Sistem Persamaan Linear Oleh: Swasti Maharani

SPL Bentuk umum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel, aij , bij dengan i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , nadalah bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

Ilustrasi grafik SPL 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

Penyajian SPL dalam matriks matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya disebut augmented matrix. Augmented (A) = [A B] SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

Teorema Suatu persamaan linier mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas. Persamaan linier non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn  0. Determinan dari matrik koefisien persamaan linier tidak sama dengan nol.

Metode Analitik Metode Numerik Metode grafis Aturan Crammer Invers matrik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Jacobi Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilang- kan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas SPL diubah menjadi augmented matrik :

Metode Eliminasi Gauss Ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Multiply an equation through by an nonzero constant. 2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL (OBE) Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. Menukar posisi dua persamaan sebarang. Penambahan suatu persamaan yang telah dikalikan dengan suatu konstanta ke persamaan yang lain. MATRIKS Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. Menukar posisi dua baris sebarang. Penambahan suatu baris yang telah dikalikan dengan suatu konstanta ke baris yang lain.

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier tersebut :

Lakukan operasi baris elementer

Penyelesaian :

Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal Penyelesaian dari persamaan linier di atas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn atau:

Metode Iterasi Jacobi Diketahui 3 persamaan berikut: Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, sehingga diperoleh:

Iterasi berhenti jika: Perhitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari (biasanya semua variabel diambil samadengan nol). Perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari sistem persamaan untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut diulangi (berhenti) sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1 atau sampai tingkat ketelitian yang diinginkan. Iterasi berhenti jika: atau

Metode Iterasi Gauss Siedel Diketahui 3 persamaan berikut: Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2 dan x3, sehingga diperoleh:

Iterasi berhenti jika: Perhitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari (biasanya semua variabel diambil samadengan nol). Berbeda dengan metode Jacobi, nilai x1 yang dihitung dari pers pertama digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua,dst. Iterasi berhenti jika: atau

Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Latihan Diketahui SPL : x – 2y + 5z = 12 x + 4y + 2z = 15 Hitunglah dengan: Metode eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Jacobi dengan tingkat ketelitian 0.1 Metode Gauss-Seidel dengan tingkat ketelitian 0.1

Diketahui SPL : x + 8y – 2z = -9 10x – 3y + 6z = 24,5 -2x + 4y – 9z = -50 Hitunglah dengan: Metode eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Jacobi dengan tingkat ketelitian 0.05 Metode Gauss-Seidel dengan tingkat ketelitian 0.05

Thank You !