ALJABAR LINIER & MATRIKS VEKTOR

Definisi Vektor Apa beda vektor dengan skalar? Skalar : besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilai contoh: panjang meja=20cm, luas, volume dsb Vektor: besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arah contoh: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat

Deklarasi Vektor Simbol vektor: Gambar vektor: Karena titik pangkkal P dan titik ujung Q maka vektor disebut sebagai vektor . Panjang vektor ini dilambangkan dengan │PQ │. Simbol vektor: huruf kecil huruf kecil, tebal,ada tanda diatasnya Gambar vektor: vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah. Vektor a; simbol: a atau a atau a Q a P

Komponen Vektor Komponen vektor: Panjang vektor: vektor 2 dimensi : a (1,2) 1 dan 2 merupakan komponen vektor a merupakan nama vektor 1 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal) 2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal) vektor 3 dimensi : a (1,2,3) Panjang vektor: suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|. Vektor a(a1,a2), maka

Visualisasi Vektor 2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama Vektor a dan b dikatakan sama, sebab Arah kedua vektor sama |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab Arah kedua vektor tidak sama Meskipun, |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab Meskipun, Arah kedua vektor sama |a| != |b|

Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya: 1. Koordinat kartesian dua dimensi a=(a1, a2) dalam vektor a terdapat dua komponen vektor, 2. Koordinat kartesian tiga dimensi b=(b1,b2,b3) dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor

Penggambaran Vektor 2 Dimensi Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0)! y x 3 -2 m (3,-2)

Penggambaran Vektor 2 Dimensi 2.Vektor yang titik pangkalnya di A (x1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen : Dilukiskan sebagai : y B (x2, y2) A (x1, y1) x

Penggambaran Vektor 2 Dimensi Gambar vektor p yang berarah ke titik A (3,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik B (1,-2)! y x 1 -2 2 3 pangkal Langkah: Cari titik pangkal Cari titik ujung Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung p

Contoh Vektor 2 Dimensi vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0)! mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3 my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2 y x 3 -2 m (3,-2) Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras :

Penggambaran Vektor 3 Dimensi Gambar vektor p yang berarah ke titik A (2,2,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik (0,0,0)! z x 1 2 y Langkah: Cari titik pangkal Cari titik ujung Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung p

Panjang Vektor Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0 Contoh : Cari panjang vektor a (5,-3) !

Panjang Vektor Panjang vektor a jika pangkalnya di titik A(x1,y1,z1) yang berarah ke titik B(x2,y2,z2) didefinisikan sebagai

Contoh 1 Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6) dan C(4, 3, 1). Tentukan: Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B Vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C Vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C Keliling segitiga ABC

Penyelesaian Contoh 1 Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka p = AB = (2-0, 4-3, 6-5) = (2, 1, 1). Panjang vektor p adalah │p│= ‌ vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka q = BC =(4-2, 3-4, 1-6)=(2, -1, -5) Panjang vektor q adalah │q│=

Penyelesaian Contoh 1 vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka r = AC =(4-0, 3-3, 1-5)=(4, 0, -4) Panjang vektor r adalah │r│= = keliling segitiga ABC adalah │p│+│q│+│r│=

Latihan 1 1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut : vektor s berarah ke titik (5,-4) dengan titik pangkal (0,0) vektor g berarah ke titik(2,1) dengan titik pangkal (-3,-2) vektor j berarah ke titik(-3,2) dengan titik pangkal (5,-2) 2. Cari panjang dari masing-masing vektor yang ada pada soal no 1 dan panjang vektor m berarah ke titik (3,2,1) dengan titik pangkal (1,2,1) panjang vektor b berarah ke titik (3,-2,-1) dengan titik pangkal (-1,1,-3)

ALJABAR VEKTOR

Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor Cara Segitiga Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b. Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. b a c = a - b -b b a c = a + b

Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor 2. Cara Jajaran Genjang Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir. b a c = a + b -b c = a - b

Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :

Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas a + 0 = 0 + a = a Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. a – a = a + (-a) = 0

Penjumlahan & Pengurangan Vektor

Sifat Penjumlahan Vektor a + b = b + a Komutatif (a + b ) + c = a + (b + c) Asosiatif a + 0 = 0 + a = a Elemen Netral a + (-a) = a – a = 0 Elemen Invers

Contoh 2 Diketahui vektor a dan b di R2 (2 dimensi). Jika │a│= 5 , │b│=7, │a + b│= tentukan │a - b│!

Penyelesaian Contoh 2 Dari │a│= 5, didapat ...(i) Dari │b│=7, didapat ...(ii) Dari │a + b│= , didapat Subtitusi pers.(i), (ii) ke (iii)

Penyelesaian Contoh 2 Subtitusikan pers (i), (ii) ke pers (iv)

Latihan 2 Tentukan komponen-komponen vektor v dengan titik awal P(x1,y1,z1) dan titik ujung Q(x2,y2,z2). Tentukan |v| dan gambarkan grafik v. P(2,-2,3), Q(-2,3,12) P90,2,00, Q(3,0,-7) P(4,-1,2), Q(0,0,0) Tentukan titik ujung vektor v(v1,v2,v3) yang diberikan jika titik pangkalnya adalah titik P serta tentukan panjang vektor tersebut: v(2,3,0), P(4,9,0) v(12,-15,-4), P(0,0,3) v(4,4,4), P(4,4,4) Diketahui vektor a(3,0,2), b(2,2,-1) dan c(1,-2,3). Tentukan hasil dari ekspresi-ekspresi berikut: b + c – a |b – c| |b| - |c|

Summary Arah vektor dilihat dari tanda didepan nama vektor, sehingga: v + (-v) = 0 Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor untuk basis koordinat tertentu Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)