PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK
Advertisements

BAB II HIMPUNAN.
Waniwatining II. HIMPUNAN 1. Definisi
HIMPUNAN MATEMATIKA EKONOMI.
Himpunan.
MATEMATIKA BISNIS HIMPUNAN.
Logika Matematika Konsep Dasar
MATEMATIKA BISNIS BY : ERVI COFRIYANTI.
BAB II HIMPUNAN.
Riri Irawati, M. Kom Logika Matematika - 3 SKS
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Pertemuan ke 4.
Oleh : Devie Rosa Anamisa
MATERI KE-1 MATEMATIKA EKONOMI I
Pertemuan ke 4.
MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 2 SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I
TEORI HIMPUNAN sugiyono.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 1 HIMPUNAN I
Teori Himpunan.
BAB II HIMPUNAN.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI
Matematika Diskrit Himpunan Sri Nurhayati.
HIMPUNAN Loading....
HIMPUNAN MATEMATIKA EKONOMI 1.
HIMPUNAN MATEMATIKA EKONOMI.
LOGIKA MATEMATIS TEORI HIMPUNAN Program Studi Teknik Informatika
Himpunan Citra N, MT.
Matematika Diskrit (1) Himpunan.
Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
Teori Dasar Himpunan Matematika Komputasi.
Analisa Data & Teori Himpunan
Erna Sri Hartatik Matematika 1 Pertemuan 1 Himpunan.
Kontrak Perkuliahan KALKULUS I Ayundyah Kesumawati Kode Mata Kuliah
Disusun Oleh: Novi Mega S
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
TEORI HIMPUNAN Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi Powerpoint Templates.
BAB II HIMPUNAN.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
Pertemuan III Himpunan
Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati
Matematika Diskrit Himpunan
Teori Himpunan.
BAB II HIMPUNAN.
HIMPUNAN Himpunan : kumpulan benda atau objek yang didefinisikan secara jelas. Kelompok berikut yang merupakan himpunan adalah : 1. Kelompok siswa cantik.
HIMPUNAN.
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
MATEMATIKA EKONOMI UT HIMPUNAN dan SISTEM BILANGAN.
Transparansi Kuliah Kedua Matematika Diskrit
TEORI HIMPUNAN Pertemuan ke sembilan.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan
PENDAHULUAN : ALJABAR ABSTRAK
MATEMATIKA EKONOMI HIMPUNAN dan SISTEM BILANGAN Ir Tito Adi Dewanto.
HIMPUNAN Materi Kelas VII Kurikulum 2013
Matematika Diskrit Himpunan Sri Nurhayati.
Oleh : Widita Kurniasari, SE, ME
HIMPUNAN Loading....
Kelas 7 SMP Marsudirini Surakarta
Oleh : Widita Kurniasari
Logika Matematika Teori Himpunan
01 LOGIKA MATEMATIKA Penyajian Himpunan,operasi-operasi dasar himpunan
Logika Matematika Himpunan Sri Nurhayati.
Teori Dasar Himpunan Matematika diskrit - 1.
PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA.
Oleh : Widita Kurniasari
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan Himpu nan Oleh : Sri Supatmi,S.Kom.
Transcript presentasi:

PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA MENYAJIKAN HIMPUNAN : 1. Menuliskan anggotanya satu per satu (jika memungkinkan) 2. Menuliskan sifat keanggotaannya (pembangun himpunan). Untuk menyatakan himpunan digunakan huruf kapital dan kurung kurawal { }. Contoh : Himpunan huruf vokal dapat disajikan sebagai V = {a,e,i,o,u} Himpunan bilangan prima positif kurang dari 10 dapat ditulis sebagai P = {2, 3, 5, 7}. R = {x | x bilangan real} adalah himpunan semua bil real. Notasi himpunan bilangan dalam matematika : R = himpunan bilangan real, Z = himpunan bilangan bulat Q = himpunan bilangan rasional, N = himpunan bilangan asli

KARDINALITAS HIMPUNAN Bila himpunan S mempunyai sebanyak n elemen maka dikatakan S himpunan terbatas (finite set) dengan kardinalitas n, dan ditulis | S | = n. Bila kardinalitas himpunan S takterbatas maka S dikatakan himpunan takterbatas (infinite set). CONTOH S = himpunan bilangan ganjil positif yang kurang dari 10, maka S = {1, 3, 5, 7, 9} dan | S | = 5. H = himpunan semua huruf alpbahet, maka | H | = 26. V = himpunan huruf vokal alphabet, maka | V | = 5. 4. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dinotasikan dengan ∅. Jadi | ∅ | = 0. 5. Himpunan semua bilangan real R adalah takterbatas, sebab | R | = ∞.

KESAMAAN DUA HIMPUNAN Dua Himpunan dikatakan sama jika elemen-elemennya sama persis, urutan tidak dimasalahkan. CONTOH : 1. himpunan A = {a,e,o,i,u} dan B = {e,o,i,a,u} merupakan dua himpunan yang sama. Bila dua himpunan A dan B sama biasanya ditulis A = B. 2. Himpunan {1,3,3,3,5,5,5,5} dan {1,3,5} merupakan dua himpunan yang sama. Elemen yang sama cukup ditulis satu kali. NOTASI KEANGGOTAAN : misalkan A suatu himpunan dan x elemen didalam A maka biasa ditulis x ∈A. Notasi z ∉A berarti z bukan elemen A. Secara logika definisi kesamaan dua himpunan dapat dinyatakan sebagai berikut A = B ↔ ∀x, (x ∈ A ↔ x ∈ B)

HIMPUNAN BAGIAN Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A ⊆ B jika setiap anggota A termuat didalam B. Dalam bentuk kuantor logika, dapat ditulis A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A  x ∈ B) FAKTA 1 : ∅ merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun. BUKTI : Misalkan A himpunan sebarang. Cukup dibuktikan implikasi x ∈∅  x ∈A bernilai benar. Diambil pernyataan p : x ∈∅ dan q : x ∈A. Karena ∅ tidak mempunyai anggota maka pernyataan p selalu salah (F) sehingga implikasi p  q selalu benar (T). FAKTA 2 : suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri Bila A ⊆ B dan A ≠ B maka A dikatakan himpunan bagian sejati dari B, ditulis A ⊂ B. FAKTA 3 : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A.

HIMPUNAN KUASA (Lanjutan) Def : Diberikan himpunan S. Himpunan kuasa (power set) dari S ditulis P(S) adalah himpunan yang terdiri dari semua himpunan bagian S. Contoh : himpunan kuasa dari himpunan S = { 1, 2, 3 } adalah P(S) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }. Jadi terdapat 8 anggota himpunan kuasa dari himpunan yang memiliki 3 anggota. Bila kardinalitas S adalah n maka himpunan kuasa P(S) mempunyai kardinalitas 2n. (Bukti : menyusul) Cermati notasi berikut : S = ∅ dan T = { ∅ }. Perhatikan S adalah himpunan kosong, ia tidak mempunyai anggota. Jadi himpunan kuasanya adalah P(S) = { ∅ } = T. Sedangkan T himpunan yang mempunyai anggota himpunan kosong. Jadi himpunan kuasanya adalah P(T) = { ∅, {∅} }. Latihan : Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut S = { s, k, 4, meja } W = {a, e, o, i, u }.

HASIL KALI KARTESIAN Def : 1. pasangan n elemen terurut (a1, a2, . . . , an) merupakan kumpulan terurut dimana a1 elemen pertama, a2 elemen kedua, dan seterusnya an elemen ke n. 2. Misalkan A dan B suatu himpunan. Hasil kali kartesian dari A dan B dilambangkan dengan A x B didefinisikan sebagai A x B = { (a, b) : a ∈ A dan b ∈B } dimana (a,b) merupakan pasangan terurut. Contoh : Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b }. Hasil kali kartesian dari A dan B adalah : A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) } Latihan : untuk himpunan A dan B seperti pada contoh di atas, tentukan hasil kali kartesian B x A. Apakah A x B = B x A. Hasil kali kartesian dapat diperluas untuk n buah himpunan A1, A2, . . . , An yaitu A1 x A2 x . . . x An = { (a1, a2, . . . an) : ak ∈ Ak, k = 1, 2, . . . , n }

OPERASI PADA HIMPUNAN Misalkan A dan B suatu himpunan. 1. GABUNGAN (union) : A ∪ B = { x | x ∈A ∨ x ∈ B } 2. IRISAN (intersection) : A ∩ B = { x | x ∈A ∧ x ∈ B } 3. SELISIH (difference) : A\B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B } ILUSTRASI diagram Venn untuk gabungan dan irisan himpunan : A ∪ B A ∩ B A\B A A B A B B Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika A∩B = ∅.

KARDINALITAS GABUNGAN HIMPUNAN | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 3, 5 } maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A ∩ B = { 1, 3, 5 }, A\B = { 2, 4 } | A | = 5, | B | = 3, | A ∩ B | = 3, | A ∪ B | = 5+3-3 = 5. KOMPLEMEN HIMPUNAN Definisi : Misalkan U semesta pembicaraan. Komplemen himpunan A adalah = { x ∈ U : x ∉ A } U A A ∪ = U

U : semesta pembicaraan Contoh : Misalkan semesta pembicaraan adalah U = himpunan semua bilangan bulat posotif. Jika A = himpunan bilangan bulat yang lebih dari 10 maka komplemen A adalah = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } KEMIRIPAN OPERATOR LOGIKA DAN OPERASI HIMPUNAN LOGIKA (Pernyataan) TEORI HIMPUNAN (Himpunan) ∨ ∪ ∧ ∩ Negasi Komplemen T : pernyataan benar U : semesta pembicaraan F : pernyataan salah ∅: himpunan kosong

IDENTITAS HIMPUNAN 1. Hukum Identitas : A∪∅ = A dan A∩U = A. 2. Hukum dominan : A∪U = U dan A ∩∅ =∅. 3. Hukum Indempoten : A∪A = A dan A∩∅ = ∅. 4. Hukum Komplementer : = A. 5. Hukum Komutatif : A∪B = B∪A dan A∩B = B∩A. 6. Hukum asosiatif : (A∪B)∪C = A∪(B∪C) dan (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 7. Hukum Distributif : A∩(B∪C) = (A∩ B)∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪ C). 8. Hukum De Morgan : (A∪B)c = Ac∩ Bc. dan (A∩B)c = Ac ∪ Bc TABEL KEANGGOTAAN untuk hukum Distributif

REPRESENTASI HIMPUNAN PADA KOMPUTER Misalkan U : semesta pembicaraan. Asumsikan U berhingga dengan kardinalitas n. Misalkan A suatu himpunan bagian dari U. Bagaimana menyajikan A dalam bentuk “bit-string” ? 1. Tetapkan urutan anggota pada U, katakan U = {a1, a2, . . . , an} 2. Sajikan himpunan bagian A dalam “bit-string” dengan panjang n, dimana pada urutan ke i, berikan bit “1” jika ai ∈ A dan bit “0” jika ai ∉A. CONTOH : Misalkan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Sajikan Nyatakan himpunan bagian berikut dalam bentuk “bit-string”: A = himpunan bilangan ganjil B = himpunan bilangan genap C = himpunan bilangan prima PENYELESIAN : a) Krn a1 = 1∈ A maka komponen ke-1 pada A diberi bit “1”. Krn a2 = 2 ∉ A maka komponen ke-2 pada A diberi bit “0”. Dengan cara ini diperoleh A = 10 10 10 10 10. b) 01 01 01 01 01 c) 01 10 10 10 00.

OPERASI HIMPUNAN PADA KOMPUTER Selanjutnya operasi himpunan dapat menggunakan “bit-string” ini dengan menggunakan opertor logika. Contoh : A∩C dapat disajikan sebagai (10 10 10 10 10) ∧ (01 10 10 10 00) = (00 10 10 10 00), yaitu himpunan yang dihasilkan adalah { 3, 5, 7 }. LATIHAN : Sajikan B ∪ C, B\C dan AC dalam bentuk “bit-string” .