Program S1 Teknik Informatika Sekolah Tinggi Teknologi Nurul Jadid BAB I TEORI KESALAHAN Program S1 Teknik Informatika Sekolah Tinggi Teknologi Nurul Jadid Oleh : Moh. Furqan, S. Kom.

Dalam Bidang Sain dan teknologi dikenal : Perhitungan (counting)  Memetakan obyek dengan bilangan bulat positif. Bebas kesalahan Pengukuran (messuring)  Membandingkan ukuran obyek dengan ukuran standar. Kesalahan : - kesalahan paralak - perubahan alat ukur : Pengaruh suhu Medan magnet, dsb. Perhitungan (manipulation)  Penyelesaian suatu rumusan masalah dengan kaidah aritmatika. kesalahan : keterbatasan alat penghitung pembulatan, pemotongan digit oleh pelaksana.

Dalam Bidang Sain dan teknologi dikenal : Semua sumber kesalahan  hasil pengukuran tidak cocok dengan nilai yang sesungguhnya. Disebut dengan hasil pendekatan (aproksimasi) Pengukuran yang baik  menghasilkan nilai yang sesungguhnya. Tidak pernah atau sukar untuk dicapai Yang dapat dilakukan  membatasi kesalahan agar dapat ditolerir (tidak signifikan) pemakaiannya. Kesalahan yang signifikan  meningkatkan biaya operasional, menyebabkan kecelakaan. Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?

Definisi Kesalahan Dalam proses pengukuran kesalahan numerik muncul akibat dari penggunaan pendekatan untuk menyatakan suatu hasil. Kesalahan yang terjadi dapat digolongkan menjadi : Kesalahan pembulatan (round-off error) Disebabkan oleh keterbatasan alat ukur Kesalahan pemotongan (truncation error) Yang disebabkan oleh keputusan pengukuran untuk menetapkan tingkat ketelitian yang dikehendaki. Dalam proses perhitungan kesalahan pemotongan dihasilkan dari penggunaan pendekatan pengganti prosedur matematik yang eksak. Misalnya bentuk kontiyu dv/dt  ∆v/ ∆t = (v2 – v1)/(t2 – t1) Pendekatan model deret tak berhingga dari Taylor maupun McLaurin Umumnya tidak semua suku deret digunakan dalam manipulasi

Penanganan Kesalahan Nilai sesungguhnya = nilai pendekatan + nilai kesalahan. Nilai kesalahan biasanya disingkat dengan et et = nilai sesungguhnya – nilai pendekatan Nilai kesalahan perlu dibandingkan dengan nilai sesungguhnya untuk mendapatkan gambaran tentang kesalahan tersebut. Disebut normalisasi kesalahan terhadap nilai sebenarnya. Kesalahan yang ternormalisasi ini disebut kesalahan relatif fraksional (er) atau kesalahan relatif saja. er = nilai kesalahan / nilai sesungguhnya (x 100 %)

Pengenalan Kesalahan Contoh : Ukuran sesungguhnya suatu rel kereta api adalah 25 m dan ukuran sesungguhnya sebuah paku adalah 25 cm. Hasil pengukuran masing-masing obyek 24,99 m dan 24 cm. Tentukan kesalahan dan kesalahan relatif kedua pengukuran tersebut. Jawab: Kesalahan pengukuran rel kereta api = 25 m – 24,99 m = 0,01 m = 1 cm Kesalahan pengukuran paku = 25 cm – 24 cm = 1 cm Kedua pengukuran mempunyai kesalahan yang sama yaitu 1 cm Untuk mengetahui arti yang sesungguhnya dari kedua kesalahan tsb harus diperhatikan kesalahan relatif fraksionalnya. Kesalahan relatif pengukuran rel kereta api = 0,01/25 x 100 % = 0,04 % Kesalahan relatif pengukuran paku = 1/25 x 100 % = 4 % Mana yang lebih teliti?

Pengenalan Kesalahan Sering nilai sesungguhnya dari suatu obyek sukar ditentukan. Diwakili oleh nilai aproksimasi yang berupa nilai rata-rata dari sejumlah pengukuran yang berulang pada obyek yang sama. Kesalahan yang terjadi disebut kesalahan aproksimasi dengan rumus: kesalahan aproksimasi = nilai rata-rata – nilai pengukuran. Bentuk ternormalisasinya : Kesalahan relatif aproksimasi (er) yang dituliskan dengan : er = kesalahan aproksimasi / nilai rata-rata x 100 % Cara lain untuk mendapatkan nilai pendekatan dari suatu obyek adalah dengan melakukan secara berulang secara iterasi. Kesalahan yang terjadi disebut kesalahan iterasi dengan rumus : Kesalahan iterasi = nilai iterasi sekarang – nilai iterasi sebelumnya. Kesalahan relatif iterasi (ei) yang dituliskan dengan : ei = kesalahan iterasi / nilai iterasi sekarang x 100 %.

Pengenalan Kesalahan Nilai kesalahan (biasa, aproksimasi, iterasi)  positif atau negatif. Keduanya mempunyai konstribusi ralat yang sama terhadap hasil pengukuran. Penyeragaman perhitungan nilai kesalahan : selalu diambil harga mutlaknya. Proses iterasi dapat dihentikan dengan menetapkan nilai batas tertentu dari kesalahan relatif iterasi. Misalnya kesalahan iterasi terkecil yang diharapkan adalah ex maka iterasi akan berhenti jika er < ex Nilai iterasi yang terakhir mewakili nilai yang sesungguhnya.

Pengenalan Kesalahan Contoh : Taksiran ke Hasil Kesalahan iterasi 1 - 2 1,5 33,333 % 3 1,625 0,02 % 4 1,64583333 1,44 % 5 1,658437500 0,175% 6 1,648887917 0,0172% Contoh : Taksirlah kesalahan metode iterasi pada penggunaan deret tak hingga untuk mempresentasikan fungsi eksponen e0.5 dalam formula. ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + …. Jawab : Taksiran I ditentukan dengan mengambil suku pertama deret e0.5 = 1. Taksiran II dihasilkan dengan menambahkan suku kedua e0.5 = 1 + 0,5 = 1,5. Kesalahan relatif iterasi ei1=(1,5 - 1) x 100 % = 33,333 % Taksiran selanjutnya dilakukan dengan menambahkan suku-suku berikut ke perhitungan sebelumnya, diikuti perhitungan kesalahan relatif iterasi.

Angka Signifikan Hasil pengukuran sering dimanipulasi sehingga diperoleh nilai pendekatan yang familier dengan konteks dimana pengukuran atau perhitungan tersebut digunakan. Misalnya jarak dua kota secara teliti ditentukan sebesar 45,8979543 km. Seseorang akan menyebut jarak kedua kota tersebut : 45 km atau 46 km. Seorang pemborong yang akan mengaspal jalan antara kedua kota itu akan memerlukan ukuran yang teliti untuk menentukan panjang jalan. Dari contoh di atas bilangan desimal 0,89 dengan satuan kilometer mempunyai arti yang besar bagi seorang pemborong.

Angka Signifikan Penetapan angka penting atau signifikan ditentukan sebagai berikut: Angka 1,2,3,...9 adalah angka penting. Angka 0 didepan angka selain o adalah angka tidak penting. Angka 0 diantara angka-angka selain 0 adalah angka penting. Angka 0 dibelakang angka selain 0 dapat menjadi angka penting atau tidak penting, bergantung pada penulisan dalam (n,nn..x 10 m), n adalah angka signifikan dan m bebas & tidak bersifat signifikan. Contoh penetapan angka penting adalah: 0,0000087654; 0,00087654; 0,0087654 ketiganya  5 angka penting, karena dapat ditulis 8,7654 x 10 -5; 8,7654 x 10 -4; 8,7654 x 10 -3. 5,00267 mempunyai 6 angka penting signifikan, angka nol termasuk angka penting sebab terletak antara angka bukan nol. 995,000 dapat mempunyai 3,4,5 atau 6 angka signifikan, bergantung pada penulisannya dalam bentuk ilmiah atau saintifik.

Akurasi dan Presisi Tingkat kesalahan dalam pengukuran atau perhitungan dapat diukur dengan melihat akurasi dan presisi. Akurasi atau akurat mengacu pada dekatnya () hasil pengukuran terhadap nilai sesungguhnya obyek yang diukur. Sebaliknya ketidakakuratan (inakurasi = bias) didefinisikan sebagai simpangan sistematis dari nilai sesungguhnya. Presisi pengacu pada dua komponen, yaitu jumlah angka signifikan yang menyatakan ukuran suatu besaran dan penyebaran bacaan berulang dari suatu alat yang dipakai mengukur sifat tertentu obyek. Semakin banyak angka penting suatu pengukuran maka dapat dikatakan bahwa pengukuran tersebut semakin presisi. Pengukuran 6,8500 x 10 4 LEBIH presisi daripada 6,85 x 10 4 5 angka signi 3 angka signi

Komputasi numerik harus bersifat : Akurat Tidak menyimpang terlalu jauh dari nilai sesungguhnya. Memenuhi kebutuhan dari suatu masalah teknik atau sain. Ketidakakuratan atau ketidakpresisian secara bersama-sama dapat dinyatakan dengan satu istilah Kesalahan.

Teknik Pembulatan dan Pemotongan Sumber kesalahan dalam pengukuran dan perhitungan : Alat perhitungan Alat ukur : Tingkat ketelitian skala alat ukur yang rendah. Keterbatasan tampilan digit alat ukur. Subyektifitas pengukur: Kesalahan peralak Kesalahan penafsiran Kesalahan pemotongan angka penting. Teknik pembulatan dan pemotongan dalam pengukuran atau perhitungan menyangkut penetapan angka penting dalam hasil pengukuran.

Teknik Pembulatan dan Pemotongan Dua alasan penting dalam menyikapi pembulatan dan pemotongan: Suatu metode tertentu seringkali membutuhkan jumlah manipulasi aritmatika yang cukup banyak dalam mencapai jawaban. Ada pula proses manipulasi yang hasilnya tergantung pada hasil manipulasi sebelumnya. Sehingga akan terjadi komulasi kesalahan dari kesalahan-kesalahan individu pada setiap manipulasi. Dampak komulatif yang meliputi sejumlah besar manipulasi dapat menjadikan suatu kesalahan signifikan. Pengaruh pembulatan memberi kontribusi kesalahan yang besar pada saat melakukan manipulasi simultan terhadap sejumlah angka yang sangat besar atau sangat kecil.

Teknik Pembulatan dan Pemotongan Aturan pembulatan yang umum (adil)  desimal >= 0.5 dibulatkan ke atas. Komputer mempunyai teknik pembulatan yaitu: TRUNC  membulatkan suatu angka desimal ke bawah. INT  mengambil nilai bulat dari suatu bilangan dalam bentuk real. ROUND  membulatkan angka desimal secara adil. Hasil pembulatan adalah bentuk integer walaupun bertipe real. Untuk menghasilkan perhitungan yang tetap mengandung ketelitian desimal dapat digunakan formula dengan faktor desimal sebagai berikut: ROUND (BILANGAN * 10) / 10 N ATAU TRUNC((BILANGAN + 5.10 –N-1)* 10 N) / 10 N ATAU INT ((BILANGAN + 5.10 –N-1)*10 N) / 10 N. Menghasilkan perhitungan dengan ketelitian n digit desimal.

Kesalahan Total Kesalahan total  komulasi dari kesalahan pemotongan atau pembulatan. Kesalahan pembulatan dapat dikurangi dengan menambah angka signifikan. Kesalahan pembulatan bertambah jika jumlah komputasi dalam analisis dinaikkan. Kesalahan pemotongan dapat dikurangi jika jumlah komputasi bertambah. Tampak terjadi paradok atau antagonis antara kesalahan pembulatan dengan kesalahan pemotongan dalam jumlah analisis. Pelaku analisis dihadapkan pada masalah yang rumit & harus melakukan trik-trik dalam membandingkan kesalahan pembulatan dengan kesalahan pemotongan agar dapat menetapkan tingkat ketelitian yang dikehendaki.

Kesalahan Total Dalam perhitungan manual kesalahan pembulatan sangat dominan karena keterbatasan kemampuan dalam jumlah digit yang dianalisis. Tetapi dalam perhitungan yang berbasis komputer kesalahan pembulatan tidak tampak dominan karena komputer dapat menangani angka signifikan yang lebih banyak. Kesalahan dalam komputasi numerik tidak dapat dihindari dan merupakan seni berdasar intuisi dan pengalaman dari para analist. Walaupun demikian hasilnya harus tetap dalam batas-batas wajar yang masih dapat dipertanggungjawabkan kebenaran ilmiahnya. Agar dalam implementasi di lapangan tidak menimbulkan kecelakaan atau hal-hal yang fatal dan merugikan pihak pengguna.

Sumber Kesalahan Sumber kesalahan tidak berhubungan langsung dengan metode komputasi. Tetapi sumber kesalahan menghasilkan dampak yang besar dan berarti terhadap penyelesaian suatu masalah. Sumber kesalahan harus selalu mendapat perhatian ketika menerapkan teknik komputasi dalam praktek di lapangan. Sumber kesalahan komputasi numerik ada 3 jenis : Kekeliruan Kesalahan rumusan Ketidakpastian data.

Kekeliruan Disebut dengan kesalahan kasar (bruto). Dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusia. Dapat menyebabkan kegagalan pemakaian hasil analisis. Dapat terjadi pada sembarang proses pemodelan matematika. Dapat berada pada semua komponen kesalahan lainnya. Pencegahan : Kehati-hatian Pengetahuan yang baik tentang prinsip dasar Dalam pembahasan komputasi numerik kekeliruan diabaikan. Sampai taraf tertentu kekeliruan tidak dapat dihindarkan. Usaha yang dilakukan  berusaha memperkecil masalah ini. Contoh kekeliruan : Ketidak ketelitian dalam memasukkan data. Ketidak keteraturan dalam pembuatan program.

Kesalahan Rumusan Kesalahan ini bersumber dari proses pemodelan yang tidak sempurna, karena mengabaikan beberapa faktor penentu. Misalnya: Model rumus ketinggian gerak jatuh bebas h = ½ gt 2. Kesalahan : Benda merupakan titik materi. Gesekan udara diabaikan. Aliran angin diabaikan. Penetapan model statistik dari data-data yang tersebar. Kesalahan dalam memprediksi kecenderungan sifat-sifat data. Umumnya sebaran data dianggap selalu bersifat : Linier, homogen dan terdistribusi normal. Konsekuensi jika kita bekerja dengan model yang salah, walaupun metode komputasinya benar  hasil tidak layak.

Ketidakpastian Data Salah satu kesalahan disumbangkan oleh ketidakpastian data fisik. Misalnya mengukur kecepatan penerjun dengan loncatan berulang. Ketidak pastian yang muncul ; diperoleh kecepatan yang berbasis. Kesalahan ini dapat memunculkan tidak akurat dan tidak presisi. Jika instrumen yang dipakai terlalu rendah atau tinggi terhadap kecepatan  alat yang dipakai tidak akurat atau penyimpang. Jika hasil pengukuran terlalu tinggi atau rendah  mengenal presisi. Kesalahan pengukuran dapat dikuantifikasikan dengan model statistik yang dapat membawa sebanyak mungkin informasi tentang data. Statistik deskriptif sering dipilih untuk menyatakan : Letak pusat distribusi data dan Tingkat penyebaran data.

BAB I Selesai ....