Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat BAB 2 Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat Standar Kompetensi: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat Kompetensi Dasar: Memahami konsep fungsi Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat dan penafsirannya.

Fungsi A. Fungsi atau Pemetaan A B c p r q f A B Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A  B), maka: himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f, himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f, himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

C. Beberapa Macam Fungsi Khusus Fungsi Konstan Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya. f : x  f(x) = k dengan x  R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan. 2. Fungsi Identitas Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi Linear Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b  R, a  0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak 4. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c  R, a  0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola. 5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan 1 x 1 = x, jika x ≥ 0 x, jika x < 0 Definisi

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif 1 2 3 4 g a b c A B f d Definisi Fungsi f : A  B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau W = B. Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W  B. f

2. Fungsi Injektif Definisi 1 2 3 a b c f A B 2 1 3 a b c g A B Definisi Fungsi f : A  B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2  A dengan a1  a2 berlaku f(a )  f(a ). 1

3. Fungsi Bijektif Definisi 2 1 0 a b c A B f g Definisi Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b  R, a  0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x. Contoh: y = f(x) = -2x + 4  1 2 3 4 -1 - 2 - 3 - 4 5 6 Y X (0, 4) (2, 0) (4, -4) y = f(x) = 2x + 4

Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + bx + c Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a  0, maka fungsi yang dirumuskan oleh dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x. f(x) = ax2 + bx + c Contoh: f(x) = x² - 1 f(x) = 2x² - 6x f(x) = x² - 4x + 3 f(x) = -3x² + 4x – 3

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat a. Titik Potong dengan Sumbu X X X Jika b2  4ac  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. Jika b2  4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit. Jika b2  4ac  0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

b. Titik Potong dengan Sumbu Y  X Y  Y X Jika c  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0. Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0. Jika c  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.

2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri Mari kita tinjau persamaan parabola berikut y = ax2 + bx + c  y = a (x2 + x)+ c  y = a (x2 + x + )  + c  y = a (x + )2  b a b2 4a2 2a  4ac 4a Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a,b, c  R dan a  0, mempunyai titik puncak atau titik balik Jika a  0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Jika a  0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola ke bawah. 3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah (b2 4a  4ac) b 2a’  x =  2a

Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Langkah 1 Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y. Langkah 2 Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya. Langkah 3 Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

Membentuk Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B (x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x  x2)(x  x2) b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x  x1)2 c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu. y = f(x) = a (x  xp)2 + y y = f(x) = ax2 + bx + c d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3, y3).

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Definisi Misalkan a, b, c  R dan a  0, maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. ax2 + bx + c = 0 Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, - a adalah koefisien dari x2 - b adalah koefisien dari x - c adalah suku tetapan

Akar-Akar Persamaan Kuadrat Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara: memfaktorkan melengkapkan kuadrat sempurna, menggunakan rumus kuadrat, dan menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a  0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh 2a  4ac b2  b  x 1 = 2 atau

Diskriminan Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat ax2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b2  4ac, 1. Jika D  0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional. b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional. 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a  0) ditentukan dengan rumus kuadrat: 2a  4ac b2  b  x 1 =  b  2 atau Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; dengan a  0, Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus: 1 x a b c dan = =  2 + ·

Menyusun Persamaan Kuadrat Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya Memakai Faktor apabila x dan x merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus: 1 2 Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk

Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu: 1. ax2 + bx + c < 0 2. ax2 + bx + c ≤ 0 3. ax2 + bx + c  0 4. ax2 + bx + c ≥ 0 dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a  0. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu: Sketsa grafik fungsi kuadrat Garis bilangan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat 1 2 3 4 5  y = x2  4x + 3 Y X y  0 y = 0 y < 0 Langkah 1 Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c Langkah 2 Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c  0, atau ax2 + bx + c ≥ 0.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2  4x + 3 < 0 Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan x2  4x + 3 = 0  (x  1)(x  3) = 0  x = 1 atau x = 3 3 1 2 4 +  nilai-nilai uji Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = xl1 < x < 3}