z b q y z a p x a p x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

Jika R :A  B, maka Invers dari relasi R, R–1 : B  A R–1 = { (b,a) | (a, b)  R} = { (b, a), (q, p), (y, x), (z, x) } Komplemen dari relasi R, R : A  B R = { (a, b | (a, b)  R } = { (a, q), (a, y), (a, z), (p, b), (p, y), (p, z), (x, b), (x, q) } B A b q y z a p x

Relasi pada sebuah himpunan (relation on a set) R : A  A adalah sub-himpunan dari A  A Contoh (Example 5): R : Integer  Integer R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3}

Relasi pada sebuah himpunan (relation on a set) R : A  A adalah sub-himpunan dari A  A Representasi dari R : A  A Menggunakan Matriks Relasi (banyaknya baris = banyaknya kolom) Menggunakan Directed Graph (disingkat Digraph) Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3 }; R = { (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 1) } Maka : 2 1 3 1 1 0 0 0 1 1 0 0

Pengertian Relasi Relasi is a set of ordered pairs (x,y) Ex : Relasi pegawai dan gajinya Relasi dosen dan murid Ordered pairs berardi susunan tidak boleh terbalik, krn (x,y) # (y,x)

Contoh A={1,2,3,4} R = {(a,b) l a divides b} ? Catt a divides B artinya  b mod a = 0 Jawab : R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}

Contoh Consider the following relation on the set of integer R1 = {(a,b) l a <= b} R2 = {(a,b) l a > b} R3 = {(a,b) l a = b or a = -b} R4 = {(a,b) l a = b} R5 = {(a,b) l a = b +1} R6 = {(a,b) l a + b <= 3} Which of these relation contain each of the pairs (1,1), (1,2), (2,1), (1,-1) and (2,2)

Jawab (1,1)  R1, R3, R4, R6 (1,2)  R1 dan R 6 (2,1)  R2, R5, R6

Property of Relation Reflexive : (x,x)  R for every x  A Irreflexive : (x,x)  R for every x  A Symmetric : if (x,y)  R then (y,x)  R Harus ada pasangan Jika ada tangan kiri hrs ada tangan kanan Assymmetric : (x,x)  R Irreflexive Tidak symetric

Property of Relation Transitive : Antisymmetric :  Tidak symetric (x,y)  R dan (y,x)  R only if x = y (x,x)  R Tidak boleh ada pasangan Jika ada satu saja yang ada pasangannya, maka dia gagal menjadi antisymmetric Transitive : If (x,y)  R and (y,z)  R then (x,z)  R Jika (x,y) ada di R dan (y,z) ada di R, maka (x,z) harus ada di R  Tidak symetric

Reflexive Reflexive : (x,x)  R for every x  A Ex : Consider the following relation on {1,2,3,4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)} R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} R5 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} R6 ={(3,4)} Which of these relation are reflexive? Jwb : R3 dan R5

Soal Latihan 1 Tentukan Property of Relation dari :

Jawaban Latihan Reflexive  R3 dan R5 Irreflexive  R4 dan R6 Symmetric  R2 dan R3 Assymmetric  R4 dan R6 Antisymmetric  R4, R5 dan R6 Transitive  selain R4 dan R6

Soal Latihan 2 Tentukan Property of Relation dari : R1 = {(a,b) l a <= b} R2 = {(a,b) l a > b} R3 = {(a,b) l a = b or a = -b} R4 = {(a,b) l a = b} R5 = {(a,b) l a = b +1} R6 = {(a,b) l a + b <= 3}

Jawaban Latihan Reflexive  R1, R3 dan R4 Irreflexive  R2 dan R5 Symmetric  R3, R4 dan R6 Assymmetric  R2 dan R5 Antisymmetric  R1, R2 , R4 dan R5 Transitive  R1, R2, R3 dan R4

Cek sifat-sifat relasi R : A  A , di mana A = { 1, 2, 3, 4 } Contoh (Example 5): Cek sifat-sifat relasi R : A  A , di mana A = { 1, 2, 3, 4 } R1 = { (a, b) | a  b} R4 = { (a, b) | a = b} R2 = { (a, b) | a  b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R6 = { (a, b) | a + b  3} R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Refleksif : ya, karena(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)  R1 Irefleksif : tidak, karena (1,1)  R1 Simetrik : tidak, karena (1, 3)  R1  (3, 1)  R1 Asimetrik : tidak, karena (4a, 4b)  R1  (4b, 4a)  R1 Antisimetrik : ya, karena tidak ada yang berpasangan kecuali jika x=y

Transitif : (a, b)  R1 dan (b, c)  R1  (a, c)  R1 R1 : { 1, 2, 3, 4 }  { 1, 2, 3, 4 }, A di mana R1 = { (a, b) | a  b} R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Transitif : (a, b)  R1 dan (b, c)  R1  (a, c)  R1 (1,1)  R1 dan (1,1)  R1  (1,1)  R1 ; (1,1)  R1 dan (1,2)  R1  (1,2)  R1 (1,1)  R1 dan (1,3)  R1  (1,3)  R1 ; (1,1)  R1 dan (1,4)  R1  (1,4)  R1 (1,2)  R1 dan (2,2)  R1  (1,2)  R1 ; (1,2)  R1 dan (2,3)  R1  (1,3)  R1 (1,2)  R1 dan (2,4)  R1  (1,4)  R1 ; (1,3)  R1 dan (3,3)  R1  (1,3)  R1 (1,3)  R1 dan (3,4)  R1  (1,4)  R1 ; (1,4)  R1 dan (4,4)  R1  (1,4)  R1 (2,2)  R1 dan (2,2)  R1  (2,2)  R1 ; (2,2)  R1 dan (2,3)  R1  (2,3)  R1 (2,2)  R1 dan (2,4)  R1  (2,4)  R1; (2,3)  R1 dan (3,3)  R1  (2,3)  R1 (2,3)  R1 dan (3,4)  R1  (2,4)  R1; (2,4)  R1 dan (4,4)  R1  (2,4)  R1 (3,3)  R1 dan (3,3)  R1  (3,3)  R1 ; (3,3)  R1 dan (3,4)  R1  (3,4)  R1 (4,4)  R1 dan (4,4)  R1  (4,4)  R1

Refleksif : a [ (a, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} ya R2 = { (a, b) | a  b} tidak R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } ya R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } tidak R6 = { (a, b) | a + b  3 } tidak Reflexive : (x,x)  R for every x  A

2. Simetrik: a b [ (a, b)  R  (b, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} tidak R2 = { (a, b) | a  b} tidak R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } ya R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } tidak R6 = { (a, b) | a + b  3 } ya if (x,y)  R then (y,x)  R Harus ada pasangan Jika ada tangan kiri hrs ada tangan kanan

3. Antisimetrik : a b [ ((a, b)  R  (b, a)  R)  (a = b) ] atau a b [ (a  b)  ((a, b)  R  (b, a)  R) ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} ya R2 = { (a, b) | a  b} ya R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } tidak R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } ya R6 = { (a, b) | a + b  3 } tidak (x,y)  R dan (y,x)  R only if x = y (x,x)  R Tidak boleh ada pasangan Jika ada satu saja yang ada pasangannya, maka dia gagal menjadi antisymmetric

4. Transitif : R1 = { (a, b) | a  b} ya R2 = { (a, b) | a  b} ya abc [((a, b)  R  (b, c)  R)  (a, c)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} ya R2 = { (a, b) | a  b} ya R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } ya R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } tidak R6 = { (a, b) | a + b  3 } tidak If (x,y)  R and (y,z)  R then (x,z)  R Jika (x,y) ada di R dan (y,z) ada di R, maka (x,z) harus ada di R

5. Irefleksif : a [ (a, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} tidak R2 = { (a, b) | a  b} ya R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } tidak R4 = { (a, b) | a = b} tidak R5 = { (a, b) | a = b + 1 } ya R6 = { (a, b) | a + b  3 } tidak (x,x)  R for every x  A

6. Asimetrik : a b [ (a, b)  R  (b, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} tidak R2 = { (a, b) | a  b} ya R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } tidak R4 = { (a, b) | a = b} tidak R5 = { (a, b) | a = b + 1 } ya R6 = { (a, b) | a + b  3 } tidak if (x,y)  R then (y,x)  R (x,x)  R

Periksa ke-6 sifat relasi untuk Relasi invers dari R1 s/d. R6 SOAL: Periksa ke-6 sifat relasi untuk Relasi invers dari R1 s/d. R6 Relasi komplementer dari R1 s/d. R6 Catatan: R : A  B Relasi invers dari R, notasi R-1: B  A { (b, a) | (a, b)  R } Relasi komplemen dari R, notasi R: A  B { (a, b) | (a, b)  R }

Combining Relation Relasi dari A ke B adalah subset dari A x B 2 relasi dr A ke B dapat digabung Ex : A = {1,2,3} dan B = {1,2,3,4} R1 = {(1,1),(2,2),(3,3)} dan R2 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} R1 U R2 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(3,3)} R1  R2 = {(1,1)} R1 – R2 = {(2,2),(3,3)} R2-R1 = {(1,2),(1,3),(1,4)} R1 R2 = (R1 u R2) – (R1 n R2) = {(2,2), (3,3), (1,2), (1,3),(1,4)}

A B Element tsb ada di A atau B tapi tidak boleh ada di A dan di B Sama dengan xor  pilih salah satu, tidak boleh kedua-duanya

Komposisi dua relasi: A B C a b c R : A  B S : B  C dan disebut relasi komposit R S S  R Komposisi ditulis sebagai S  R

Composite Composite : (a,b)  R Ex : 19 hal 381 (b,c)  S Composite S o R adalah (a,c) Ex : 19 hal 381 R = {(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)} S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1)} Jadi composite S o R = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)}

Combining Relations (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} Example: Let D and S be relations on A = {1, 2, 3, 4}. D = {(a, b) | b = 5 - a} “b equals (5 – a)” S = {(a, b) | a < b} “a is smaller than b” D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} SD = { (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} or SD = {(a,b) | a + b > 5}.

Representasi relasi komposit: R : A  B di mana A = { 1, 2, 3 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } S : B  C di mana C = { 0, 1, 2 } R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4) } S = { (1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1) } MR = MS = MS°R = MR  MS (perkalian Boolean MR dan MS)

MR = MS = MS°R = MR  MS (perkalian Boolean MR dan MS) = 1 1 0 0 1 1 = 1 1 0 0 1 1 1 1 0